Giáo trình tính toán khoa học - Chương 7 ppt

g x xQui tắc chung để giải phương trình một biến dạng fx=0 như sau: + Tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình; + Giải phương trình trong từng khoảng phân ly nghiệm bằng một trong

Chương 7 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ TỐI ƯU HÓA

7.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

7.1.1 Giải phương trình một biến số

Xét phương trình một biến có dạng:

f(x) = 0 (7.1) Nếu hàm f(x) liên tục trong khoảng [a,b] và đổi dấu tại hai đầu mút của khoảng, tức là f(a)fb)<0, thì trong [a,b] chứa ít nhất 1 nghiệm của phương trình (7.1) Khi đó [a,b] được là một khoảng chứa nghiệm của phương trình Nếu trong khoảng [a,b] có đúng một nghiệm thì nó được gọi là khoảng phân ly nghiệm của

phương trình Khi giải phương trình (7.1) theo các phương pháp số, một điều rất quan trọng là phải tìm được các khoảng phân ly nghiệm Có 2 phương pháp thường được sử dụng để tìm các khoảng phân ly nghiệm:

Định lý 7.1 Nếu trong khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục, đơn điệu và hàm số đổi dấu tại hai đầu mút của khoảng thì [a,b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0

Như vậy khi xét bảng biến thiên hàm số, khoảng phân li nghiệm là khoảng

mà trong đó đạo hàm không đổi dấu và hàm số đổi dấu tại 2 đầu mút

Bằng cách nào đó đưa phương trình f(x)=0 về dạng h(x)-g(x) =0, trong đó các hàm h(x) và g(x) dễ vẽ (phác thảo) đồ thị Dựa vào dạng đồ thị và một số

điểm đặc biệt ta xác định các khoảng phân li nghiệm

Thí dụ 1 Tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình:

g x x

 Khi đó dạng đồ thị của chúng là:

g x x

Qui tắc chung để giải phương trình một biến dạng f(x)=0 như sau:

+ Tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình;

+ Giải phương trình trong từng khoảng phân ly nghiệm bằng một trong các phương pháp số

7.1.2 Phương pháp Chia đôi (Binary)

Giả sử [a,b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 Ta cần

phải tìm nghiệm  của phương trình trong khoảng này với sai số tuyệt đối không

quá  Có thể thực hiện theo thủ tục lặp sau đây:

Quá trình lặp của thủ tục sẽ ngừng khi b- a   Do đó khi kết thúc thủ

tục ta được x là nghiệm xấp xỉ cần tìm

y

a x  b x

Hình 7.3 Phương pháp Chia đôi

Định lý 7.2 Nếu f(x) liên tục trong khoảng phân ly nghiệm [a,b] thì phương

pháp Chia đôi kết thúc sau một số hữu hạn bước lặp và tìm được nghiệm xấp xỉ của phương trình (7.1) trong khoảng đó

Do sau mỗi bước lặp độ dài khoảng phân ly nghiệm là b a sẽ giảm đi đúng

một nửa nên có thể dễ dàng thấy thủ tục trên sẽ dừng lại ở bước k thỏa mãn:

phương pháp Chia đôi phải thực hiện rất nhiều bước lặp

 Cài đặt thủ tục tính toán trong Matlab

Bây giờ hãy cài đặt hàm Matlab tên là Binary.m để giải phương trình

f(x)=0 trong khoảng phân ly nghiệm [a,b] bằng phương pháp Chia đôi Để lệnh

- x là nghiệm cần tìm trong khoảng phân ly nghiệm [a,b];

- FUN là xâu tên hàm của phương trình;

- Tol là sai số tuyệt đối có thể cho trước hoặc mặc định là 10- 6

Nội dung hàm Binary.m:

% BINARY : Giai phuong trinh bang phuong phap Chia doi

% Cu phap x =Binary (FUN,a,b,Tol)

% FUN – Ten ham cua phuong trinh;

% a, b : 2 so xac dinh khoang phan ly nghiem [a,b];

% Tol - Sai so tuyet doi , mac dinh Tol =1.e-6;

% - function x = Binary(FUN,a,b,Tol)

lg x x

7.1.3 Phương pháp Lặp đơn

Giả sử [a, b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) =0

Chúng ta cần phải tìm nghiệm  của phương trình trong khoảng này với sai số

tuyệt đối không quá  Đầu tiên, bằng một cách nào đó ta đưa được phương trình

k



chỉ quan tâm đến các công thức lặp hội tụ Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn

nhận biết một công thức lặp đơn là hội tụ

Định lý 7.3 Xét công thức lặp (7.6) Giả sử:

1) [a, b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) =0;

2) Mọi x k tính theo (7.6) đều thuộc [a, b];

