SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút không kể giao đề Bài 1(2,0 điểm): 1- Cho hàm số xy += 1 a) Tìm các giá trị của y khi: 0 = x ; 1 −= x b) Vẽ đồ thị của hàm số trên mặt phẳng toạ độ. 2- Không dùng máy tính cầm tay: a) Giải phương trình: 02 2 =−+ xx b) Giải hệ phương trình: =− =+ 123 32 yx yx Bài 2(2,0 điểm): Giải toán bằng cách lập phương trình: Tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6. Bài 3(2,0 điểm): Cho: xy xyyx yx yxyx M 2222 2 + − − +− = 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa. 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3- Cho 3−= yyN . Tìm tất cả các cặp số );( yx để NM = Bài 4(3,0 điểm): Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thoả mãn các hệ thức sau: AB = x , AC = 1 + x , BC = 2 + x 1- Tính độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác. 2- Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa hình tròn nhưng ở ngoài tam giác. 3- Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỷ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra. Bài 5(1,0 điểm): Tính P = 22 yx + và Q = 20092009 yx + Biết rằng: 0 > x , 0>y , yxyxyx ++=++ 1 Hết Họ và tên thí sinh: Phòng thi: SBD: Họ và tên, chữ ký giám thị 1 Họ và tên, chữ ký giám thị 2 ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN (ĐỀ CHÍNH THỨC) Điểm Nội dung Bài 1(2,0 điểm): 1- Cho hàm số xy += 1 a) Tìm các giá trị của y khi: 0 = x ; 1 −= x b) Vẽ đồ thị của hàm số trên mặt phẳng toạ độ. 2- Không dùng máy tính cầm tay: a) Giải phương trình: 02 2 =−+ xx b) Giải hệ phương trình: =− =+ )2(123 )1(32 yx yx 0,25 0,25 0,25 0,25 1-(1,0 đ) a) (0,5 đ) * Khi x = 0, ta có y = 1+ 0 = 1 hay y = 1 * Khi x = -1, ta có y = 1-1 = 0 hay y = 0 b) (0,5 đ) * Xác định hai điểm (0; 1) và (-1; 0) trên mặt phẳng toạ độ. * Đồ thị hàm số xy += 1 (hình vẽ) y xy += 1 1 -1 0 x 0,25 0,25 0,25 0,25 2-(1,0 đ) a) (0,5 đ) * Vì a + b + c = 1+1+(-2) = 1+ 1-2 = 0 * Phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1 = 1, x 2 = -2 b) (0,5 đ) * Lấy (1) + (2), ta có 4 x = 4 <=> x = 1 * Thay x =1 vào 32 =+ yx ta có 1 + 2 y = 3 <=> y =1 Nghiệm của hệ phương trình đã cho là : = = 1 1 y x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2(2,0 điểm): Giải toán bằng cách lập phương trình: Tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6. * Gọi hai số phải tìm là x và y . * Vì tổng của hai số bằng 5, nên ta có yx + = 5 * Vì tích hai số bằng 6, nên ta có: xy = 6 * Ta có hệ phương trình: = =+ 6 5 xy yx * Các số x và y là nghiệm của phương trình: X 2 -5X + 6 = 0 (1) * Ta có ∆ = 25-24 = 1> 0 => * (1) có hai nghiệm: 3 2 15 1 = + =X , 2 2 15 2 = − =X * Hai số phải tìm là 2 và 3. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3(2,0 điểm): Cho xy xyyx yx yxyx M 2222 2 + − − +− = 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3- Cho 3−= yyN . Tìm tất cả các cặp số );( yx để NM = 1-(0,5 đ) * Để M có nghĩa, ta có: ≠ ≠− 0 0 xy yx * <=> 0,0, ≠≠≠ yxyx (1) 2-(0,75 đ) * Với 0,0, ≠≠≠ yxyx ta có: xy yxxy yx yx M )()( 2 + − − − = * M = yxyx −−− * yM 2−= 3-(0,75 đ) * Để 3−yy có nghĩa thì 0≥y (2) Với 0,0, >≠≠ yxyx (kết hợp (1) và (2)), ta có 32 −=− yyy * <=> 03)(2)( 23 =−+ yy đặt a = y , a > 0, ta có 032 23 =−+ aa * <=> )33)(1()1)(1(2)1)(1()22()1(0 2223 ++−=+−+++−=−+−= aaaaaaaaaa <=> a =1 > 0 (vì 33 2 ++ aa = 4 3 ) 2 3 ( 2 ++a > 0). Do a =1 nên y = 1 > 0 Vậy các cặp số ( x ; y ) phải tìm để NM = là: x tuỳ ý ≠ 0, ≠ 1; y = 1 Bài 4(3,0 điểm): Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thoả mãn các hệ thức sau: AB = x , AC = 1 + x , BC = 2 + x 1- Tính độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác. 2- Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa hình tròn nhưng ở ngoài tam giác. 3- Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỷ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1-(1,25 đ) * Theo định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 hay: ( x +2) 2 = x 2 + ( x +1) 2 * <=> x 2 + 4 x + 4 = x 2 + x 2 + 2 x + 1 <=> x 2 – 2 x – 3 = 0 * <=> x = 3 > 0, x = -1 < 0 (loại) * Vậy AB = 3, AC = 4, BC = 5 * AH = BC ACAB. = 5 12 5 4.3 = C x +2 x +1 O H A x B 0,25 2-(1,0 đ) * Gọi diện tích của phần thuộc nửa hình tròn nhưng ở ngoài tam giác là S; diện tích nửa hình tròn tâm O là S 1 ; diện tích tam giác ABC là S 2 , ta có: 0,25 0,25 0,25 S = S 1 – S 2 = ACABOA . 2 1 2 1 2 − π * Vì OA = BC 2 1 , nên S = ACABBC . 2 1 4 1 2 1 2 − π * = 8 4825 2 12 8 25 − =− ππ * Vậy S = )4825( 8 1 − π 0,25 0,25 0,25 3- (0,75 đ) * Khi tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC: Gọi S 3 là diện tích phần do dây cung AB tạo ra (diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy AH, đường sinh AB), ta có: S 3 = AHABAH .3 ππ = * Gọi S 4 là diện tích phần do dây cung AC tạo ra (diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy AH, đường sinh AC), ta có: S 4 = AHACAH .4 ππ = * Vậy 4 3 4 3 = S S 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5(1,0 điểm): Tính P = 22 yx + và Q = 20092009 yx + Biết rằng: x > 0, y > 0, yxyxyx ++=++1 (1) * Vì x > 0, y > 0 (1) <=> yxyxyx 222222 ++=++ <=> yyxxyx .12.2.12)(2)(2)1.(2 222 ++=++ * <=> ( ) ( ) ( ) 0)(.12)1()(.2)()(.12)1( 222222 =+−++−++− yyyyxxxx * <=> ( ) ( ) ( ) 011 222 =−+−+− yyxx * <=> =− =− =− 01 0 01 y yx x <=> = = = 1 1 y yx x hay 1== yx Vậy P = Q = 2 Chú ý: - Thí sinh làm cách khác đúng, hợp lý vẫn cho điểm tối đa. - Điểm của bài thi là tổng số điểm của từng bài, điểm của từng bài là tổng số điểm của từng phần (điểm bài thi, điểm từng bài, điểm từng phần của bài không làm tròn số). SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề Bài 1(2,5 điểm): Cho xx xx xx xx M + + − − − = 11 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa. 