Toán ôn tập thi lên lớp 10

I.Hàm số bậc nhất Phơng trình đờng thẳng Cho đờng thẳng d:y=ax+b và đờng thẳng / Ví dụ 1: Cho hàm số :y=ax+b .Hãy xác định a và b trong các trờng hợp sau : a Đồ thị hàm số song song vớ

2 Một số phép biến đổi căn thức bậc hai

- Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A ≥ 0

Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bớc 4: Rút gọn biểu thức

Bớc 5: Tính số trị (nếu còn tham số) Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Bớc 2: Trục căn thức ở mẫu nếu có (nếu có) Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có)

Bớc 4: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bớc 5: Rút gọn biểu thức

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Bớc 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái Cũng có khi chúng ta phải biến đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức nguyên:

Nếu a

f(x) thì f(x) là ớc của a Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai

Bài tập tham khảo Bài 1: Cho biểu thức : P a 2 5

b) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3 = −

Bài 3: Cho biểu thức: P = 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1

Bài 4 : Cho biểu thức : Q = x 2 x 2 . x 1

b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

Bài 5 : Cho biểu thức : A = x x 1 x 1

1 Tìm hiểu bài toán:

- Gọi chung Giả thiết là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc …vv Kết luận là:

điều phải tìm, là ẩn vv…

- Trớc hết h y cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dựng các kí hiệu toán học ã

- Cần xác định ngay dạng của bài toán để xác định rõ phơng hớng giải.

- Bài toán có điều kiện gì ? Cần phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả điều kiện

đó thành công thức không ?

- Nhớ lại các kiến thức liên quan đến bài toán, tìm mối liên hệ giữa điều đ cho với điều phải tìm ã

- Phân tích điều phải tìm để đi tìm phơng hớng đi đến đích của bài.

2 Tìm tòi lời giải.

* Liên hệ với các bài toán đã giải:

+ Ta đ gặp bài toán này lần nào ch ã a ? Hay đ gặp ở một dạng khác ? ã

+ Ta có biết một bài toán nào có liên quan không ?

+ Đây là bài toán có liên quan mà ta đ có lần giải rồi ? - Vậy thì : Có thể sử dụng nó không ? Có thể ã

sử dụng kết quả của nó không ? Có thể sử dụng kết quả ở bài trớc (đ giải) vào bài này không ? Có cần phải ã

đa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không ?

+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?

* Với bài toán mới và cha giải lần nào:

+ Nếu cha giải đợc bài toán đ đề ra thì h y thử giải một bài toán có liên quan ã ã

+ Ta có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một ờng hợp riêng ? Một bài toán tơng tự ?

tr-+ Ta có thể giải một phần bài toán không ? H y giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó ẩn ã

đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó sẽ thay đổi nh thế nào ?

+ Ta có thể nghĩ ra một điều kiện khác giúp ta xác định đợc ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới đợc gần nhau hơn không ?

- Có thể bài toán này có những phần cần chú ý Liệu ta có bỏ qua phần chú ý đó không ?

3 Trình bày lời giải

- Khi giải h y kiểm tra lại từng b ã ớc

- Ta đ thấy rõ mỗi b ã ớc làm của ta đều đúng cha ?

- Những lập luận, biến đổi, trình bày của ta đ hợp Lôgíc ch ã a ? Ta có thể chỉ ra những căn cứ cho những lập luận, biến đổi đó không ?

- Ta có thể lập luận Logíc, chặt chẽ, chính xác lời giải hơn nữa không ? (Bổ sung thiếu sót, lợc bỏ những chỗ dài dòng và rờm rà).

- Có còn sót trờng hợp nào của bài toán không.

4 Nghiên cứu thêm về lời giải:

- Kiểm tra kết quả Xem xét các lập luận.

- Nhìn lại toàn bộ các bớc giải Rút ra phơng pháp giải một loại toán hay một dạng toán nào đó Rút ra kinh nghiệm giải toán nh về:

+ Cách giải, phơng pháp giải loại toán đó

+ Những bài toán dạng này cần sử dụng kiến thức gì để giải

+ Những điểm cần chú ý, những sai lầm thờng mắc phải và cách khắc phục vv….

