Một điểm M thay đổi nhng không thuộc các đường thẳng AB, BC, CA.. Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao điểm hai đường chéo AC và BD... Chứng minh rằng trong các điểm A k không có ba điểm nà
Trang 1ĐỀ THI HSG KHỐI 10 TỈNH VĨNH PHÚC – KHễNG CHUYấN
Năm 1998-1999
Cõu 1 Gpt x− +2 4− =x x2 −6x+11 Cõu 2 Cmr 1 1 2, *
n
Cõu 3 Gpt x7 −2x6 +3x5 − − +x4 x3 3x2 −2x+ =1 0
Cõu 4 Tỡm a để hệ sau cú nghiệm duy nhất:
4
x xy y a
x xy y a
Cõu 5 Giả sử O là điểm nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng OA, OB, OC cắt các cạnh đối diện
tại A',B',C' Tìm tập hợp điểm O sao cho S∆2OAC' +S∆2OBA' +S∆2OCB' =S∆2OBC' +S∆2OCA' +S∆2OAB'
Năm 1999-2000
Cõu 1 Giải hpt:
Cõu 2 Cho h/s
2
2
( 36
x ax
x
−
=
+ là tham số) Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số có GTLN, GTNN; đồng thời các giá trị đó là các số nguyên?
Cõu 3 Cho ABC∆ cú
h h h
a) Tớnh cosC. b) Cmr: cos2 A+cos2B=1
Cõu 4 Cho tam giỏc ABC cố định Một điểm M thay đổi nhng không thuộc các đường thẳng AB, BC,
CA Gọi x, y,z tương ứng là khoảng cách từ M đến AB, BC, CA Tìm tập hợp điểm M sao cho
Cõu 5 Kí hiệu $ S _ $ là tập $ n $ stn đầu tiên, nghĩa là $ S _ n= \{ 1, \ 2, \ ., \ n \} $\\
a Tìm các giá trị của $ n sao cho có thể chia $ S _ n $ thành 2 tập hợp khác rỗng có tổng các phần tử bằng nhau ( và bằng $\dfrac{ n(n+1) }{ 4 }\cdot ) $\\
b Tìm các giá trị của $ n sao cho có thể chia $ S _ n $ thành 3 tập hợp khác rỗng có tổng các phần tử bằng nhau ( và bằng $\dfrac{ n(n+1) }{ 6 }\cdot ) $
Năm 2000-2001
Cõu 1 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m sao cho pt:
x m m
x m x m m x
Cõu 2 Lập phương trỡnh trựng phương cú tổng bỡnh phương cỏc nghiệm bằng 50 và tớch cỏc nghiệm bằng 144
Cõu 3 Cho x y, ∈Ă &x2+xy y+ 2 =1 Tỡm GTLN của F =x y y x3 + 3
Cõu 4 Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao điểm hai đường chéo AC và BD Đặt AB=c, BC=p, CD=q,
DA=b, DB=a; biết rằng DB=3DM, AM=MC.
a Hãy tính p, q theo a, b, c.
b Chứng minh rằng nếu: ãABD+1800 =2ãADB thỡDBCã =2BDCã
Trang 2Cõu 5 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho p điểm A k r k k( ; );k =0,1,2, ,p−1;với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và r k là số dư trong phép chia k2 cho p Chứng minh rằng trong các điểm A k không có ba
điểm nào thẳng hàng; không có 4 điểm nào là 4 đỉnh của một hình bình hành.
Năm 2001-2002
Cõu 1 Gpt: x−2 x− − −1 (x 1) x + x x( − =1) 0
Cõu 2 Tỡm tất cả cỏc số thực a, b để hệ sau cú nghiệm:
2
2
1 0
1 0
ax bx
bx ax
Cõu 3 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giỏc Cmr:
a b c+ − + b c a+ − + c a b+ − ≤ a + b + c
Cõu 4 Cho tam giỏc ABC cú A=50 ,0 B=60 ,0 C =70 0 M là một điểm thuộc mặt phẳng chứa
tam giỏc Gọi A B C tương ứng là hỡnh chiếu vuụng gúc của M lờn cỏc đương thẳng BC, CA, 1, ,1 1
AB.
a) Khi M trựng với tõm I của đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC thỡ A B C cú là ba đỉnh của 1, ,1 1 một tam giỏc đều khụng?
b) Tỡm tất cả cỏc điểm M để A B C là ba đỉnh của một tam giỏc đều.1, ,1 1
Cõu 5 Trong các ô vuông của một bảng hình vuông kích thước 2002X2002, người ta ghi các số thực sao cho: Tổng các số trong một hình chữ thập tùy ý ( hình gồm một dòng và một cột ) không nhỏ hơn
2002 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng các số trong bảng.
Năm 2002-2003
Cõu 1
a) Gpt 4 3 3− x+ = −1 1 x
b) Tỡm điều kiện của tham số m, n để hai hệ phương trỡnh sau tương đương
2 (1) 2 (2)
Cõu 2 Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x;y) thỏa món
(5x2 +3 ) 3 & 2y3 M x2 +5y2 =11(xy−143)
Cõu 3 Cho x, y là cỏc số thực dương Cmr hai mệnh đề sau tương đương:
( ) 1 ( ) , 1
1
x
x
− Cõu 4 Cho tam giỏc ABC nhọn (AB>AC) với cỏc đường cao AD, BE, CF Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC, AB lần lượt tại Q, R Gọi P là giao điểm của EF với BC
Chứng minh rằng:
a) Cỏc điểm E, F, D và trung điểm của đoạn thẳng BC nằm trờn một đường trũn
b) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc PQR đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC
Năm 2003-2004
Cõu 1 Giải hpt
3
3
3
x y x
y z y
z x z
Cõu 2 a Cmr: p2 +q2 + >1 p q( +1),(∀p q, ∈Ă )
Trang 3b Tìm số thực b lớn nhất sao cho p2+q2 + ≥1 bp q( +1),(∀p q, ∈¡ ).
