Đại học quốc gia hà nội Tr ờng đại học ngoại ngữ cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2009 Môn Thi : Toán Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 07-06-2009 Đề thi gồm 01 trang ( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm) Câu 1: (2điểm) Cho biểu thức 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 4 . 2 2 2 2: 2 8 xx x x x x x x x x A + ++ + + + = ( )0;8;8 xxx Chứng minh A không phụ thuộc biến số Câu 2 : ( 2 điểm) Cho phơng trình bậc 2 : x 2 -2(m+1)x+4m-m 2 =0 ( tham số m) 1-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 2-Gọi x 1 ;x 2 là 2 nghiệm của phơng trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 21 xxM = Câu 3: ( 2 điểm) Giải hệ phơng trình =+++ =++++ 0424 0)(2 22 22 yxyx xyyxyx Câu 4:(3 điểm) Trên (O;R) lấy 2 điểm A;B tuỳ ý ;C thuộc đoạn AB (C khác A;B) .Kẻ đờng kính AD Cát tuyến đi qua C vuông góc với AD tại H,cắt (O) tại M;N .Đờng thẳng đi Qua Mvà D cắt AB tại E.Kẻ EG vuông góc với AD tại G a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp. b- Chứng minh AM 2 =AC.AB c- Chứng minh AE.AB+DE.DM=4R 2 Câu 5: ( 1 điểm) Với x,y là số thực thoả mãn x+y+xy=8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x 2 +y 2 Hết Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinhthi vào khối chuyên) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1: Cho biểu thức Đề chính thức 64169220 24 ++++= aaaA B=a 4 +20a 3 +102a 2 +40a+200 a-Rút gọn A b- Tìm a để A+B=0 Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất làm 6h và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hoàn thành công việc trên bao lâu? Câu 3: Cho Parabol y= x 2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1 a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m b- Gọi A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ) .Tìm giá trị lớn nhất của M=(y 1 -1)(y 2 -1) Câu 4:Cho tam giác ABC với 10;53;5 === BCACAB .Phân giác BK góc ABC cắt đờng cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (K AC;H, M BC) a-Tính AH b-Tính diện tích tam giác AOT Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : ( ) ( ) 111 22 =++++ yyxx Chứng minh x+y=0 Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009 Môn thi: Toán học (Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán và chuyên tin) Thời gian làm bài :150 phút Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn 2xy và 2xy . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y 333 3 3 22 3 22 2 . 222 2 4 22 + + + = xy xy xy xy xy xy yx xy P Câu 2 1) Cho phơng trình 0 2 =++ cbxx , trong đó cá tham số b và c thoả mãn đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phơng trình có hai nghiệm phân biệt 21 , xx sao cho 2 2 21 xxx += 1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phơng trình: =++ =+ 1 3510 1 4123 zyx zyx Hãy tính giá trị của A = x + y + z Câu 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mãn các điều kiện: i) ap + 1 chia hết cho q. ii) aq + 1 chia hết cho p. Chứng minh )(2 qp pq a + > Câu 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và điểm C thuộc đờng tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đờng tròn (O 1 ) đờng kính AH cắt CA tại E, đờng tròn (O 2 ) đờng kính BH cắt CB tại F. 1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi (O 3 ) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O 3 , D thẳng hàng. 3) Gọi S là giao của các đờng thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đờng tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF. Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này. 1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02. 2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P. Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đại học quốc gia hà nội Đề tuyển sinh lớp 10 Trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2009 Môn : toán (vòng 1) Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I. 1) Giải phơng trình 122 22 +=+ xxxx 2) Giải hệ phơng trình +=+ =+ 33 1 2 22 yyx xyyx Câu II. 1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số 2009613 2009613 ++ 2) Với a, b là những chữ số thực dơng, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức )54()54( abbbaa ba P +++ + = Câu III. Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Biết rằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng b. 1) Chứng minh rằng b a BH AH = 2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b Câu IV. Với a, b, c là những số thực dơng, chứng minh rằng 5 148314831483 22 2 22 2 22 2 cba caac c bccb b abba a ++ ++ + ++ + ++ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Đại học quốc gia hà nội Đề tuyển sinh lớp 10 Trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2009 Môn : toán (vòng 2) Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I. 1) Giải phơng trình 353684163514 2 +++=+++ xxxx 2) Chứng minh rằng 14)12(4 12 34 3 14 1 2 2 444 + = + ++ + + + n n n n Với mọi n nguyên dơng Câu II. 1) Tìm chữ số nguyên dơng n sao cho tất cả các số n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều là nguyên tố 2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp { } )8,78(),62,6(),32,4(),2,16(=M bằng cặp số (a + c, b + d) trong đó cặp số (c, d) cũng thuộc M. Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận đợc tập hợp các cặp số { } )912,2240(),2176,1056(),2104,844(),702,2018( 1 =M hay không? Câu III. Cho đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đờng thẳng AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM ( ) AM . Từ điểm M kẻ tới đờng tròn (O) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là các tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đờng thẳng AC cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại điểm P và đờng thẳng AD cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại Q. Đờng thẳng CD cắt PQ tại K. 2) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 3) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua điểm cố định. Câu IV. Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện 2,,0 zyx và x+ y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức : ( ) )1)(1(112 444 zyxzyxM +++= C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm . Do -Hạnh Phúc Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2009 Môn Thi : Toán Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 07-06 -2009 Đề thi gồm 01 trang ( Chú ý: Thí. cắt AB tại E.Kẻ EG vuông góc với AD tại G a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp. b- Chứng minh AM 2 =AC.AB c- Chứng minh AE.AB +DE. DM=4R 2 Câu 5: ( 1 điểm) Với x,y là số thực thoả mãn x+y+xy=8. chuyên năm 2009 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinhthi vào khối chuyên) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1: Cho biểu thức Đề chính thức 64169220 24 ++++= aaaA B=a 4 +20a 3 +102 a 2 +40a+200 a-Rút