Toán ôn tập thi lên lớp 10

1 Phần thứ nhất Biến đổi biểu thức đại số I. Các phép biến đổi về căn thức 1. Hằng đẳng thức đáng nhớ ( ) 2 2 2 a b a 2ab b+ = + + ( ) 2 2 2 a b a 2ab b = + ( ) ( ) 2 2 a b a b a b+ = ( ) 3 3 2 2 3 a b a 3a b 3ab b+ = + + + ( ) 3 3 2 2 3 a b a 3a b 3ab b = + ( ) ( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b+ = + + ( ) ( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b = + + ( ) 2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca+ + = + + + + + 2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai - Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A 0 - Các công thức biến đổi căn thức. = 2 A A = AB A. B (A 0;B 0) = > A A (A 0;B 0) B B = 2 A B A B (B 0) = 2 A B A B (A 0;B 0) = < 2 A B A B (A 0;B 0) = A 1 AB (AB 0;B 0) B B = > A A B (B 0) B B = m 2 2 C C( A B) (A 0;A B ) A B A B C C( A B) (A 0;B 0;A B ) A B A B = m 3. Các dạng bài tập cơ bản Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bớc 4: Rút gọn biểu thức Bớc 5: Tính số trị (nếu còn tham số) Dạng 2: Rút gọn biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức Bớc 2: Trục căn thức ở mẫu nếu có (nếu có) Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 4: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bớc 5: Rút gọn biểu thức Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức Bớc 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái. Cũng có khi chúng ta phải biến đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức nguyên: Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện Bớc 2: Rút gọn về dạng f(x) a hay a f(x) . Nếu f(x) a thì f(x) là bội của a. 1 2 Nếu a f(x) thì f(x) là ớc của a Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai Bài tập tham khảo Bài 1: Cho biểu thức : a 2 5 P a 3 a a 6 + = + + + 1 2 a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 Bài 2: Cho biểu thức P = a 1 2 a 1 : a 1 a 1 a a a a 1 + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3= Bài 3: Cho biểu thức: P = 2 x x 3x 3 2 x 2 : 1 x 9 x 3 x 3 x 3 + + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 1 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 4 : Cho biểu thức : Q = x 2 x 2 x 1 . x 1 x 2 x 1 x + + ữ ữ + + a) Tìm x để Q Q> b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Bài 5 : Cho biểu thức : A = x x 1 x 1 x 1 x 1 + + a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1 4 c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để A A= chiến lợc giải bài toán Trong quá trình giải bài tập rất cần khả năng suy nghĩ lập luận có tính chất chiến lợc để giải bài toán, nh vậy cần tự mình đặt ra câu hỏi và cố gắng tự tìm câu trả lời trong khả năng có thể. Để rèn luyện đợc thói quen này, ta nên làm theo những hớng dẫn suy luận sau: 1. Tìm hiểu bài toán: - Gọi chung Giả thiết là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc vv Kết luận là: điều phải tìm, là ẩn vv - Trớc hết h y cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dựng các kí hiệu toán học.ã - Cần xác định ngay dạng của bài toán để xác định rõ phơng hớng giải. 2 3 - Bài toán có điều kiện gì ? Cần phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả điều kiện đó thành công thức không ? - Nhớ lại các kiến thức liên quan đến bài toán, tìm mối liên hệ giữa điều đ cho với điều phải tìm.ã - Phân tích điều phải tìm để đi tìm phơng hớng đi đến đích của bài. 2. Tìm tòi lời giải. * Liên hệ với các bài toán đã giải: + Ta đ gặp bài toán này lần nào chã a ? Hay đ gặp ở một dạng khác ?