SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 21/03/2014 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 01 trang, gồm có 5 câu Câu I (4,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 6 9 2 2 y m x mx m x có đồ thị (C m ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1. 2. Tìm m để đường thẳng d: y = - 2 cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; -2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 13 . Câu II (4,0 điểm). 1. Giải phương trình: 2 3cos4 2sin 2 0 x x . 2. Giải hệ phương trình: x x 8 y x y y x y 5 ( ;x y R ). Câu III (4,0 điểm). 1. Cho 6 số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 1 và m + n + p = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m. 2. Giải phương trình 2 3 4 8 2 log 1 2 log 4 log 4 x x x . Câu IV (4,0 điểm). 1. Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2 ( 2) n x , biết: 3 2 1 8 49, ( , 3) n n n A C C n N n . 2. T rong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0 và đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0. Gọi I là giao điểm của (d) và (d'). Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc bằng 60 o . Câu V (4,0 điểm). 1. Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình thoi với cạnh AB = a, góc o BAD 60 . Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a. a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho. b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính giá trị cosBMD . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;1), B(2;0;6), C(3;2;0) , D(7;4;2). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều C, D. ……………………………… HẾT……………………………………. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Số báo danh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ( Đề chính thức ) Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 21/03/2014 Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang. Câu Ý Nội dung Điểm I (4,0 điểm) 1 Khảo sát (2,0 điểm) Khi m = 1 3 2 6 9 2y x x x TXĐ: D = R 3 2 lim ( 6 9 2) x x x x , 3 2 lim ( 6 9 2) x x x x ' 2 1 3 12 9 0 3 x y x x x 0,50 BBT: x - 1 3 + y / + 0 - 0 + 2 + y - -2 0,50 Hàm số đồng biến: (- ; 1),(3;+ ) Hàm số nghịch biến: (1;3) f CĐ = f(1) = 2 f CT = f(3) = -2 Khi y’’ =6x-12=0 2 x =>y=0 Khi x=0=>y=-2 x= 4=>y=2 Đồ thị hàm số nhận I(2;0) là tâm đối xứng 0,50 0,50 2 Tìm m để đường thẳng d: y= - 2 cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0;-2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 13 . (2,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2 2 6 9 2 2 2 m x mx m x 3 2 2 6 9 2 0 m x mx m x (1) 2 2 6 9 2 0 x m x mx m 2 0 2 6 9 2 0 2 x m x mx m 0,50 Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt A(0;-2), B và C vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ta có điều kiện: 2 2 1 9 9 2 0 2 2 0 m m m m m Gọi tọa độ điểm B(x B ; -2), C(x C ; -2) Đk: x B x C (x B ; x C là hai nghiệm của phương trình (2)). 0,50 Gọi h là khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d: y + 2 = 0 => h = 2 Theo bài ra ta có 2 1 . 13 13 4 13(3) 2 OBC B C B C S h BC BC x x x x Theo định lý viét ta có: 6 2 9 B C B C m x x m x x (4) Thay (4) vào (3) ta được: 2 14 6 36 13 13 2 14 m m m m (tm) 0,50 0,50 II (4,0 điểm) 1 Giải phương trình: 2 3cos4 2sin 2 0 x x . (2,0 điểm) Phương trình 2 3 2cos 2 1 1 cos2 2 0 x x 0,50 2 6cos 2 cos2 2 0x x 0,50 1 cos2 2 2 cos2 3 x x 1 2 arccos( ) 2 3 ( ) 6 x k k Z x k là nghiệm. 0,50 0,50 2 Giải hệ phương trình: x x 8 y x y y x y 5 ( ;x y R ). (2,0 điểm) ĐK: x 0; y 0 0,50 Hệ phương trình tương đương với: 2 2 x 1 (x 1) x (y 8) y x(x 1) y(y 8) y x 5 y x 5 0,75 2 x 1 x 1 x 9 y x 5 y x 5 y 4 5 3x 22x 45 0 x 9; x 3 0,50 Từ đó, hệ có nghiệm duy nhất: x 9 y 4 0,25 III (4,0 điểm) 1 Cho 6 số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 1 và m + n + p = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m. (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a.m b.n c.p (a b c )(m n p ) m n p 2 2 2 A a.m b.n c.p m.n n.p p.m m.n n.p p.m m n p . 