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3- Cho =N +++ 3 3 16 6 18 1 x x x x . Tìm tất cả các giá trị của x để NM = Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình: += = = zyx xyz xy 211 2 với 0,, >zyx Bài 3(1,5 điểm): Tính giá trị của biểu thức xxA 6 3 −= với 33 2142021420 −++=x Bài 4(3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N. 1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng hàng. 2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC. 3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm. Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số );;( zyx với zyx ,, ∈ Z để: 1082816)(6)( 222 +−+−++−+−= yxxyyxzyxzyxP đạt giá trị nhỏ nhất. Hết Họ và tên thí sinh: Phòng thi: SBD: Họ và tên, chữ ký giám thị 1 Họ và tên, chữ ký giám thị 2 ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN(ĐỀ CHÍNH THỨC) Điểm Nội dung 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 1(2,5 điểm): Cho xx xx xx xx M + + − − − = 11 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa. 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3- Cho N = +++ 3 3 16 6 18 1 x x x x . Tìm tất cả giá trị của x để NM = 1-(0,5 đ) * Để M có nghĩa, ta có: ≠+ ≠− ≥ 0 0 0 xx xx x * <=> ≠+ ≠− ≥ 0)1( 0)1( 0 xx xx x <=> ≠ > 1 0 x x 2-(1,0 đ) * Với x > 0, 1≠ ta có: xx xxxxxxxx M − −+−+− = 2 ))(1())(1( * = xx xxxxxxxxxx − +−+−−−+ 2 2222 * = xx xx − − 2 2 22 * xx xx − − = 2 2 )(2 = 2. Vậy 2=M 3-(1,0 đ) * Với x > 0, 1≠ ta có: +++= 3 3 1 ) 1 (6 18 1 2 x x x x (1) Đặt y x x =+ 1 2> (vì 1,0 ≠>x ) * Ta có ) 1 (3 11 .3 1 .3 1 3 3 2 2 3 33 x x x x x x x x x xy +++=+++= => yy x x 3 1 3 3 3 −=+ * Do đó, từ (1) ta có: yyy 3636 3 −+= <=> 0363 3 =−+ yy <=> )123)(3()3(3)93)(3()93()3(0 2233 ++−=−+++−=−+−= yyyyyyyyy <=> 23 >=y (vì 0 4 39 2 3 123 2 2 >+ +=++ xyy ) * Với 3=y , ta có 3 1 =+ x x <=> 013 2 =+− xx ( ∆ = 9- 4= 5 > 0) <=> 2 53 1 + =x , 2 53 2 − =x (tmđk). Vậy với 2 53 1 + =x , 2 53 2 − =x thì NM = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình: += = = )3( 211 )2( )1( 2 zyx xyz xy với 0,, >zyx * Thế (1) vào (2) ta có 3 xz = (4) * Thế (1) và (4) vào (3) ta có 32 211 xx x += hay 33 2 2 x x x x + = , vì 0>x * Ta có 2 2 += xx * <=> 02 2 =−− xx (a-b+c = 1 +1- 2 = 0) <=> 2 1 =x > 0 , 1 2 −=x < 0 (loại) * Do x = 2 => y = 4 > 0, z = 8 > 0 * Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là )8;4;2();;( =zyx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3(1,5 điểm): Tính giá trị của biểu thức xxA 6 3 −= với 33 2142021420 −++=x * Đặt a = 3 21420 + , b = 3 21420 − , ta có x = a + b * Có 3 x = a 3 + b 3 + 3a 2 b +3ab 2 , vì a 3 + b 3 = 20 +14 2 +20 -14 2 = 40, nên * 3 x = 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3ab x * Ta lại có ab = 33 21420.21420 −+ = 3 )21420)(21420( −+ = 3 22 14.220 − * = 28 3 = * Vậy A = x 3 - 6 x = 40 + 6 x - 6 x = 40 Bài 4(3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N. 1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng hàng. 2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC. 3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm. 0,25 0,25 1-(1,0 đ) * Có: DAE∠ =1v(gt) ( 1) ADH∠ =1v(góc nội tiếp chắn 2 1 (O)) (2) AEH∠ =1v(góc nội tiếp chắn 2 1 (O)) (3) * Từ (1), (2), (3) => tứ giác ADHE là hình chữ nhật. A E D B M H N C 0,25 0,25 * Vì DAE∠ =1v(gt) => DE là đường kính của (O) * => D,O,E thẳng hàng. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2-(1,0 đ) * Vì AH ⊥ BC tại H => BC là tiếp tuyến của (O) Ta có MD = MH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ M) (4) OD = OH = 2 1 AH (vì ADHE là hình chữ nhật) (5) Từ (4) và (5) => OM là đường trung trực của DH * => OM ⊥ DH (6) Vì ADH∠ =1v (theo (2)) => AB ⊥ DH tại D (7) Từ (6) và (7) => OM//AB (8) * Vì OA= OH = 2 1 AH (vì ADHE là hình chữ nhật) (9) Từ (8) và (9) => OM là đường trung bình của ∆ AHB => MB=MH => M là trung điểm của HB. * Chứng minh tương tự ta có NH = NC => N là trung điểm của HC. 3-(1,0 đ) * MD ⊥ DE tại D (MD là tiếp tuyến của (O) tại D) (10) NE ⊥ DE tại E (NE là tiếp tuyến của (O) tại E) (11) Từ (11) và (12) => MD//NE => DENM là hình thang vuông, đường cao DE * Gọi diện tích hình thang DENM là S DENM . Ta có: S DENM = 2 1 (MD+NE).DE * Vì MD = MH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ M) NE = NH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ N) => MD+NE= MN = 2 1 BC (vì MH=MB, NH=NC) Lại có DE = AH (vì ADHE là hình chữ nhật) * Do đó: S DENM = 2 1 . 2 1 BC.AH = 4 1 AB.AC = 4 1 .10.7 = 17,5 (cm 2 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số );;( zyx với zyx ,, ∈ Z để: 1082816)(6)( 222 +−+−++−+−= yxxyyxzyxzyxP đạt giá trị nhỏ nhất. * P = [( zyx − ) 2 + 6 ( zyx − ) + 9 ] + [ ( x 2 – 8 xy + 16 y 2 ) + 2 ( yx 4− ) + 1 ] = [( zyx − ) + 3 ] 2 + [( yx 4− ) 2 + 2 ( yx 4− ) + 1 ] * = ( zyx − + 3 ) 2 +( yx 4− + 1 ) 2 ≥ 0 * P nhỏ nhất khi: =+− =+− )'2(014 )'1(03 yx zyx * Lấy (1’) – (2’) , ta có 024 =++− yzy <=> 2)4( =− yz <=> 4 2 − = z y )4( ≠z (1) * Vì Zy ∈ nên 2;14 ±±=−z , đồng thời theo (1) và (2’) ta có: 14 −=−z <=> 3=z => 2−=y => 9−=x ; 14 =−z <=> 5=z => 2=y => 7=x 24 −=−z <=> 2=z => 1−=y => 5−=x ; 24 =−z <=> 6=z => 1=y => 3=x * Vậy với ( zyx ;; ) = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 6;1;3,2;1;5,5;2;7,3;2;9 −−−− thì P đạt giá trị nhỏ nhất (bằng 0) Chú ý: - Thí sinh làm cách khác đúng, hợp lý vẫn cho điểm tối đa. - Điểm của bài thi là tổng số điểm của từng bài, điểm của từng bài là tổng số điểm của từng phần (điểm bài thi, điểm từng bài, điểm từng phần của bài không làm tròn số). . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2 010 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút không kể giao đề Bài 1(2,0 điểm): 1- Cho hàm. và tên thí sinh: Phòng thi: SBD: Họ và tên, chữ ký giám thị 1 Họ và tên, chữ ký giám thị 2 ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2 010 MÔN TOÁN (ĐỀ CHÍNH THỨC) Điểm Nội. DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2 010 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề Bài 1(2,5 điểm): Cho xx xx xx xx M + + − − − = 11 1-