- Cố gắng tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).

- Khai thác thêm các kết quả có thể có của bài toán, đề xuất các bài toán tơng tự, bài toán đặc biệt Đặc biệt nên cố gắng đa bài toán đ cho về dạng tổng quát của nó ã

Phần thứ hai Phơng trình bậc nhất và hệ phơng trình

A- Ph ơng trình bậc nhất:

* Định nghĩa: Là phơng trình dạng ax+ b= 0 (với a, b cho trớc, a≠ 0)

* Biện luận : Phơng trình ax+ b= 0

+ Vô nghiệm khi a=0 và b ≠0

+ Có nghiệm duy nhất khi a≠0

Chú ý: -Nếu một trong các hệ số bằng 0 ta nên sử dụng phơng pháp khác

-Nếu mẫu chứa tham số thì ta nên xét hai trờng hợp (Bằng 0 và khác 0 của mẫu).

- Phơng pháp 2: Dùng phơng pháp thế hay cộng đại số đem hệ về dạng Ax+ B= 0 và biện luận số nghiệm của phơng trình này

D- Các dạng bài tập :

* Dạng 1: Nhận biết phơng trình bậc nhất hai ẩn, viết đợc nghiệm tổng quát và

biểu diển tập nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

Ví dụ: Phơng trình nào là phơng trình bậc nhất hai ẩn:

A) 0x+ y= 1 C) 2x+ 0y= 2B) 0x+ 0y= 5 D) 2x= 2

* Dạng 2: Giải hệ phơng trình

* Dạng 3: Giải và biện luận.

Ví dụ: Cho hệ: mx+ 2y= -3

m2x- 4y= 6

a) Giải hệ với m= 2.

b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm

Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh sử dụng một trong hai phơng pháp trên

Phần thứ ba Ph

Ví dụ 2: Cho (m2- 1)x2+ 2(m+ 1)x-1= 0

a) Giải phơng trình khi m=- 2b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

∆’= m2 + 2m +1+m2 -1= m (m +2) >0 khi m > 0 và m≠ 1

m < -2 c) Phơng trình có 1 nghiệm có hai khả năng:

- Với m2 = 1 ⇒ m= 1 thì phơng trình có dạng: 4x -1 =0 ⇔ x=1

4 m=-1 thì phơng trình có dạng: 0x +1= 0 (phơng trình vô nghiệm)

- Với m≠ ±1 thì phơng trình có một nghiệm khi ∆’ = 0 ⇔ m = 0

m = -2

- Phơng pháp :

+Xét trờng hợp a = 0 xem phơng trình có nghiệm không

+ với a ≠ 0 phơng trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0 hay ∆’ ≥ 0

Ví dụ 1: Cho phơng trình: m x2 - 2(m+1)x + m + 2 =0 Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm

H ớng dẩn:

- Với m= 0 thì phơng trình có dạng: -2 x +2 =0 ⇔ x=1

- Với m ≠ 0 ta có ∆’= 1 nên phơng trình luôn có hai nghiệm

Ví dụ : Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm:

x2 +2m x +3 =0 và x2 +3 x +2m =0

H ớng dẩn:

Ta đi chứng minh ∆1+ ∆2 ≥ 0 thì ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm Chú ý: Ta có nhận xét sau:

- Nếu ∆1+ ∆2 < 0 thì ít nhất một trong hai phơng trình vô nghiệm

- Nếu ∆1 ∆2 < 0 thì một phơng trình vô nghiệm, một phơng trình có nghiệm

Với a, b, c là các số nguyên : ax2+ bx+ c= 0

 Định lý 1: Điều kiên cần để phơng trình có nghiệm hữu tỷ là ∆= k2 (với k∈ Z)

 Định lý 2: Nếu x0 =q plà nghiệm hữu tỷ của phơng trình và (p, q)= 1 thì p là ớc của c và q là ớc của q

Chú ý: Nếu a = 1 thì phơng trình có nghiệm hữu tỷ khi ∆= k2

C- Hệ thức vi- ét và ứng dụng:

* Định lý Vi-ét:

- NÕu x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 +bx +c =0 th× :

VÝ dô 1: NhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh sau:

a= 5 mµ x1= 2 nªn x2= 5

2

* D¹ng 2: T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch :

NÕu u+ v= S vµ u v= P th× u, v lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh: x2- Sx+ P= 0 (1) Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1 vµ x2 (®iÒu kiÖn S2- 4P≥ 0) th×

ta cã:

u= x1 vµ v= x2

v= x1 vµ u= x2

VÝ dô: a) T×m u, v biÕt: u+ v= 4 vµ u v= 3

b) Tìm hai cạnh của một hình chữ nhật biết chu vi là 6m và diện tích bằng 2m2.

- Biết hai nghiệm x1 và x2 thì ta tính đợc:

2- Lập phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm cho trớc

Ví dụ: Lập 1 phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm là 1- 3

Giải:

Gọi phơng trình cần lập có dạng: x2+ ax+ b= 0 Vì x = 1- 3 là nghiệm nên:

(1- 3)2+ a (1- 3 )+b = 0 <=> (4+ a+ b) - 3( 2+a)= 0

Vì phơng trình cần lập có các hệ số hữu tỷ nên (4+ a+ b) =0 và (2+ a)= 0 ⇔ a= -2 và b= -2 Vậy phơng trình cần lập là: x2- 2x- 2= 0

Ph ơng pháp : - Điều kiện phơng trình có hai nghiệm: a≠ 0 và ∆≥ 0

- Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích các nghiệm

2- Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm :

Ví dụ: Không giải phơng trình: x2- x- 1= 0 hãy tính:

2 2

1 2

x +x ; x1 −x2

3- Tính biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm :

Ví dụ: Không giải phơng trình: x2- x- 1= 0 hãy tính:

- Có hai nghiệm trái dấu khi: P< 0

- Có hai nghiệm cùng dấu khi: a≠ 0 và ∆ ≥ 0 P> 0

- Có hai nghiệm dơng khi: a≠ 0 và ∆ ≥ 0 , S > 0 và P> 0

- Có hai nghiệm âm khi: a≠ 0 và ∆ ≥ 0, S< 0 và P> 0

Chú ý: Nếu yêu cầu của bài toán là hai nghiệm phân biệt thì điều kiện của ∆ là ∆> 0

Ví dụ 1: Tìm mđể các phơng trình sau:

a) x2- 2x- m =0 có hai nghiệm trái dấu

b) x2- 2mx- (m- 1)2= 0 có hai nghiệm dơng

c) 2x2- 2( m+ 1)x+ m= 0 có hai nghiệm âm phân biệt

 Với mức độ khó hơn ta có bài tập sau:

b) phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi P <0 Và S =0

Ph ơng pháp - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm

- Lập hệ ba phơng trình (trong đó hai phơng trình l các hệ thức vi-ét và 1phơng trình theo yêu cầu bài toán)

- Giải hệ trên, đối chiếu với điều kiện và trả lời

Ví dụ 1: Tìm mđể phơng trình sau 3x2- 4x+ m= 0 có hai nghiệm thoã mãn: x1= 3x2 Giải:

 Đối với hs khá ta có thể đem bài tập sau:

Ví dụ 2: Tìm mđể phơng trình: x2- (m+1)x+ 2m= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

là độ dài hai cạnh góc vuông củ1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5

Cho phơng trình: ax4+ bx2+ c= 0 (1) Đặt x2 =y (điều kiện y ≥0)

Ta đợc phơng trình ay2+ by+ c= 0 (2) Mỗi nghiệm dơng của phơng trình (2) cho ta hai nghiệm trái dấu của phơng trình (1)

Số nghiệm

phơng trình

(1)

Dấu các nghiệm phơng trình (2) Điều kiện của phơng trình

I.Hàm số bậc nhất (Phơng trình đờng thẳng )

Cho đờng thẳng (d):y=ax+b và đờng thẳng ( /

Ví dụ 1: Cho hàm số :y=ax+b Hãy xác định a và b trong các trờng hợp sau :

a) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=-2x và cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng 2

b) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=3x +2 và cắt trục hoành tại điểm cóhoành độ bằng -1

c) Đồ thị hàm số vuông góc với đờng thẳng y=-4x+3 và đi qua M(4;3)

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1;2) và B(-2;-7)

Ví dụ 2: Cho hàm số :y=(m+1)x- n+3.Tìm điều kiện của m và n để :

a)Hàm số đồng biến

b)Hàm số nghịch biến

c)Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y= x+2

II Xác định hàm số y= ax2

Ví dụ 3:Tìm a biết đồ thị hàm số y=ax2đi qua A(-2;1)

Ví dụ 4: Cho hàm số :y=ax2.Tìm a biết đồ thị của hàm số cắt đờng thẳng y=-2x+3 tại

- Đồ thị hàm số y=ax +b là đờng thẳng đi qua A(0;b) và B( b;0

- Lập phơng trình hoành độ giao điểm

- Giải phơng trình từ đó tìm đợc các toạ độ giao điểm

Ví dụ 1: Cho hai đồ thị (P) :y=−2x2và (d) :y=-3x+1

Tìm toạ độ các giao điểm của (d) và (P)

Ví dụ 2: Cho pa ra bol (P): 1 2

2

y= x và đờng thẳng (d) :y=1 3

2x+

a) Vẽ (P) và (d)

b) Xác định toạ độ các giao điểm A,B của (d) và (P)

c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của pa ra bol sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

(HD:c)Tam giác ABC có đáy AB không đổi ,diện tích lớn nhất khi đờng cao hạ

từ C xuống AB lớn nhất ⇒Viết phơng trình đờng thẳng song song với AB và tiếp xúc

với (P) tại C ⇒C là điểm cần tìm)

Ví dụ 3: Cho pa ra bol (P) :y= −x2và đờng thẳng (d) :y=2x m− 2 + 2m.Với những giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) cắt pa ra bol (P) tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 4: Cho hai đồ thị (P) y mx= 2và (d) y=2x-5 Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)

Dạng 4: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi tham số m

Ph

ơng pháp giải: Cho hàm số y= f( )x .Giả sử M x y( ; )0 0 là điểm cố định mà đồ thị hàm

số luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m⇒ y0 = f( )x0 với mọi m ⇒Đa thức với ẩn m

(HD: Giả sử đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M, (d) cách O một khoảng lớn nhất ⇔OM ⊥ ( )d )

Ví dụ 2: a) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y=mx-2m-1 Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.Tìm điểm cố định đó b) Cho hàm số y=(m-1)x+2m-3 Chứng tỏ rằng họ đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Tìm điểm cố định đó

Ví dụ 3: Cho pa ra bol (P): 1 2

4

y= − x và đờng thẳng (d): y= mx-2m-1

a)Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P)

b)Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua môt điêm A cố định thuộc (P) với mọi giá trị của m

Ví dụ 4: Cho pa ra bol (P) : 2

4

x

y=

a) Chứng tỏ rằng A(-2;1) thuộc (P)

b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và tiếp xúc với (P)

Dạng 5: Một số bài toán nâng cao khác :

Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng y= m(x+2)và y=(2m-3)x+2

a) Chứng minh rằng khi m=1 thì hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau

b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng x+2y=1 và đi qua điểm B(0;m)

c) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) cắt pa ra bol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thoã mãn:3x1 + 5x2 = 5

Ví dụ 4: Cho các đờng thẳng (d1 )y=x-2;( )d2 y=2x-4và ( )d3 y=mx+m+2

a) Tìm điểm cố định mà đờng thẳng ( )d3 luôn đi qua voOoơí mọi giá trị của m b) Tìm m để ba đờng thẳng đồng qui

Bài tập vận dụng:

1.Cho hàm số : y= 3x2 + 6x+ 5

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

b) Chứng minh rằng hàm số đồng biến khi x>-1, nghịch biến khi x<-1

a) Song song với đờng thẳng y=5x+3

b) Đi qua A(-1;0)

c) Đồng qui với các đờng thẳng y=1; y=2x-5

7 Cho hàm số y x= 2và y=x+m (m là tham số )

a) Tìm m sao cho đồ thị (P)của hàm số y x= 2và đồ thị (d) của hàm số y=x+m có hai giao điểm phân biệt A, B

b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) và tiếp xúc

b- giải bài toán bằng cách lập phơng trình-hệ phơng trình

I Lý thuyết :

1.Các b ớc giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình (hệ ph ơng trình )

B ớc 1 : Lập phơng trình (hệ phơng trình )

- Chọn ẩn (hai ẩn) và đặt đièu kiện thích hợp cho ẩn

- Biểu diễn các đại lợng cha biết qua ẩn và các đại lợng đã biết

- Lâp phơng trình (hệ phơng trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.B

- Đối với chuyển động dới dòng nớc chảy v xd =v cn+v dn,v nd =v cn−v dn

b) Toán làm chung, làm riêng, vòi nớc chảy …

- Coi cả công việc (cả bể nớc) là 1

- Tính năng suất của mỗi đối tợng

c) Toán về số và quan hệ các số

- Chú ý cấu tạo số

d) Toán liên quan đến tỉ số %

e) Toán liên quan đến hình học

g) Toán liên quan vật lý, hoá học

II.Một số bài tập

thêm 8km/h thì đến B sớm hơn dự định 1giờ, nếu ô tô giảm vận tốc 4km/h thì đến B chậm hơn dự định 40 phút Tính vận tốc và thời gian dự định

xuôi dòng 39 km và ngợc dòng 36km hết 1giờ 30 phút.Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc dòng nớc

3 Một ngời đi xe máy đi hết quãng đờng AB dài 50 km với vận tốc không đổi Khi

từ B trở về do tăng thêm vận tốc 10 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút Tính vận tốc của xe máy lúc về

4 Một ngời dự định đi xe đạp từ làng ra tỉnh với vận tốc 12 km/h Sau khi đi đợc

1/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì xe hỏng nên ngời đó chờ ô tô mất 20phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy ngời đó đến tỉnh sớm hơn dự định 1giờ 20phút.Tính quãng

đờng từ làng ra tỉnh

5 Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km Biết thời gian xuôi

dòng nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h Tìm vận tốc ca nô lúc xuôi dòng

6 Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc thì sau 1giờ 30 phút bể sẽ

đầy, nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút và vòi thứ hai chảy trong 20 phút thì đợc 1/5 bể Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể

7 Hai đội thuỷ lợi cùng đào một con kênh trong 18 ngày thì xong Nếu đội thứ nhất

làm trong 4 ngày, đội thứ hai làm trong 7 ngày thì đào đợc 1/3 con kênh Hỏi mỗi đội làm một mình thì trong mấy ngày đào xong con kênh đã định

8 Hai đội học sinh tham gia lao động, nếu làm chung thì sẽ hoàn thành công việc

sau 4 giờ, nếu mỗi đội làm một mình thì đội I làm xong việc nhanh hơn đội II 6 giờ Tính xem mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc

9.Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 10, tích của chúng nhỏ hơn số đã

cho là 16 Tìm số có hai chữ số đó

10 Theo kế hoạch dự định cả hai xởng cơ khí mỗi ngày sản xuất 385 nông cụ nhng

do cải tiến kĩ thuật nên xởng thứ nhất mỗi ngày sản xuất vợt 20% kế hoạch dự định, xởng thứ hai mỗi ngày sản xuất vợt 12% kế hoạch dự định, thành thử mỗi ngày cả hai xởng sản xuất đợc 442 nông cụ Hỏi theo kế hoạch dự định, mỗi ngày mỗi xởng sản xuất đợc bao nhiêu nông cụ

11 Một hợp kim đồng và kẽm trong đó có 5kg kẽm Nếu thêm 15 kg kẽm vào hợp

kim này ta đợc một hợp kim mới Kết quả là trong hợp kim mới lợng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30%.Tính khối lợng ban đầu của hợp kim

12 Ngời ta trộn lẫn 8 gam chất lỏng này với 6gam chất lỏng khác có khối lợng

riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 700kg/m3.Tìm khối lợng riêng của mỗi chất lỏng

13 Ngời ta cho thêm 1kg nớc vào dung dịch A thì đợc dung dịch B có nồng độ a xít

là 20% Sau đó lại cho thêm 1kg a xít vào dung dịch Bthì đợc dung dịch C có nồng độ

a xít là 331

3%.Tính nồng độ a xít trong dung dịch A

14 Mỗi phòng họp có 100 chỗ ngồi nhng số ngời đến họp là 144 ngời do đó ngời ta

phải kê thêm 2dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 ngời ngồi Hỏi phòng họp lúc đầu

có mấy dãy ghế

và giảm chiều dài 16m thì diện tích mảnh đất không thay đổi Tính kích thớc của đám

đất lúc đầu

- Dấu hiệu nhận biết các tứ giác đặc biệt

3) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

5) ∆ABC vuông tại A ⇔ a2 = b2 + c2

4) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB

b = c.tgB = a.cotgC; c = b.tgC = a.cotgB

5) Vị trí tơng đối

- Vị trí tơng đối của đờng thẳng a với đờng tròn (O; R)

+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) cắt nhau  d < R+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) tiếp xúc nhau  d = R+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) không giao nhau  d > R

- Vị trí tơng đối của đờng tròn (O; R) và (O’; r) (với R > r)

+ Hai đờng tròn cắt nhau  R - r < d < R + r+ Hai đờng tròn tiếp xúc trong  d = R - r

Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài d = R + r + Hai đờng tròn ngoài nhau  d > R + r Hai đờng tròn đựng nhau  d < R - r6) Tiếp tuyến của đờng tròn

- Định nghĩa: Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) có một điểm chung A thì đờng thẳng đó gọi là tiếp tuyến của đờng tròn, A gọi là tiếp điểm

- Tính chất

+ Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

+ Dấu hiệu nhận biết:

* Đờng thẳng và đờng tròn có một điểm chung

* Khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng đó bằng bán kính

C

α

* Đờng thẳng đó đi qua một điểm nằm trên đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

7) Góc với đờng tròn

a) Định nghĩa và các tính chất

1 Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm đờng tròn

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ

Số đo của nữa đờng tròn bằng 1800

sd AmB AOBẳ =ã ; sd AnBẳ = 360 0 −sd AmBẳ

n

m BA

Số đo của góc nội tiếp bằng nữa

số đo của cung bị chắn

O

3 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến

với dây là góc có đỉnh nằm

trên đờng tròn, một cạnh là tia

tiếp tuyến và một cạnh chứa

một dây của đờng tròn đó

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây bằng nữa số đo của cung bị chắn

2

xAB= sd AmB

x m

A O

5 Góc có đỉnh nằm ở bên

ngoài đờng tròn Số đo của góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đờng tròn bằng nữa

hiệu số đo của hai cung bị chắn

2

AEC= sd AmC sd BnD−

E B D n

m C

A O

b) Hệ quả

Trong một đờng tròn

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắc các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay hai cung bằng nhau thì bằng nhau

- Các góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nữa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nữa đờng trònn là góc vuông

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

8) Tứ giác nội tiếp

* Định nghĩa

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên cùng một đờng tròn

* Tính chất

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 1800

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đợc đờng tròn

* Dấu hiệu nhận biết tứ giác ABCD nội tiếp

- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng nằm trên một đờng tròn (Tìm điểm O sao cho OA = OB = OC = OD)

- Chứng minh tứ giác đó có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800

- Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đối diện

- Chứng minh tứ giác đó có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dới một góc không đổi

9) Độ dài đờng tròn, cung tròn

Độ dài đờng tròn: C = 2πR = πd

Độ dài cung tròn:

360 180

- Kĩ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm bài tập hình học

- Kĩ năng suy luận logic

- Kĩ năng trình bày lời giải

III/ Một số bài tập vận dụng:

Bài 1: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là các

tiếp điểm ) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O) (M khác B,C) Tiếp tuyến qua M cắt AB,AC tại E và F Đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q

a) Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp đợc một trong đờng tròn

b) Chứng minh tỷ số

FE PQ

không đổi khi M thay đổi trên đờng tròn (A cố định )