0,50 Đặt: m.n + n.p + p.m = t. Ta có: 2 25 1 m.n n.p p.m (m n p) 3 3 hay 25 t 3 Và: m 2 + n 2 + p 2 = (m + n + p) 2 – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t. 0,50 Vậy A 25 2t t f (t) . Ta có: 25 1 f (t) 1 0, t 3 25 2t f(t) tăng trên 25 ; 3 25 5 3 25 25 5 A f(t) f 3 3 3 3 . Đẳng thức xảy ra khi: 5 m n p 3 1 a b c 3 0,50 Vậy: 25 5 3 max A 3 đạt được khi 5 m n p 3 và 1 a b c 3 . 0,50 2 Giải phương trình 2 3 4 8 2 log 1 2 log 4 log 4 x x x (2,0 điểm) Điều kiện: 1 0 4 4 4 0 1 4 0 x x x x x 0,50 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16 log 4 1 log 16 4 1 16 x x x x x x x x x 0,50 + Với 1 4 x ta có phương trình 2 4 12 0 x x 2 6 x x lo¹i 0,50 + Với 4 1 x ta có phương trình 2 4 20 0 x x 2 24 2 24 x x lo¹i Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 x hoặc 2 1 6 x 0,50 IV (4,0 điểm) 1 Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2 ( 2) n x , biết: 3 2 1 8 49, ( , 3) n n n A C C n N n . (2,0 điểm) 3 2 1 3 2 8 ( 1) 8 49 ( 1)( 2) 49 2 7 7 49 0 7 n n n n n A C C n n n n n n n n 0,75 Khi đó: 7 2 2 7 2(7 ) 7 0 ( 2) ( 2) 2 n k k k k x x C x 0,50 Số hạng chứa 8 x là 2(7 ) 8 3 k k 0,25 Hệ số của 8 x là 3 3 7 .2 280 C . 0,50 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0 và đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0. Gọi I là giao điểm của (d) và (d'). Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc bằng 60 o . (2,0 điểm) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ 3 x 3x 4y 25 0 7 3 83 I ; 7 14 15x 8y 41 0 83 y 14 . 0,50 Gọi là đường thẳng cần tìm, n (A;B) (A 2 + B 2 > 0) là véc-tơ pháp tuyến của . Khi đó, do Ox có véc-tơ pháp tuyến j (0;1) nên từ giả thiết bài toán ta có: o 2 2 | B | 1 cos60 cos n; j 2 A B A 2 + B 2 = 4B 2 A 2 = 3B 2 . 0,50 Do A 2 + B 2 > 0 nên chọn A = 3 B 3 . 0,25 Với A = 3, B 3 Phương trình : 3 83 3 x 3 y 0 7 14 83 3 9 3x 3y 0 42x 14 3y 18 83 3 0 7 14 . Với A = 3, B 3 Phương trình : 3 83 3 x 3 y 0 7 14 83 3 9 3x 3y 0 42x 14 3y 18 83 3 0 7 14 . Vậy, có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán: 1 : 42x 14 3y 18 83 3 0 , 2 : 42x 14 3y 18 83 3 0 . 0,25 0.50 V (4,0 điểm) 1 Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình thoi với cạnh AB = a, góc o BAD 60 . Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a. a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho. b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính giá trị cosBMD . (2,0 điểm) Từ giả thiết suy ra SAC cân, SBD đều cạnh bằng a. Gọi H = AC BD SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. 0.50 Ta có: 2 2 0 ABCD a 3 a 3 SH ; S a sin 60 2 2 . Do đó: 3 ABCD a 1 V S .SH 3 4 (đvtt). 0.50 MBD cân tại M, MH là đường phân giác của góc BMD . Đặt BMD 2 . Trong SAC, MH là đường trung bình SA MH 2 . a 3 AH SH 2 SHA vuông cân tại H a 3 a 3 SA MH 2 2 2 . 0.50 Trong BMH ta có BH 2 tan tan BMH MH 3 . Từ đó: 2 2 2 9 1 1 cos cos 2 2cos 1 15 5 1 tan . Vậy: 1 cosBMD 5 . 0.50 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;1); B(2;0;6); C(3;2;0) ; D(7;4;2). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều C, D. (2,0 điểm) + Nếu C, D nằm cùng phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi CD//(P) )1;3;2()6;18;12(,)2;2;4(),5;1;1( nCDABCDAB là 1 vtpt của (P) 0,50 Pt (P) là 02320)1(1)1(3)1(2 zyxzyx 0,50 + Nếu C,D nằm khác phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi (P) đi qua trung điểm M(5;3;1) cuả CD )3;10;5()6;20;10(,)0;2;4(),5;1;1( nAMABAMAB là 1 vtpt của (P) 0,50 PT(P) là 0831050)1(3)1(10)1(5 zyxzyx Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2x – 3y – z + 2 = 0 và 5x – 10y - 3z + 8 = 0. 0,50 Hết Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn. . KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 21/03 /2014 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi. VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ( Đề chính thức ) Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 21/03 /2014 Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang cách đều C, D. ……………………………… HẾT……………………………………. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Số báo danh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI