Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT 2 NĂM HỌC 2010 MÔN TOÁN KHỐI B, D Thời gian làm bài: 180 phút Phần chung (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2 3 2 x x − − có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + 2) Giải phương trình: ( ) 2 2 2 1 5 2 4; x x x x R+ = − + ∈ Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x = + ÷ + ∫ Câu IV (1 điểm) Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là .O ,A B là hai điểm trên đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a , · · 0 60ASO SAB= = . Tính theo a chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón Câu V (1 điểm) Cho 2 số dương x, y thoả mãn : 2222 11 xyyxyx −+−=+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2 2 11 y y x x +++ Phần riêng (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) Phần A Câu VI (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )d có phương trình : 0x y− = và điểm (2;1)M . Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt trục hoành tại A cắt đường thẳng ( )d tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M 2) Trong không gian tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua hai điểm ( ) 0; 1;2 ,A − ( ) 1;0;3B và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S có phương trình: 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 2x y z− + − + + = Câu VII (1 điểm) Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: 2 1 0z z+ + = . Rút gọn biểu thức 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 P z z z z z z z z = + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ Phần B Câu VI (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) C có phương trình ( ) 2 2 : 4 25x y− + = và điểm (1; 1)M − . Tìm phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và cắt đường tròn ( ) C tại 2 điểm ,A B sao cho 3MA MB= 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) P có phương trình: 1 0x y− − = . Lập phương trình mặt cầu ( ) S đi qua ba điểm ( ) ( ) ( ) 2;1; 1 , 0;2; 2 , 1;3;0A B C− − và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P Câu VII (1 điểm) Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 3 log 1 log 1 6 2 log 1 2 log ( 1) x x x x + − + − ÷ ≥ + + + Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2010 Môn: Toán_ Khối B và DGiải: 1) y= 2 3 2 x x − − (C) D= R\ {2} lim 2 : 2 x y TCN y →±∞ = ⇒ = 2 2 lim ; lim x x y y − + → → = −∞ = +∞ ⇒ TCĐ x = 2 y’ = 2 1 0; 2 ( 2) x x − < ∀ ≠ − BBT 2) Gọi M(x o ; 0 0 2 3 2 x x − − )∈ (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M: (∆) y = 2 0 0 2 2 0 0 2 6 6 ( 2) ( 2) x x x x x − + − + − − (∆ ) ∩ TCĐ = A (2; 0 0 2 2 2 x x − − ) (∆ ) ∩ TCN = B (2x 0 –2; 2) 0 0 2 (2 4; ) 2 AB x x − = − − uuur ⇒ AB = 2 0 2 0 4 4( 2) 2 2 ( 2) cauchy x x − + − ≥ ⇒ AB min = 2 2 ⇔ 0 3 (3;3) 1 (1;1) o x M x M = → = → II 1. 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + 1,0 TXĐ: D =R 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + [ ] sin 0 (sin ). 2 2(sin ) sin . 0 2 2(sin ) sin . 0 x cosx x cosx x cosx x cosx x cosx x cosx − = ⇔ − + + + = ⇔ + + + = 0,25 + Với sin 0 ( ) 4 x cosx x k k Z π π − = ⇔ = + ∈ 0,25 + Với 2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + = , đặt t = sin (t 2; 2 )x cosx + ∈ − được pt : t 2 + 4t +3 = 0 1 3( ) t t loai = − ⇔ = − 0.25 t = -1 2 ( ) 2 2 x m m Z x m π π π π = + ⇒ ∈ = − + Vậy : ( ) 4 2 ( ) 2 2 x k k Z x m m Z x m π π π π π π = + ∈ = + ∈ = − + 0,25 Câu II.2 (1,0 đ) ( ) 2 2 2 1 5 2 4; x x x x R+ = − + ∈ Đặt 2 2 4 2 2 4 2( 2 )t x x t x x= + ⇒ = + ta được phương trình 0,25 f(x)=(2x-3)/(x-2) f(x)=2 x(t)=2 , y(t)=t -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 2 2 1 5 2 8 0 2 t t t t+ = − ⇔ + − = 4 2 t t = − ⇔ = + Với t = − 4 Ta có 2 4 2 4 2 0 0 2 4 4 2( 2 ) 16 2 8 0 x x x x x x x x < < + = − ⇔ ⇔ + = + − = 2 0 2 2 x x x < ⇔ ⇔ = − = + Với t = 2 ta có 2 4 2 4 2 0 0 2 4 2 2( 2 ) 4 2 2 0 x x x x x x x x > > + = ⇔ ⇔ + = + − = 2 0 3 1 3 1 x x x > ⇔ ⇔ = − = − ĐS: phương trình có 2 nghiệm 2, 3 1x x= − = − 0,25 0,25 0,25 III 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x = + ÷ + ∫ I 1 = 1 ln 1 ln e x dx x x + ∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được I 1 = 4 2 2 3 3 − 0.5 ( ) 2 2 1 ln e I x dx = ∫ , lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2 = e – 2 I = I 1 + I 2 = 2 2 2 3 3 e − − 0.25 0.25 Câu IV (1,0 đ) Gọi I là trung điểm của AB , nên OI a = Đặt OA R= · 0 60SAB SAB= ⇒ ∆ đều · 1 1 1 2 2 2 3 sin OA R IA AB SA ASO = = = = Tam giác OIA vuông tại I nên 2 2 2 OA IA IO− = 0,25 0,25 0,25 0,25 S O A B I 2 2 2 6 3 2 R a R a R⇔ − = ⇔ = 2SA a⇒ = Chiếu cao: 2 2 a SO = Diện tích xung quanh: 2 6 2 3 2 xq a S Rl a a π π π = = = Câu V (1,0 đ) Câu V +) Nhận xét: ∀ a, b, c, d ta có: (ab + cd) 2 ≤ (a 2 + c 2 ).(b 2 + d 2 ), có “=” khi ad = bc (1) +) Áp dụng (1) ta có (x 2 + y 2 ) 2 ≤ (x 2 + y 2 ) (2 – (x 2 + y 2 ) ( Có thể sử dụng vec tơ chứng minh kết quả này) ⇒ 0 < x 2 + y 2 ≤ 1 +) Áp dụng bđt Cô si có A ≥ x 2 + y 2 + y x 4 22 + ; đặt t = x 2 + y 2 , 0 < t ≤ 1, xét hàm số: f(t) = t + t 4 với 0 < t ≤ 1, lập bảng biến thiên của hàm số . Kết luận: Min A = 5 đạt khi x = y = 2 1 0,25 0,50 0,25 Câu AVI.1 (1,0 đ) A nằm trên Ox nên ( ) ;0A a , B nằm trên đường thẳng 0x y− = nên ( ; )B b b , (2;1)M ( 2; 1), ( 2; 1)MA a MB b b⇒ = − − = − − uuur uuur Tam giác ABM vuông cân tại M nên: 2 2 2 ( 2)( 2) ( 1) 0 . 0 ( 2) 1 ( 2) ( 1) a b b MA MB MA MB a b b − − − − = = ⇔ = − + = − + − uuur uuur , do 2b = không thỏa mãn vậy 2 2 2 2 2 2 1 2 , 2 1 2 , 2 2 2 1 ( 2) 1 ( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 2 b a b b a b b b b a b b b b b − − = ≠ − − = ≠ − ⇔ − − − + = − + − + = − + − ÷ − 2 2 2 2 1 2 , 2 1 2 1 4 ( 2) ( 1) . 1 0 ( 2) 3 a b a b b b a b b b b = − − = ≠ = − ⇔ ⇔ = − + − − = − = Với: 2 1 a b = = đường thẳng ∆ qua AB có phương trình 2 0x y+ − = Với 4 3 a b = = đường thẳng ∆ qua AB có phương trình 3 12 0x y+ − = 0,25 0,25 0,25 0,25 . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT 2 NĂM HỌC 2010 MÔN TOÁN KHỐI B, D Thời gian làm bài: 180 phút Phần chung (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2 3 2 x x − − có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thi n. 1 6 2 log 1 2 log ( 1) x x x x + − + − ÷ ≥ + + + Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2010 Môn: Toán_ Khối B và DGiải: 1) y= 2 3 2 x x − − (C) D= R {2} lim 2 : 2 x y. tại A cắt đường thẳng ( )d tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M 2) Trong không gian tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua hai điểm ( ) 0; 1;2 ,A − ( ) 1;0;3B