ã + Ta có biết một bài toán nào có liên quan không ? + Đây là bài toán có liên quan mà ta đ có lần giải rồi ? - Vậy thì : Có thể sử dụng nó không ? Có thểã sử dụng kết quả của nó không ? Có thể sử dụng kết quả ở bài trớc (đ giải) vào bài này không ? Có cần phảiã đa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không ? + Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? * Với bài toán mới và cha giải lần nào: + Nếu cha giải đợc bài toán đ đề ra thì h y thử giải một bài toán có liên quan. ã ã + Ta có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một tr- ờng hợp riêng ? Một bài toán tơng tự ? + Ta có thể giải một phần bài toán không ? H y giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩnã đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó sẽ thay đổi nh thế nào ? + Ta có thể nghĩ ra một điều kiện khác giúp ta xác định đợc ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới đợc gần nhau hơn không ? - Có thể bài toán này có những phần cần chú ý. Liệu ta có bỏ qua phần chú ý đó không ? 3. Trình bày lời giải - Khi giải h y kiểm tra lại từng bã ớc - Ta đ thấy rõ mỗi bã ớc làm của ta đều đúng cha ? - Những lập luận, biến đổi, trình bày của ta đ hợp Lôgíc chã a ? Ta có thể chỉ ra những căn cứ cho những lập luận, biến đổi đó không ? - Ta có thể lập luận Logíc, chặt chẽ, chính xác lời giải hơn nữa không ? (Bổ sung thiếu sót, lợc bỏ những chỗ dài dòng và rờm rà). - Có còn sót trờng hợp nào của bài toán không. 4. Nghiên cứu thêm về lời giải: - Kiểm tra kết quả. Xem xét các lập luận. - Nhìn lại toàn bộ các bớc giải. Rút ra phơng pháp giải một loại toán hay một dạng toán nào đó. Rút ra kinh nghiệm giải toán nh về: + Cách giải, phơng pháp giải loại toán đó + Những bài toán dạng này cần sử dụng kiến thức gì để giải + Những điểm cần chú ý, những sai lầm thờng mắc phải và cách khắc phục vv. - Cố gắng tìm thêm cách giải khác (nếu có thể). - Khai thác thêm các kết quả có thể có của bài toán, đề xuất các bài toán tơng tự, bài toán đặc biệt. Đặc biệt nên cố gắng đa bài toán đ cho về dạng tổng quát của nóã 3 4 Phần thứ hai Phơng trình bậc nhất và hệ phơng trình A- Ph ơng trình bậc nhất: * Định nghĩa: Là phơng trình dạng ax+ b= 0 (với a, b cho trớc, a 0) * Biện luận : Phơng trình ax+ b= 0 + Vô nghiệm khi a=0 và b 0 + Có nghiệm duy nhất khi a 0 + Vô số nghiệm khi a= 0 và b= 0 B- Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn: * Định nghĩa: * Nghiệm hệ phơng trình: * Số nghiệm của hệ: C- Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn * Số nghiệm của hệ: - Vô nghiệm. - Vô số nghiệm. - Một nghiệm duy nhất. * Giải hệ: - Phơng pháp thế. - Phơng pháp cộng. - Phơng pháp đồ thị. * Biện luận số nghiệm của hệ phơng trình: - Phơng pháp 1: Hệ vô số nghiệm khi: ' ' ' a b c a b c = = Hệ có nghiệm duy nhất khi: ' ' a b a b Hệ vô nghiệm khi: ' ' ' a b c a b c = Chú ý: -Nếu một trong các hệ số bằng 0 ta nên sử dụng phơng pháp khác. -Nếu mẫu chứa tham số thì ta nên xét hai trờng hợp (Bằng 0 và khác 0 của mẫu). - Phơng pháp 2: Dùng phơng pháp thế hay cộng đại số đem hệ về dạng Ax+ B= 0 và biện luận số nghiệm của phơng trình này. D- Các dạng bài tập : * Dạng 1: Nhận biết phơng trình bậc nhất hai ẩn, viết đợc nghiệm tổng quát và biểu diển tập nghiệm trên mặt phẳng toạ độ. Ví dụ: Phơng trình nào là phơng trình bậc nhất hai ẩn: A) 0x+ y= 1 C) 2x+ 0y= 2 B) 0x+ 0y= 5 D) 2x= 2 * Dạng 2: Giải hệ phơng trình. * Dạng 3: Giải và biện luận. Ví dụ: Cho hệ: mx+ 2y= -3 m 2 x- 4y= 6 4 5 a) Giải hệ với m= 2. b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm. Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh sử dụng một trong hai phơng pháp trên. Phần thứ ba Ph ơng trình bậc hai Hệ thức vi-ét A- Ph ơng trình bậc hai: * Định nghĩa: Là phơng trình có dạng ax 2 + bx + c= 0 (a, b, c cho trớc và a 0) * Cách giải: - Khuyết b: ax 2 + c= 0 x 2 = c a Nếu c a 0 x 1,2 = c a Nếu c a < 0 Phơng trình vô nghiệm. - Khuyết c: ax 2 + bx= 0 x(ax+ b)= 0 x= 0 x= b a - Phơng trình: ax 2 + bx + c= 0 (a 0) Dùng công thức nghiệm B- Các dạng toán: * Dạng 1: Điều kiện có nghiệm của phơng trình dạng ax 2 + bx + c= 0 - Phơng trình vô nghiệm: + Xét a= 0 thay vào xem phơng trình vô nghiệm không. + Xét a 0 và < 0 - Phơng trình nhận mọi x làm nghiệm: a= b= c= 0 - Phơng trình có nghiệm: + Xét a= 0 thay vào xem phơng trình có nghiệm không. + Xét a 0 và 0 - Phơng trình có nghiệm duy nhất: + Xét a= 0 và b 0 + Xét a 0 và = 0 Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: mx 2 + 2(m- 1)x- 2= 0 Giải: - Với m= 0 -2x- 2= 0 x= -1 - Với m 0 phơng trình có nghiệm duy nhất khi = 0 Mà = m 2 + 1> 0 nên khong có giá trị m để = 0 Vậy với m= 0 phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất 5 6 Ví dụ 2: Cho (m 2 - 1)x 2 + 2(m+ 1)x-1= 0 a) Giải phơng trình khi m=- 2 b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm. Giải: a) Khi m= -2 phơng trình trở thành: 3x 2 - 2x- 1= 0 Có a+ b+ c= 0 nên x 1 = 1 và x 2 = - 1 2 b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi > 0 và m 1 = m 2 + 2m +1+m 2 -1= m (m +2) >0 khi m > 0 và m 1 m < -2 c) Phơng trình có 1 nghiệm có hai khả năng: - Với m 2 = 1 m= 1 thì phơng trình có dạng: 4x -1 =0 x= 1 4 m=-1 thì phơng trình có dạng: 0x +1= 0 (phơng trình vô nghiệm) - Với m 1 thì phơng trình có một nghiệm khi = 0 m = 0 m = -2 * Dạng 2: Chứng minh phơng trình bậc hai luôn có nghiệm : - Phơng pháp : +Xét trờng hợp a = 0 xem phơng trình có nghiệm không + với a 0 phơng trình có nghiệm khi 0 hay 0 Ví dụ 1: Cho phơng trình: m x 2 - 2(m+1)x + m + 2 =0. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm. H ớng dẩn: - Với m= 0 thì phơng trình có dạng: -2 x +2 =0 x=1 - Với m 0 ta có = 1 nên phơng trình luôn có hai nghiệm. Ví dụ : Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm: x 2 +2m x +3 =0 và x 2 +3 x +2m =0 H ớng dẩn: Ta đi chứng minh 1 + 2 0 thì ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm. Chú ý: Ta có nhận xét sau: - Nếu 1 + 2 < 0 thì ít nhất một trong hai phơng trình vô nghiệm. - Nếu 1 . 2 < 0 thì một phơng trình vô nghiệm, một phơng trình có nghiệm. * Dạng 3: Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ Với a, b, c là các số nguyên : ax 2 + bx+ c= 0 Định lý 1: Điều kiên cần để phơng trình có nghiệm hữu tỷ là = k 2 (với k Z) Định lý 2: Nếu x 0 = p q là nghiệm hữu tỷ của phơng trình và (p, q)= 1 thì p là ớc của c và q là ớc của q. Chú ý: Nếu a = 1 thì phơng trình có nghiệm hữu tỷ khi = k 2 C- Hệ thức vi- ét và ứng dụng: * Định lý Vi-ét: 6 7 - Nếu x 1 và x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 +bx +c =0 thì : x 1 + x 2 = b a x 1 . x 2 = c a Chú ý: Trớc khi vận dụng hệ thức Vi- ét cần tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm . * Hệ quả: - Nếu có a+ b+ c=0 thì x 1 = 1 và x 2 = c a - Nếu có a- b+ c= 0 thì x 1 = -1 và x 2 = - c a d. Ph ơng trình qui về ph ơng trình bậc hai Học sinh nắm chắc cách giải phơng trình trùng phơng, phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình tích E- Các dạng bài tập: * Dạng 1: Nhẩm nghiệm phơng trình và cho biết một nghiệm tìm nghiệm kia Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phơng trình sau: a) 3 x 2 + 4x- 7= 0 b) 5 x 2 - 3x -8 = 0 c) (m- 1)x 2 + 3mx+ 2m+ 1= 0 Chú ý: Nếu vội kết luận phơng trình này có a- b + c= 0 thì x 1 = -1 và x 2 = - c a = - 2 1 1 m m + là sai lầm. Ta giải nh sau: - Nếu m= 1 thì phơng trình có nghiệm là: x= -1 - Nếu m 1 thì phơng trình này là phơng trình bậc hai có a- b+ c= 0 nên x 1 =- 1 x 2 = - c a = - 2 1 1 m m + Ví dụ 2: Cho phơng trình: x 2 - 2mx+ 5= 0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia? Giải: Phơng trình có một nghiệm bằng 2 khi: 2 2 - 2.2m+ 5= 0 m= 9 4 Vì x 1 . x 2 = c a = 5 mà x 1 = 2 nên x 2 = 5 2 * Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích : Nếu u+ v= S và u. v= P thì u, v là nghiệm phơng trình: x 2 - Sx+ P= 0 (1) Chú ý: Nếu phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 2 (điều kiện S 2 - 4P 0) thì ta có: u= x 1 và v= x 2 v= x 1 và u= x 2 Ví dụ: a) Tìm u, v biết: u+ v= 4 và u. v= 3 7 8 b) Tìm hai cạnh của một hình chữ nhật biết chu vi là 6m và diện tích bằng 2m 2 . * Dạng 3: 1- Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó. - Biết hai nghiệm x 1 và x 2 thì ta tính đợc: S= x 1 + x 2 P= x 1 . x 2 Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc hai nhận 1 2 và 1 2+ Giải: S= 1 2 1 2+ + = 2 P= ( 1 2 ).( 1 2+ )= -1 Vậy ta có phơng trình nhận 1 2 và 1 2+ làm nghiệm là: X 2 - 2X- 1= 0 Ví dụ 2: Cho x 2 + 2(m+ 1)x+ 2m+ 3= 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 . Sau đó hãy lập các phơng trình bậc hai có các nghiệm là: a) 2x 1 và 2x 2 b) x 1 + x 2 và x 1 . x 2 c) x 1 - 1 và x 2 - 1 2- Lập phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm cho trớc Ví dụ: Lập 1 phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm là 1- 3 Giải: Gọi phơng trình cần lập có dạng: x 2 + ax+ b= 0. Vì x = 1- 3 là nghiệm nên: (1- 3 ) 2 + a (1- 3 )+b = 0 <=> (4+ a+ b) - 3 ( 2+a)= 0 Vì phơng trình cần lập có các hệ số hữu tỷ nên (4+ a+ b) =0 và (2+ a)= 0 a= -2 và b= -2. Vậy phơng trình cần lập là: x 2 - 2x- 2= 0 * Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm: Ph ơng pháp : - Điều kiện phơng trình có hai nghiệm: a 0 và 0 - Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích các nghiệm 2- Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm : Ví dụ: Không giải phơng trình: x 2 - x- 1= 0 hãy tính: 2 2 1 2 x x+ ; 1 2 x x 3- Tính biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm : Ví dụ: Không giải phơng trình: x 2 - x- 1= 0 hãy tính: 5 6 1 2 1 3x x x+ + Giải: Vì phơng trình trên có a. c< 0 nên phơng trình luôn có hai nghiệm x 1 + x 2 = 1 và x 1 . x 2 = -1. Ta có 2 1 1 2 1 ( )x x x x= + x 1 . x 2 = x 1 + 1 1 3 2 1 1 1 1 . ( 1)x x x x x= = + = 2 1 x +x 1 = 2x 1 + 1 5 2 3 1 1 1 .x x x= = ( x 1 +1 )(2x 1 +1 )= 5x 1 + 3 Do x 1 và x 2 bình đẳng nên tơng tự ta có : 8 Ta đợc phơng trình X 2 - SX+ P= 0 9 2 3 2 2 2 2 6 3 2 2 2 2 2 2 1; 2 1 ( ) (2 x 1) 8 5 x x x x x x x = + = + = = + = + Vậy A= 5x 1 + 3+ 8x 2 + 5+ 3x 1 = 8(x 1 + x 2 )+ 8= 16 Chú ý: Để nhấn mạnh điều kiện để vận dụng hệ thức vi-ét giáo viên có thể đem ví dụ sau: Ví dụ: Một học sinh làm nh sau: Phơng trình x 2 - x+ 1= 0 có x 1 + x 2 =1 và x 1 . x 2 = 1. Em có nhận xét gì về cách làm của bạn . (Học sinh trên làm sai vì phơng trình x 2 - x+ 1 =0 có < 0 nên phơng trình vô nghiệm) * Dạng 5: Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số: Ph ơng pháp : - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm a 0 và 0 - áp dụng hệ thức Vi ét: x 1 + x 2 = S = f (m) và x 1 . x 2 = P = g (m) - Khử m từ hệ phơng trình trên. Ví dụ: Cho phơng trình: x 2 - (2m+1)x+ m 2 + m- 1= 0. Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc và m. Giải: Vì = (2m+1) 2 - 4(m 2 +m - 1)= 5> 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm Theo v-ét ta có: x 1 + x 2 = S = 2m+ 1 (1) và x 1 . x 2 =P =m 2 + m- 1 (2) Từ (1) ta có: m= 1 2 s thay vào (2) ta đợc ( 1 2 s ) 2 + 1 2 s -1 = P S 2 - 4P= 5 hay (x 1 + x 2 ) 2 - 4x 1 . x 2 = 5 * Dạng 6: Xét dấu các nghiệm Ph ơng pháp : Phơng trình ax 2 + bx+c= 0 - Có hai nghiệm trái dấu khi: P< 0 - Có hai nghiệm cùng dấu khi: a 0 và 0 P> 0 - Có hai nghiệm dơng khi: a 0 và 0 , S > 0 và P> 0 - Có hai nghiệm âm khi: a 0 và 0, S< 0 và P> 0 Chú ý: Nếu yêu cầu của bài toán là hai nghiệm phân biệt thì điều kiện của là > 0 Ví dụ 1: Tìm mđể các phơng trình sau: a) x 2 - 2x- m =0 có hai nghiệm trái dấu. b) x 2 - 2mx- (m- 1) 2 = 0 có hai nghiệm dơng. c) 2x 2 - 2( m+ 1)x+ m= 0 có hai nghiệm âm phân biệt. Với mức độ khó hơn ta có bài tập sau: Ví dụ 2: Cho phơng trình: mx 2 - 2(3- m)x+ m- 4= 0. Tìm m để: a) Phơng trình có đúng một nghiệm âm. b) Phơng trình có hai nghiệm đối nhau. H ớng dẩn: a) Xét hai trờng hợp : 9 10 - Với m= 0 thì phơng trình có nghiệm là x = 2 3 là nghiệm âm duy nhất của phơng trình - Với 0 phơng trình có đúng một nghiệm âm khi : x 1 < 0 < x 2 P< 0 x 1 <0 = x 2 P= 0 và S< 0 x 1 = x 2 <0 = 0 và S< 0 Thay các giá trị vào ta đợc 0 m 4và m= 9 2 b) phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi P <0 Và S =0 * Dạng 7: Tìm điều kiện để các nghiệm phơng trình thoã mãn yêu cầu nào đó Ph ơng pháp - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm - Lập hệ ba phơng trình (trong đó hai phơng trình l các hệ thức vi-ét và 1phơng trình theo yêu cầu bài toán). - Giải hệ trên, đối chiếu với điều kiện và trả lời. Ví dụ 1: Tìm mđể phơng trình sau 3x 2 - 4x+ m= 0 có hai nghiệm thoã mãn: x 1 = 3x 2 Giải: Đk để phơng trình có hai nghiệm 0 m 4 3 Ta có hệ : x 1 + x 2 = 4 3 x 1 . x 2 = 3 m Giải hệ ta đợc m=1 thoã mãn điều kiện x 1 = 3 x 2 Đối với hs khá ta có thể đem bài tập sau: Ví dụ 2: Tìm mđể phơng trình: x 2 - (m+1)x+ 2m= 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 là độ dài hai cạnh góc vuông củ1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5. * Dạng 8: Biện luận số nghiệm của phơng trình trùng phơng: Cho phơng trình: ax 4 + bx 2 + c= 0 (1) Đặt x 2 =y (điều kiện y 0) Ta đợc phơng trình ay 2 + by+ c= 0 (2) Mỗi nghiệm dơng của phơng trình (2) cho ta hai nghiệm trái dấu của phơng trình (1) Số nghiệm phơng trình (1) Dấu các nghiệm phơng trình (2) Điều kiện của phơng trình 4 0< y 1 < y 2 a 0, > 0, S > 0 và P > 0 3 y 1 = 0< y 2 a 0, S > 0 và P= 0 2 y 1 < 0 < y 2 P< 0 0 <y 1 = y 2 a 0 và = 0 , S >0 1 y 1 < 0= y 2 a 0 P=0 và S o 10 [...]... trình )nghiệm nào thích hợp bài toán và kết luận 2 Các dạng toán thờng gặp : a )Toán chuyển động : S t -S ử dụng thành thạo các công thức: S = v.t , v = , t = S (trong đó S là quãng đv ờng, v là vận tốc, t là thời gian ) - Lu ý thống nhất đơn vị - Đối với chuyển động dới dòng nớc chảy vxd = v cn +vdn , vnd = v cn vdn b) Toán làm chung, làm riêng, vòi nớc chảy - Coi cả công việc (cả bể nớc) là 1 - Tính... phơng trình luôn có nghiệm với mọi m c) Tỡm m A = x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất ( x1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình) Bài 3: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ thì xong công việc đã định Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại và hoàn thành trong 10 giờ Hỏi mỗi tổ làm một mình thì sau bao lâu hoàn thành công việc? Bài... làm chung thì sẽ hoàn thành công việc sau 4 giờ, nếu mỗi đội làm một mình thì đội I làm xong việc nhanh hơn đội II 6 giờ Tính xem mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc 9.Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 10, tích của chúng nhỏ hơn số đã cho là 16 Tìm số có hai chữ số đó 10 Theo kế hoạch dự định cả hai xởng cơ khí mỗi ngày sản xuất 385 nông cụ nhng do cải tiến kĩ thuật... b) Toán làm chung, làm riêng, vòi nớc chảy - Coi cả công việc (cả bể nớc) là 1 - Tính năng suất của mỗi đối tợng 14 15 c) Toán về số và quan hệ các số - Chú ý cấu tạo số d) Toán liên quan đến tỉ số % e) Toán liên quan đến hình học g) Toán liên quan vật lý, hoá học II.Một số bài tập 1 Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian nhất định, nếu ô tô tăng vận tốc thêm 8km/h thì đến B sớm hơn dự định... tuỳ theo giá trị của a 3 Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ O(0;0) bằng 3 Bài 3(2 điểm): Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi là 48cm Ngời ta cắt bỏ 4 hình vuông có cạnh là 2cm ở 4 góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật(không có nắp) Tính kích thớc của tấm tôn đó, biết rằng thể tích hình hộp bằng 96 cm3 Bài 4(3 điểm): Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán... trái dấu c) Chứng minh phơng trình 3m2x2 + 2x 1 = 0 (m # 0) luôn có hai nghiệm phân biệt và mỗi nghiệm của nó là nghịch đảo của một nghiệm của phơng trình (1) Câu 3 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AD là trung tuyến Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M # A; M # D) Gọi I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC; H là hình chiếu vuông góc của I trên đờng thẳng DK a) Tứ giác AIMK là hình gì?... -2x a) Trong các điểm sau điểm nào thuộc, không thuộc (P)? tại sao? 1 1 A(-1; -2); B( ; ); C( 2; 4 ) 2 2 b) Tìm k để đờng thẳng (d): y = kx + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt c) Chứng minh điểm E(m; m2 + 1) không thuộc (P) với mọi giá trị của m Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B lớn hơn góc C Kẻ đ ờng cao AH Trên đoạn HC đặt HD = HB Từ C kẻ CE vuông góc với AD tại E a) Chứng minh các tam giác... hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau Ví dụ 2: a) Trên đờng thẳng 8x-13y+6=0 tìm các điểm có toạ nguyên (điểm nguyên ) nằm giữa hai đờng thẳng x= -10; x=50 3 2 7 4 b) Vẽ đồ thị(d) hàm số y = x + Có bao nhiêu điểm có toạ độ nguyên nằm trên cạnh hoặc trong tam giác tạo bởi 3 đờng thẳng (d);x=6;y=0 x = 13t + 9 y = 8t + 6(t Z ) HD: a)Trớc hết giải pt nghiệm nguyên ta đợc Do -10 . biểu bài toán một cách khác không ? * Với bài toán mới và cha giải lần nào: + Nếu cha giải đợc bài toán đ đề ra thì h y thử giải một bài toán có liên quan. ã ã + Ta có thể nghĩ ra một bài toán có. giải. * Liên hệ với các bài toán đã giải: + Ta đ gặp bài toán này lần nào chã a ? Hay đ gặp ở một dạng khác ?ã + Ta có biết một bài toán nào có liên quan không ? + Đây là bài toán có liên quan mà ta. bài toán: - Gọi chung Giả thi t là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc vv Kết luận là: điều phải tìm, là ẩn vv - Trớc hết h y cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán