THI TH I HC 2010 MễN:TON-KHI A&B I: PHN CHUNG CHO TT C TH SINH CõuI (2im): Cho hm s y = x 3 - 3x 2 + 4 (C) 1: Kho sỏt hm s. 2: Gi (d) l ng thng i qua im A(2 ; 0) cú h s gúc k.Tỡm k (d) ct (C) ti ba im phõn bit A ; M ; N sao cho hai tip tuyn ca (C ) ti M v N vuụng gúc vi nhau. Cõu II (2 im): 1: Gii phng trỡnh: xx xx 2sin 2 1 cos2) 2 cos 2 (sin3 33 += 2: Gii bt phng trỡnh: 2 2 35 5 4 24x x x+ < + + Cõu III (1im): Tớnh tớch phõn : I = 5 2 ln( 1 1) 1 1 x dx x x + + Cõu IV (1im): Cho tam giác ABC cân nội tiếp đờng tròn tâm J bán kính R=2a (a>0) ,góc BAC =120 0 .Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = 3.a Gọi I là trung điểm đoạn BC .Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) & tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp SABC theo a Cõu V (1im): Tỡm m h phng trỡnh: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m + = + + = cú nghim thc PHN RIấNG : Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn A hoc B A.Theo chng trỡnh chun (2im) Cõu VIa: 1) Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C) tõm I(-1; 1), bỏn kớnh R=1, M l mt im trờn ( ) : 2 0d x y + = . Hai tip tuyn qua M to vi (d) mt gúc 45 0 tip xỳc vi (C) ti A, B. Vit phng trỡnh ng thng AB. 2) Cho hỡnh lp phng ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cú im A(0;0;0); B(2;0;0); D(0;2;0); A 1 (0;0;2). M l trung im AB; N l tõm ca hỡnh vuụng ADD 1 A 1 . Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn l giao tuyn ca mt cu i qua C ; D 1 ; M ; N vi mt phng MNC 1 Cõu VII/a: Cho n l s t nhiờn n 2.Tớnh 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 . .2 2 . .2 . .2 n k k n n n n n n k S k C C C n C = = = + + + B. Theo chng trỡnh nõng cao (2im) Cõu VIa.1) Cho (P) y 2 = x v ng thng (d): x y 2 = 0 ct (P) ti hai im A v B. Tỡm im C thuc cung AB sao cho ABC cú din tớch ln nht 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai ng thng : 1 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d + = = v 2 2 1 ( ) : 1 1 1 x y z d + = = . Vit phng trỡnh mt phng cha (d 1 ) v hp vi (d 2 ) mt gúc 30 0 . Cõu VII/b: Gii h phng trỡnh 2010 2 2 2( 1) log 2 3 x y x y y x x y = + + = Ht Ghi chỳ :-Thớ sinh khụng c s dng ti liu . Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm ĐÁP ÁN CÂU I/1 I/2 II/1 Khảo sát hàm số y=x 3 -3x 2 +4 1:Tập XĐ:R 2:Sự biến thiên +Giới hạn lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ +Bảng biến thiên +y ' =3x 2 -6x=0 ⇔ x=0;x=2 Hàm số đồng biến (- ∞ ;0) và (2;+ ∞ );nghịch biến (0;2);Cực đại tại (0;4);Cực tiểu tại (2;0) x - ∞ 0 2 + ∞ y ' + 0 - 0 + 4 + ∞ y - ∞ 0 3:Đồ thị +y " =6x-6=0 ⇔ x=1 Điểm uốn đồ thị U(1;2) +Đồ thị …………………………… +PT đường thẳng d: y=k(x-2) +Hoành độ A;M;N là nghiệm PT: x 3 -3x 2 +4=k(x-2) ⇔ (x-2)(x 2 -x-2-k)=0 ⇔ x=2=x A ;f(x)=x 2 -x-2-k=0 +PT có 3nghiệm phân biệt ⇔ f(x)=0 có 2nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ 0 9 0 (2) 0 4 k f ∆ > ⇔ − < ≠ ≠ .Theo Viét ta có 1 2 M N M N x x x x k + = = − − +Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau ⇔ y ' (x M ).y ' (x N )=-1 ⇔ ( 2 2 3 6 )(3 6 ) 1 M M N N x x x x− − = − ⇔ 9k 2 +18k+1=0 3 2 2 3 k − ± ⇔ = (tm) PT tương đương x2sin 2 1 xcos2) 2 x cos 2 x (sin3 33 +=− ( ) xcosxsin2 2 x cos 2 x sin1 2 x cos 2 x sin3 += + −⇔ ( ) + −+= + −⇔ 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cosxsin2xsin 2 1 1 2 x cos 2 x sin3 II/2 III IV 0 2 3 2 x cos 2 x sin)xsin2( 2 x sin 2 x cos = +++ −⇔ * x x x x sin cos 0 sin 0 k x k2 (k ) 2 2 2 4 2 4 2 π π π − = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + π ∈ ÷ Z * 2xsin0xsin2 −=⇔=+ (v« nghiÖm) * 22 3 4 xsin 2 3 42 x sin2 2 3 2 x cos 2 x sin −= π +⇔−= π +⇔−=+ (v« nghiÖm) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: BPT tương đương 2 2 2 2 2 2 35 24 5 4 11 5 4 35 24 11 (5 4)( 35 24) x x x x x x x x x + − + < − ⇔ < − + + + ⇔ < − + + + Xét: a)Nếu x 4 5 ≤ không thỏa mãn BPT b)Nếu x>4/5: Hàm số 2 2 (5 4)( 35 24)y x x x= − + + + với x>4/5 y ' = 2 2 2 2 1 1 5( 35 24) (5 4)( ) 35 24 x x x x x + + + + − + + + >0 mọi x>4/5 Vậy HSĐB. +Nếu 4/5<x ≤ 1 thì y(x) ≤ 11 +Nếu x>1 thì y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1 ……………………………………………………………………… Đặt t= 1 1x − + * x = 2 ⇒ t = 2 *x = 5 ⇒ t = 3 *dx=2(t-1)dt I=2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 ( 1)ln ln 2 ( 1) 1 2 ln ln ln ln 3 ln 2 t t t dt dt t t t td t t − = − + − = = = − ∫ ∫ ∫ ……………………………………………………………………… B C A S D E +Gọi D là trung điểm BC ⇒ AD ⊥ BC (Vì ABC cân tại A) ⇒ AD ⊥ (SBC) +Gọi E trung điểm SB ⇒ AE ⊥ SB (Vì SAB đều) V VI VIbI/ a ⇒ DE ⊥ SB (Định lý 3 đường vuông góc) +SC//DE (DE đường trung bình tam giác) ⇒ SC ⊥ SB Vậy tam giác SBC vuông tại S +AD là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.Nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp SABC thuộc AD.Mặt khác O cách đều A; B; C nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Vậy bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC +BC = 2 2 a b+ ⇒ 2 2 2 2 DC 3 cosC= sin AC 2 2 a b a b C a a + − = ⇒ = + R = 2 2 2 2sin 3 AB a C a b = − ……………………………………………………………………… +Mặt cầu đi qua C(2; 2; 0);D 1 (0; 2; 2);M(1; 0; 0);N(0; 1; 1) có phương trình: x 2 +y 2 +z 2 +2ax+2by+2cz+d=0 nên 4 4 8 0 4 4 8 0 5 1 ; ; 4 2 1 0 2 2 2 2 2 0 a b d b c d a c b d a d b c d + + + = + + + = ⇔ = = − = − = + + = + + + = Suy ra tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu là: I(5/2;1/2;5/2); R = 35 2 +(MNC 1 ) đi qua M(1;0;0) nhận 1 1 ; (0;3; 3)MC NC = − uuuur uuuur làm véc tơ pháp tuyến có PT: y – z = 0 + h = d(I;(MNC 1 )) = 2 + Bán kính đường tròn giao tuyến là 2 2 3 3 2 R h− = ……………………………………………………………………… +Đặt 0; 0; 0a x b y c z= > = > = > +VT= 6 4 6 4 6 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a + + ≤ + + = + + + + + (Theo BĐT CôSi) +VP= 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b b c c a + + ≥ + + (Áp dụng BĐT CôSi cho từng cặp) ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 hay x = y = z = 1 ……………………………………………………………………… Phần riêng theo chương trình NC 1)+Tọa độ A;B là nghiệm hệ: 2 2 0 y x x y = − − = A(1;-1); B(4;2) +C(y o 2 ;y o ) ∈ (P); h=d(C;d)= 2 2 2 o o y y− − + 1 3 . 2 2 ABC S h AB ∆ = = 2 2 o o y y− − +Xét hàm số f = 2 2 o o y y− − Với 1 2 o y− ≤ ≤ Suy ra Max f = 9/4 Tại C(1/4;1/2) VIb2) Giả sử mặt phẳng cần tìm là: 2 2 2 ( ): 0 ( 0)ax by cz d a b c α + + + = + + > . Trên đường thẳng (d 1 ) lấy 2 điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0). Do ( ) α qua A, B nên: 0 2 0 a c d c a b a b d d a b − + = = − ⇔ − + + = = − nên ( ): (2 ) 0ax by a b z a b α + + − + − = . VII/a VII/b Yêu cầu bài toán cho ta: 0 2 2 2 2 2 2 1. 1. 1.(2 ) 1 sin 30 2 1 ( 1) 1 . (2 ) a b a b a b a b − + − = = + − + + + − 2 2 2 2 2 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0a b a ab b a ab b⇔ − = − + ⇔ − + = Dễ thấy 0b ≠ nên chọn b=1, suy ra: 18 114 21 18 114 21 a a − = + = KL: Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: 18 114 15 2 114 3 114 0 21 21 21 x y z + + − + + − = 18 114 15 2 114 3 114 0 21 21 21 x y z − − + + + − = . …………………………………………………………………… 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 . .2 2 . .2 . .2 n k k n n n n n n k S k C C C n C = = = + + + ∑ = 1 1 ( 1) 2 2 n n k k k k n n k k k k C kC = = − + ∑ ∑ Xét khai triển (1+x) n = 0 n k k n k C x = ∑ ; n(1+x) n-1 = 1 0 n k k n k kC x − = ∑ Lấy x=2 ta được n.3 n-1 = 1 0 2 n k k n k kC − = ∑ ⇔ 2n.3 n-1 = 0 2 n k k n k kC = ∑ +n(n-1)(1+x) n-2 = 2 0 ( 1) n k k n k k k C x − = − ∑ Lấy x=2 ta được n(n-1)3 n-2 = 2 0 ( 1) 2 n k k n k k k C − = − ∑ ⇔ 4n(n-1)3 n-2 = 0 ( 1) 2 n k k n k k k C = − ∑ Vậy S=n.3 n-2 (2+4n) ……………………………………………………………………… Phần riêng theo chương trình CHUAN Via 1) Dễ thấy ( )I d∈ . Hai tiếp tuyến hợp với (d) một góc 45 0 suy ra tam giác MAB vuông cân và tam giác Suy ra: 2IM = . ( ) (M d M∈ ⇒ a; a+2), ( 1; 1)IM a a= + + uuur , 0 2 2 1 2 2 a IM a a = = ⇔ + = ⇔ = − . Suy ra có 2 điểm thỏa mãn: M 1 (0; 2) và M 2 (-2; 0). + Đường tròn tâm M 1 bán kinh R 1 =1 là (C 1 ): 2 2 4 3 0x y y+ − + = . Khi đó AB đi qua giao điểm của (C ) và (C 1 ) nên AB: 2 2 2 2 4 3 2 2 1 1 0x y y x y x y x y+ − + = + + − + ⇔ + − = . + Đường tròn tâm M 2 bán kinh R 2 =1 là (C 2 ): 2 2 4 3 0x y x+ + + = . Khi đó AB đi qua giao điểm của (C ) và (C 2 ) nên AB: 2 2 2 2 4 3 2 2 1 1 0x y x x y x y x y+ + + = + + − + ⇔ + + = . + KL: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: 1 0x y+ − = và 1 0x y+ + = . ………………………………………………………………………. V) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y − ≥ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ − ≥ Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t 3 − 3t 2 = y 3 − 3y 2 . Hàm số f(u) = u 3 − 3u 2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ 2 2 2 1 0x x m− − + = Đặt 2 1v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v 2 + 2v − 1 = m. Hàm số g(v) = v 2 + 2v − 1 đạt 0;1 0;1 min ( ) 1; m ( ) 2 [ ] [ ] axg v g v= − = Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 . ⇒ AD ⊥ (SBC) +Gọi E trung điểm SB ⇒ AE ⊥ SB (Vì SAB đều) V VI VIbI/ a ⇒ DE ⊥ SB (Định lý 3 đường vuông góc) +SC/ /DE (DE đường trung bình tam giác) ⇒ SC ⊥ SB Vậy tam giác SBC vuông tại S +AD. x v ng thng (d): x y 2 = 0 ct (P) ti hai im A v B. Tỡm im C thuc cung AB sao cho ABC cú din tớch ln nht 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai ng thng : 1 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d + =. gúc 30 0 . Cõu VII/b: Gii h phng trỡnh 2010 2 2 2( 1) log 2 3 x y x y y x x y = + + = Ht Ghi chỳ :-Thớ sinh khụng c s dng ti liu . Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm ĐÁP ÁN CÂU I/1 I/2 II/1 Khảo