3) Tồn tại hằng số q sao cho hàm (x) có đạo hàm ’(x) thỏa mãn:

| ’(x) | ≤ q < 1 với mọi x  [a, b]

k



 với mọi xấp xỉ đầu x 0 [a, b];

Giả sử ta tìm được một phương pháp lặp hội tụ Thực hiện thủ tục Lặp đơn

và dừng lại tại bước k nào đó Khi đó sai số của lời giải được tính theo các công

thức sau:

1

k k

x 3 - x – 1 = 0

có một khoảng phân ly nghiệm là [1,2] (xem mục 7.1.1)

Nếu ta chọn công thức lặp x = x 3 +1 thì (x)= x 3 +1 và ’(x)=3x 2 Khi đó

|’(x) |>1 với mọi x  [1,2], do đó công thức lặp sẽ không hội tụ

3 4

mọi x 0 [1,2] Bây giờ bạn hãy chọn x 0 =1 và tính theo công thức 3

Nếu lấy x = 1.324632625250920 thì nó có sai số là

4

1, 324632625250920 1, 324268744551578 0, 9672.10 1

q q

như thế nào để có thể đạt được bất đẳng thức:

| ’(x) | ≤ q < 1

7.1.3 Phương pháp Dây cung (Cát tuyến)

Giả sử [a, b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) =0 Ta

cần phải tìm nghiệm  của phương trình trong khoảng này với sai số tuyệt đối

y=f(x) đi qua 2 điểm (a,f(a)) và (b,f(b)) là:

( )( ) ( )

Có thể chứng minh rằng: nếu hàm số f(x) liên tục và khả vi trong khoảng

thúc sau một số hữu hạn bước lặp Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đánh

giá m rất khó Mặt khác nếu m quá nhỏ thì ta cần phải thực hiện nhiều bước lặp

mới thỏa mãn điều kiện dừng lặp Vì vậy khi thực hiện phương pháp Dây cung,

nếu thấy hai lời giải xấp xỉ liên tiếp có x k-1 và x k đã khá gần nhau thì chỉ cần kiểm tra điều kiện:

f(x k -) f(x k +)  0

Nếu điều kiện trên thỏa mãn thì dừng lặp và x k là nghiệm xấp xỉ cần tìm

 Cài đặt thủ tục tính toán trong Matlab

Bây giở hãy cài đặt hàm Arc.m để giải phương trình f(x)=0 trong khoảng phân ly nghiệm [a,b] bằng phương pháp Dây cung đế lệnh gọi hàm có dạng:

x = Arc(FUN,a,b,Tol)

trong đó:

- x là nghiệm cần tìm trong khoảng [a,b];

- FUN là xâu chứa tên hàm của phương trình;

- Tol là sai số tuyệt đối có thể cho trước của x hoặc mặc định là 10- 6

Nội dung file Arc.m:

% ARC : Giai phuong trinh bang phuong phap day cung;

% Cu phap x = Arc(FUN,a,b,Tol)

% FUN – Ten ham;

% a, b : 2 so xac dinh khoang phan ly nghiem [a,b];

% Tol - Sai so tuyet doi , mac dinh Tol =1.e-6

while feval(FUN, x -Tol)*feval(FUN, x+Tol)>0

x=(a*fb - b*fa) / (fb - fa);

7.1.4 Phương pháp Newton (Tiếp tuyến)

Giả sử [a, b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 và hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện sau đây: có đạo hàm liên tục đến cấp 2, đồng thời f’(x) và f”(x) không đổi dấu trong [a, b]

Ta khai triển Taylor bậc 2 hàm f(x) tại x 0 [a,b]:

f(x) = f(x 0 + f’(x 0 ) (x-x 0 ) + f ”(c)  02

2

xx

, với c[a,b]

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường cong y=f(x) tại x 0 là:

y = f(x 0 ) + f’(x 0 ) (x-x 0 ) (7.9)

Do đó, nếu f ’(x 0 ) ≠ 0 thì từ (7.9) suy ra: 0 0

0

( ) '( )

f x

x x

f x

  (7.10)

là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành

Để tìm nghiệm  của phương trình trong khoảng [a,b] với sai số tuyệt đối

không quá  , bạn có thể thực theo thủ tục lặp sau đây:

Ngược lại thì chuyển sang bước k+1

Cũng như phương pháp Dây cung, trong nhiều trường hợp, việc đánh giá

bước lặp mới thỏa mãn điều kiện dừng lặp Chú ý rằng khi x k đã khá gần  thì

đạo hàm của f(x) trong khoảng [x, ] thay đổi gần như không đáng kể Vì vậy,

trong quá trình thực hiện phương pháp Newton, khi nhận thấy có bất đẳng thức:

có thể được thay bởi công thức:

kiện về các đạo hàm cấp 1 và 2 đồng thời phải chọn x 0 thích hợp

7.1.6 Một số hàm sử dụng để giải phương trình của Matlab

 Hàm FZERO

Cú pháp:

[ x f ] = fzero(FUN,Init) :

Giải thích Hàm FZERO tìm không điểm của một hàm số xác định bởi

tham số FUN và sử dụng xấp xỉ đầu Init

- Nếu Init là một số thì nó xác định xấp xỉ đầu của lời giải;

- Nếu Init là vector 2 chiều thì nó xác định khoảng chứa nghiệm cần tìm, khi đó Matlab sẽ kiểm tra điều kiện hàm FUN phải đổi dấu tại 2 biên của

khoảng

- Các tham số ra: x là lời giải xấp xỉ cần tìm và f là giá trị của hàm tại x

Thí dụ 7 Soạn file Myfunct.m có nội dung như sau:

% Function for computing the zeros of a function

Hãy chú ý trong thí dụ cuối cùng: -1.5708 không phải là nghiệm của

phương trình do hàm Myfunct không liên tục tại

-2



Nếu không chú ý đến điều

đó, người sử dụng có thể phải “trả giá” vì kết quả sai

 Hàm ROOTS

Cú pháp:

x = roots(p) Giải thích Hàm ROOTS tìm tất cả các nghiệm của đa thức có hệ số là

vector p trả về kết quả là vector nghiệm x, bao gồm tất cả nghiệm

thực và nghiệm phức

Thí dụ 8

>> roots([3 4 1])

ans = -1.0000 -0.3333

>> x= roots([1 2 3 2 1])

x = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i

7.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Hệ phương trình phi tuyến là hệ n phương trình n ẩn có dạng như sau:

0

n n

n

x x

( ) ( )

Đây là một bài toán khó Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải hệ (7.11) Tính liên tục và khả vi của các hàm số được khảo sát luôn luôn được gải thiết trong các phương pháp này

trong đó i (x), i 1,n là các hàm liên tục của n biến Sau đó giải hệ (7.12)

theo thủ tục lặp sau đây

Định lý 7.4 Nếu các hàm  i (x), i 1,n xác định, liên tục và khả vi trong

một miền   R n, đồng thời thoả mãn  ( )x q 1 với mọi x 

và q là một hằng số, thì dãy lặp x(k) sẽ hội tụ đến nghiệm α của hệ phương trình (7.11) với mọi xấp xỉ đầu x(0)

Hạn chế ứng dụng của phương pháp Lặp đơn là không chỉ rõ phương pháp nào có thể đưa phương trình (7.11) về dạng (7.12) để thoả mãn điều kiện hội tụ:

( )x q 1

khá gần nghiệm α của hệ (7.11) Mặt khác phương pháp Newton không đòi hỏi

phải thay đổi mô hình bài toán như phương pháp Lặp đơn

- Từ công thức (7.14) ta thấy tại mỗi bước lặp cần phải tính một ma trận

nghịch đảo F -1 (x (k-1) , cho nên thuật toán đòi hỏi khối lượng tính toán rất lớn Để

khắc phục điều này và làm tăng tốc độ tính toán, nếu tại bước t nào đó x = x (t) đã

khá gần nghiệm α của hệ phương trình thì nên cố định F —1 ( x) và sử dụng công thức sau đây ở các bước lặp tiếp theo:

x (k) = x (k-1) - F —1 ( x ).f(x (k-1) )

7.3 BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA

7.3.1 Bài toán tối ưu hoá tổng quát

Bài toán tối ưu hoá tổng quát (Optimization Problem hay Mathematical Programming) là bài toán có dạng:

Tìm min (hoặc max) của hàm số y = f(x) (7.15)

- Hàm y = f(x) : gọi là hàm mục tiêu của bài toán

- Các hàm g i (x), i 1, m  : gọi là các hàm ràng buộc Mỗi bất đẳng thức gọi là một ràng buộc

- Tập D {xX g x| i( )    ( , )b ,i i 1, }m : gọi là miền ràng buộc hay tập các

phương án chấp nhận được Mỗi phần tử xD gọi là một phương án hay lời giải

chấp nhận được

- Phương án x* D làm cực tiểu (cực đại) hàm mục tiêu gọi là phương án

tối ưu hay lời giải tối ưu Cụ thể là: f(x*)  f(x) vớix D đối với bài toán max

hoặc f(x*)  f(x) với x D đối với bài toán min Khi đó f* = f(x*) gọi là giá

trị tối ưu của bài toán

7.3.2 Phân loại bài toán

Không thể có được một thuật toán đủ hiệu quả giải các bài toán Tối ưu hóa

Vì vậy ta cần phải phân loại các bài toán và tìm các phương pháp giải thích hợp cho từng loại:

- Qui hoạch tuyến tính: gồm các bài toán có hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đều là các hàm tuyến tính, trong đó có một trường hợp riêng quan trọng là bài toán vận tải

- Qui hoạch tham số: gồm các bài toán có các hệ số trong hàm mục tiêu hay các hàm ràng buộc phụ thuộc vào tham số Việc đưa tham số vào bài toán làm cho ứng dụng của nó mở rộng hơn nhiều

- Qui hoạch động: đối tượng được xét là các quá trình có nhiều giai đoạn hay quá trình phát triển theo thời gian, hàm mục tiêu thường có dạng tách biến

- Qui hoạch phi tuyến: gồm các bài toán có hàm mục tiêu hoặc các hàm ràng buộc là hàm phi tuyến

- Qui hoạch rời rạc: gồm các bài toán có tập ràng buộc D là một tập rời rạc;

Trong đó có một số trường hợp riêng: các biến x i chỉ nhận giá trị nguyên (Qui

hoạch nguyên) hay các biến x i chỉ nhận các giá trị 0 hoặc 1 (Qui hoạch biến

Boole)

xét nhiều hàm mục tiêu khác nhau

7.4 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

7.4.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính (QHTT)

Bài toán qui hoạch tuyến tính tổng quát có dạng như sau:

Tìm min (hoặc max) của hàm

Định lý 7.5 Nếu hàm F(x) đạt cực tiểu (cực đại) tại một vector x* là điểm

trong của đoạn thẳng [a,b] trong D thì F(x) đạt cực tiểu (cực đại) tại

mọi điểm trên đoạn thẳng đó

Từ hai định lý cơ bản trên dẫn đến hệ quả là: Nếu bài toán qui hoạch tuyến

tính có phương án tối ưu và tập đa diện D có đỉnh thì F(x) đạt giá trị tối ưu tại ít nhất một đỉnh của D Để thuận tiện cho việc nghiên cứu các thuật toán giải qui

hoạch tuyến tính người ta thường đưa bài toán qui hoạch tuyến tính về một trong hai dạng: dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc

 Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán tối ưu có dạng:

1 ( )

n

j j j

tổng quát ta có thể thêm các giả thiết: b  0 và rank(A) = m <n Khi đó tập các

phương án chấp nhận được D ={x R n |Ax=b, x  0} là đa diện có thứ nguyên là n-m

 Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc

Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc là bài toán tối ưu có dạng:

1 ( )

n

j j j

b 0 và m<n như trong bài toán dạng chính tắc Khi đó, tập các phương án chấp

nhận được D ={ x R n | Ax≤b, x 0} là tập đa diện có thể có n thứ nguyên

Các bạn cần chú ý là một bài toán qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ đều có thể dễ dàng đưa về dạng chuẩn tắc hay dạng chính tắc

7.4.2 Thuật toán đơn hình giải qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Thuật toán đơn hình do Dantzig dưa ra năm 1944 Đây là thuật toán cơ bản đầu tiên trong lý thuyết tối ưu hóa, nó được sử dụng làm cơ sở cho nhiều thuật toán giải các bài toán tối ưu khác

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

F(x)= <c,x> min D={ xR n | A x = b , x0 }

Với các giả thiết : b  0 , rank(A)= m < n thì tập các phương án chấp nhận

được D là đa diện có thứ nguyên n-m

 Đường lối chung của thuật toán đơn hình (Simplex)

Thuật toán đơn hình bao gồm các bước cơ bản như sau:

Bước 1 Tìm phương án cực biên xuất phát

Kết quả của bước này là một trong hai khả năng:

- Nếu phát hiện bài toán không có phương án thì kết thúc thuật toán

- Nếu tìm được phương án cực biên x0 D thì chuyển sang bước 2

Bước 2 Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu đối với phương án tìm được

Có hai khả năng có thể xảy ra:

- Nếu x0 thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu thì đặt x * = x 0 , tính F * =F(x * ) và kết

thúc thuật toán

- Nếu x0 không thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu thì chuyển sang bước 3

Bước 3 Cải tiến phương án

Tìm phương án cực biên x 1 tốt hơn phương án x 0 , tức là F(x 1 ) < F(x 0 ) Có

hai khả năng có thể xảy ra:

- Phát hiện bài toán không có phương án tối ưu: Kết thúc thuật toán

- Tìm được phương án x 1 : Thay x 0 bởi x 1 và lặp lại bước 2

Do tập ràng buộc của bài toán là tập lồi đa diện nên nó chỉ có một số hữu hạn đỉnh Vì vậy thuật toán đơn hình sẽ kết thúc sau một số bước lặp, kết quả là tìm được phương án tối ưu x* hay phát hiện bài toán không có phương án tối ưu