Câu 3 Giải pt sau trên ¢ : x3 = y3 +2y2 +1
Câu 4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) (AC không là đường kính của đường tròn) Tiếp tuyến với (C) tại A, C cắt nhau tại P Giá sử PA2 =PB PD và P nằm trên đường thẳng BD
Cmr:
a) APD∆ : ∆BPC b) BD đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
Năm 2004-2005
Câu 1 Giả sử pt bậc hai x2 +2ax+ =4 0 có nghiệm là x x 1, 2
a) Xác định a để x x >0 b) Tính 1, 2 4 4
M = x + x N = x + x theo a.
c) Tìm a để
4
÷ ÷
Câu 2 Cho hệ hai ẩn x, y:
2
2
x ax a
y by x
a) Giải hpt khi a=-3, b=2 b) Tìm các số nguyên a,b để hệ có đúng ba nghiệm.
Câu 3
a) Cho các h/s f x( ) x p; ( )g x x p2,(p 0
= + = + > cho trước) Với x > 0, tìm GTNN của
( ), ( )
f x g x
3
x y z > x y z+ + = Cmr x+ xy + xyz ≤
Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn Gọi ( O ), (1 O ) lần lượt là đường tròn bàng tiếp trong các góc 2
C,B của tam giác ABC ( O ) tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại 1 C G E ; (1, , O ) tiếp xúc với 2
AC, BC, AB lần lượt tại B F H Gọi 1, , P EG FH I= × ; =PA BC Cmr×
a) Ba điểm O A O thẳng hàng b) 1, , 2 1
2
IE O A
IF =O A× Năm 2005-2006 (28/03/2006)
Câu 1 Cho phương trình bậc hai x2 −4mx+5m2 +2m− =3 0,m là tham số Gọi x x là hai 1, 2 nghiệm của phương trình Hãy tính GTLN và GTNN của biểu thức 2 2
1 3 1 2 3 2
A x= − x +x − x
Câu 2
a) Giải hpt:
x y x y
x y x y
Câu 3
a) Với giá trị nào của m thì các nghiệm x x của pt: 1, 2 x2 −2x+ −1 m2 =0 và các nghiệm x x 3, 4 của pt: x2 −2(m+1)x m m+ ( − =1) 0 thỏa mãn x3 ≤ ≤ ≤x1 x2 x4
b) Tìm m để bpt mx2 −2(m−1)x+3(m− ≥2) 0 nghiệm đúng với mọi x≥2
Câu 4 Cho tam giác ABC thỏa mãn c4 =a4 +b4 Cmr:
a) ABC∆ nhọn b) 2sin2C =tan tanA B
Câu 5 Cmr nếu y x≥ ≥0 thì ta luôn có BĐT: 16y2 −13x y2 −x2 −9x y2 +x2 ≥0
Trang 4Năm 2006-2007
Câu 1 Cho pt: x2 +(m−4)x m+ 2 −3m+ =3 0,m là tham số Tìm m để pt có 2 nghiệm x x đều 1, 2 khác 1 Khi đó chứng minh rằng: 1
2
49 7
mx mx
Câu 4 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) D là trung điểm AB E là trọng tâm tam giác ADC Cmr OE ⊥CD
Câu 5 Cho , ,x y z >0 &xyz =32. Tìm GTNN của P x= 2 +4y2 +2z2 +4 xy
Năm 2007-2008
Câu 1 Tìm tất cả các giá trị của p để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
2
2
1
p x p x
x
≤
Câu 2 Cho các số thực dương , , & a b c a b c=1 Cmr: a 1 1 b 1 1 c 1 1 1
Câu 3 Cho h/s :f ¡ →¡ thỏa mãn + 1 2
2
f x a+ = + f x − f x ∀ ∈x ¡
Câu 4 Cho tam giác ABC có · BAC=450 E,F tương ứng là chân các đương cao kẻ từ B, C và H
là trực tâm tam giác ABC M,K tương ứng là trung điểm của BC, AH
a Chứng minh rằng từ giác MEKF là hình vuông.
b Cmr các đường chéo của tứ giác MEKF giao nhau tại trung điểm của OH, Với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c Tính độ dài đoạn EF nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1
Trang 5Năm 2009-2010
Câu 1.(2,5 đ) Giải hpt:
2
y xy x
y x y x
(x −3 ) 2x x −3x− ≥2 0
Câu 3 (1,5 đ) Cho a là một số thực Xét hai tập hợp:
A={( ; ) | ,x y x y∈¡ ,x y a+ = } & B={( ; ) | ,x y x y∈¡ ,x3 +y3<a}
Tìm tất cả các giá trị của a để A & B không có phần tử chung.
Câu 4 (2,5 đ) Cho tam giác ABC không đều với ba cạnh: AB c BC a CA b= , = , = Gọi O, G theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC S, R theo thứ tự là diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Cmr: a2 + + =b2 c2 9(R2−OG2)
b) Giả sử a2 =4 cot S A Cmr AG OG: ⊥
Câu 5 (1 đ)
Trang 6Cho , , 0 & 1 1 1 1 :