§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM Các bài toán nâng cao dành cho ban tự nhiên 1,Tập hợp và các phép toán. 1. Cho tập hợp E={1;2;3;4}.Hãy tìm các tập con X và Y của tập E sao cho với mọi tập con A của tập E ta đều có A Y=A X 2. Cho hai tập A và B .Các mệnh đề sau đúng hay sai? • x ∉ A B khi chỉ khi x ∉ A hoặc x ∉ B • x ∉ A B khi và chỉ khi x ∉ A hoặc x ∉ B • x ∉ A\B khi và chỉ khi x ∉ A hoặc x ∈ B 3. Cho A,B,C là các tập hợp thỏa mãn CBCACBCA ⊂⊂ ; chứng minh A ⊂ B.Điều đảo lại có đúng không? 2,Số gần đúng và sai số. 1. Một vật thể có thể tích V=180,57 cm 3 ± 0.05 cm 3 .Xác định số chữ số chắc và sai số tương đối của giá trị gần đúng ấy. 2. Cho giá trị gần đúng của số 3 2 =1,25992104 với 6 chữ số chắc .hãy viết giá trị gần đúng của 3 2 dưới dạng chuẩn và tính sai số tuyệt đối của giá trị này? 3,phương pháp quy nạp toán học.(n là số tự nhiên ) 1. chứng minh 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 2. chứng minh 1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1) 2 3. Cho a ≥ -1 chứng minh (1+a) n ≥ 1+na (bất đẳng thức Bernouilli) 4. chứng minh 22 22 <+++ trong đó có n dấu căn. Chương II.Hàm số bậc nhất và hàm bậc hai. 1,hàm số bậc nhất . 1. Cho hàm số y= 22 −−+− mxmx .Tìm m để y xác định với mọi x>1. 2. Tìm hàm số y=f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. 3. Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m : Hàm số y=f(x) =(m+ 2 )(x+2) có đồ thị là đường thẳng d m và hàm số y=g(x)=(m- 2 )x+m 2 -1 có đồ thị là đường thẳng ∆ m . • Có hay không giá trị m để d m //∆ m . ? • Cmr các đường thẳng d m (khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi đường thẳng ∆ m không đi qua điểm cố định nào cả. 2,Hàm số bậc hai. 1. Cho parabol (P) có phương trình y=ax 2 +bx+c luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) : y=2x+1 tại A(1 ;3) • Tính b,c theo a. • Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi. • Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) không thể đi qua . 2. Cho hàm số y=f(x) =x 2 -2(m+1/m)x+m trong đó m là tham số khác 0. Giả sử [ ] )(min 1;1 1 xfy x −∈ = và [ ] )(max 1;1 2 xfy x −∈ = .Hãy tìm các giá trị của m sao cho y 2 -y 1 =8. §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 3 1 ; 2 2 1 2 3 ; 2 x x y x x x − + ≤ − = − + + > − 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 2 2 4 12 9y x x x x= − + − + 5. Viết phương trình parabol biết • Parabol đi qua A(0;2),B(-1;7),C(1;1) • Parabol có đỉnh toạ độ I(2;5) và đi qua A(1;4) • Parabol đi qua A(2;0) B(-2;-8) và đạt cực trị bằng 1. • Parabol có đỉnh A(1;-2) và chắn đường thẳng (d): y=x+1 một dây cung MN= 34 3, Các yếu tố cố định của một họ đường cong. 1. Tìm các điểm cố định của họ đường cong y=m 2 x 2 +2(m-1)x+m 2 -1 theo 2 cách. 2. cmr các parabol trong họ parabol P m vừa tiếp xúc nhau vừa tiếp xúc với một đường thẳng cố định 3. cmr tất cả các đường thẳng thuộc họ (d m ) cho bởi phương trình y=2mx-m 2 +2m đều tiếp xúc với một parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung. 4. Cho hàm số y= ( ) 1 22 2 − −+ x xmx với m là tham số .Trên mặt phẳng toạ độ hãy tìm tất cả các điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua . 4,Tìm tập xác định của hàm số Bài 1:tìm tập xác định của hàm số 2 2 2 3 2 2 2 2 2 7 13 5 13 1, 2, 3 3, 4, 2 10 4 4 3 4 16 5, 5 2 3 6, 7, 1 5 5 1 8, 2 1 9, 10, 2 3 1 12 4 9 x x x y y x y y x x x x x x x y x x y y x x x y x x y y x x x x x + + + = = − = = − − + − + − = − + = = − − + − = − − = = − + − − − − Bài2 : Tìm m để hàm số sau xác định trên ( ] 1;3D = : 2 2 1 , , 3 2 2 a y b y m x m x x m = = + − − Bài 3: Tìm m để hàm số 2 2 ( 2) 1 4 m y x m x= − + + − có tập xác định là R. 5,sự biến thiên của hàm số Khảo sát sự biến thiên của các hàm số 2 3 1 2 7 5 3 1 x y x x y x x x y x + = + = − + − = − 6,Tính chẵn lẻ của hàm số §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số 4 3 2 , 1 , 1 1 , 1 , , 1a y x b y x x c y x d y x x e y x= + = + − − = + = + = + 2. Tìm m để đồ thị hàm số 2 2 ( 1) 2 1y mx m x x= + − + − có trục đối xứng là Oy Chương III.Phương trình và hệ phương trình . 1,phương trình và hệ phương trình bậc nhất . 1. Giải hệ phương trình : =+ =−− 13 32 yx xyx 2. Cho hệ phương trình với tham số m: −=+ +=+ 122 12 mmyx mymx xác định những giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên? 3. Cho (x;y) là nghiệm của hệ : =−− =−+ 4)1( 9)2(6 myxm ymmx .Lập hệ thức độc lập giữa x và y với m. 4. Cho hệ phương trình +=− −=+ 332 42 myx myx Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x 2 +y 2 nhỏ nhất. 5. Tìm m để hệ phương trình ==− =+ 5102 52 mxy yx có nghiệm (x;y) sao cho xy lớn nhất. 2.phương trình và hệ phương trình bậc hai. 1. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất | x 2 +2mx+1 | =x+1 2. Cho hệ phương trình +=+ +=++ mmyxxy mxyyx 2 )( 12 • Chứng minh với mọi m thì hệ phương trình có nghiệm . • Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 3. Cho hệ phương trình =+− =+− myxx myxy 2)( 2)( 2 2 • Giải hệ phương trình khi m=0 • Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 3,hệ phương trình đẳng cấp. 1. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất +=++ +=+ )2(22 )1(2 22 myxxy mxyyx 2. Giải hệ phương trình =+− =+− 015132 932 22 22 yyxx yxyx §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM 3. Cho hệ phương trình ( ) +=+ =+ )1(2 4 22 2 myx yx .Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm . 4. giải hệ phương trình += −=− 12 11 3 xy y y x x 5. Giải hệ phương trình =+ =+ 222 22 51 6 xyx xxyy 4,phương trình bậc hai. • Tìm m để phương trình 2 ( 3) 2( 3) 2 0m m x m x m− + − + = có nghiệm (có nghiệm trái dấu). • Tìm m để -2 xen giữa các nghiệm của phương trình (m+3)x 2 -3(m-1)+4m=0 • Cho phương trình x 3 +(m-1)x 2 -3mx+2m-4=0 1. chứng minh phương trình có 1 nghiệm không phụ thuộc m. 2. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm . • Khi m 2≥ − tìm nghiệm bé nhất (có thể) của phương trình 3x 2 -(m+23)x+2m+22=0 • Tìm m để x 2 +x+m+1=0 có 2 nghiệm thỏa mãn 1 2 1 2 3( ) 5 0x x x x+ + + = • Tìm m để phương trình x 2 -2(m+2)x+4m+5=0có 2 nghiệm thỏa mãn a, đều dương b, 1 2 . 2x x = • Tìm m để phương trình 3x 2 +4(m-1)x+m 2 -4m+1=0 có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn ( ) 1 2 2 1 1 1 1 2 x x x x + = + • Tìm m để phương trình x 2 -(m+2)+m 2 +1=0 có hai nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 2 3 .x x x x+ = • Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ với các nghiệm của mỗi phương trình sau a, x 2 +mx+2m-3=0 b, (m+2)x 2 -(m+4)x+2-m=0 • Cho phương trình (m-5)t 2 -2mt+m+4=0 Gọi S và P là tổng và tích của 2 nghiệm .Trong mặt phẳng toạ độ Oxy gọi M(S;P) với x=S,y=P.chứng minh khi m thay đổi thì các điểm M luôn chạy trên một đường thẳng cố định. Tính T= ( ) ( ) 5 5 1 5 1 5− + + 5,ứng dụng của biệt thức ∆ 1. Tính gía trị nhỏ nhất ,gtln của biểu thức Q= 1 324 2 2 + ++ x xx 2. Tìm a,b để Q= 1 · 2 + + x bax đạt gtln=4 và gtnn=-1 3. chứng minh rằng Ryx ∈∀ , luôn có Q 0≥ với • Q=x 2 +2xy+3y 2 +2x+6y+3 • Q=4x 2 +13y 2 -12xy-4y+1 4. tìm m để Q=x 2 +4y 2 +my+3 Ryx ∈∀≥ ,,0 5. Tìm gtnn của Q=(x-2y+1) 2 +(2x+ay+5) 2 trong đó a là một số thực cho trước. §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM 6. giả sử x,y liên hệ với nhau bởi biểu thức Q=36x 2 +16y 2 -9=0 hãy tìm gtnn,gtln của U=y-2x+5 7. Cho x,y là các số thực liên hệ với nhau bởi Q=(x 2 -y 2 +1) 2 +4x 2 y 2 -x 2 -y 2 =0 chứng minh rằng 2 53 2 53 22 + ≤+≤ − yx 8. Cho x,y,z thoả mãn =++ =++ 4 8 222 zxyzxy zyx chứng minh 3 8 ,, 3 8 ≤≤− zyx 9. Cho a+b+c=6 chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 12≥ 6,Dấu hiệu nhận biết phương trình bậc hai có nghiệm . 1. cho hai phương trình x 2 +p 1 x+q 1 =0 và x 2 +p 2 x+q 2 =0 và p 1 .p 2 ≥ 2(q 1 +q 2 ) khi đó có ít nhất một trong 2 phương trình có nghiệm . 2. chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm ax 2 +2bx+c=0 và bx 2 +2cx+a=0 và cx 2 +2ax+b=0 3. Tìm a để phương trình 0224 2 =−+−−+ aaxxx có đúng 2 nghiệm phân biệt . 4. Tìm a đẻ phương trình 012 =−++ aaxx có một nghiệm duy nhất. 5. Tìm a để phương trình (a+1)x 2 -(8a+1)x+6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1) 6. Cho m 1−≥ .tìm nghiệm lớn của phương trình x 2 +(2m-6)x+m-11=0 7.Tìm giá trị nhỏ nhấtvà lớn nhất bằng tam thức bậc hai. 1. Tìm gía trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x 2 +2x+3 trên D= [ ] 0;3− E= [ ] 3;0 2. giả sử x,y là nghiệm của hpt +−= −=+ 147 1 2 aaxy ayx tìm a để U=x 2 +y 2 đạt gía trị nhỏ nhất . 3. Tìm giá trị lớn nhất gía trị nhỏ nhất của y= xx xx 24 24 cos2sin3 sin4cos3 + + 4. tìm m để x 2 -2mx+2 02 >+− mx no đúng Rx ∈∀ 5. Cho f(x)=x 2 +(m+1)x+2 2 )1(1 ++−+ mmx tìm m để 3)(min ≤ xf R 8.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ,BPT VÔ TỈ 1. GiảI phương trình xx −=− 332 2. GiảI phương trình ( ) 0514352 22 =−+−+ xxxx 3. GiảI phương trình 1221 −=−−+ xxx 4. GiảI phương trình 765352 22 −=+−− xxxx 5. GiảI phương trình ( ) 22 114122 xxxx +−=++ 6. GiảI phương trình 32653 22 −+=+− xxxxx 7. GiảI phương trình 211 22 =−++−− xxxx 8. GiảI phương trình x x x x x 211 22 =−++ §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM 9. GiảI phương trình 2 3 1212 + =−−+−+ x xxxx 10.HVCNBCVT 2000.GiảI phương trình 5 3 2314 + =−−+ x xx 11.GiảI phương trình 224222 2 +−−=+−− xxxx 12.Cho phương trình ( )( ) mxxxx =−++−++ 4141 • GiảI phương trình khi m=5 • Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 13.tìm m để phương trình ( )( ) mxxxx =−++−++ 8181 có nghiệm thuộc đoạn [ ] 4;0 14.GiảI phương trình ( ) ( ) 2 3 23 121 xxxx −=−+ 15.GiảI phương trình 2 2 11 2 = − + x x 16. GiảI phương trình 12 35 1 2 = − + x x x 17.GiảI phương trình 2 1123114 xxxx −+++=−+ 18.GiảI phương trình 17152 32 −=−+ xxx 19.Cho phương trình 113 242 ++=+− xxmxx tìm tập hợp các gía trị của m để phương trình có lẻ số nghiệm . 20.GiảI phương trình 15209145 22 +=−−−++ xxxxx 21.gvbl phương trình với tham số a 3 22 3 2 3 2 )1()()( axmaxmax −+=−++ 22.GiảI phương trình 2 1 2 2 1 88 = − + + + − x x x x Chương IV.bất đẳng thức và bất phương trình . I, bất đẳng thức Cauchy. 1,bất đẳng thức Cauchy . 1. Với a,b,c ≥ 0 cmr 3 3 a b c abc + + ≥ 2. Với a,b,c ≥ 0 cmr ( ) 2 3 3a b c abc a b+ + ≥ + − 3. Với 0<a,b,c<1 chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c c a a b − − − + + ≥ − − − + + + + + + 4. Với a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện 1. a b c b c a + + = chứng minh rằng 1 b c a a b c + + ≤ 5. Với a,b,c,d>0 thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1 chứng minh rằng 4 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a b c d + + + + ≥ ÷ ÷ ÷ ÷ §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM 6. Với a,b,c>0 chứng minh rằng ( ) 2 1 1 1a b c a b c b c a a b c + + ≥ + + + + ÷ ÷ 7. Cho a,b,c>1 chứng minh rằng 2 2 2 4 5 3 48 1 1 1 a b c a b c + + ≥ − − − 8. Cho a,b,c,x,y,z>0 chứng minh rằng ( ) ( ) 3 3 3 3 3 a b c a b c x y z x y z + + + + ≥ ÷ + + 9. Với a,b,c>0chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 1 1 1 1 3 2 2 2 b c a a b c a a b b b c c c a + + ≥ + + ÷ + + + 10.Với a,b,c>0 chứng minh rằng ( ) 3 3 3 2 1 2 2 2 9 a b c a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + 11.Với a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3.chứng minh rằng 6 6 6 6 6 6 1 1 1 3 3a b b c c a+ + + + + + + + ≥ 2,Một số phép biến đổi cơ bản. A,Nhóm đối xứng.(Sử dụng hạ bậc từng vế bất đẳng thức ). 1. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 4 4 4 a b c abc a b c + + ≥ + + 2. Với a,b,c là các số không âm,chứng minh rằng ( ) 2 1 3 a bc b ac c ab a b c+ + ≤ + + B,Khử căn 1. Với x i >0 và y i >0 , i= 1;n chứng minh rằng 1 2 1 2 1 1 2 2 . . ( ).( ) ( ) n n n n n n n x x x y y y x y x y x y+ ≤ + + + 2. Với a,b,c,d là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1 chứng minh rằng 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2a b c d+ + + + + + + ≤ 3. Với a,b,c không âm chứng minh rằng ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + + C,Nhóm các hệ số có tổng bằng 1. 1. Với a,b,c không âm chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 a b b c c a a b c + + + + + ≤ + + 2. Với a,b,c không âm chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1a b c ab bc ca+ + + ≥ + + + D,Nhóm theo bậc. 1. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2( ) a b a c c b ab bc ca c b a + + + + + ≥ + + 2. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + E,Đổi biến . 1. Với a,b,c>0 và thỏa mãn a.b.c=1 chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2a b c b a c c b a + + ≥ + + + §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM 2. Với a,b,c>0 chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1a b c a bc+ + + ≥ + 3. Với a,b,c>0 ,a.b.c=1 chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1a b b c a c + + ≤ + + + + + + F,Các bài tập củngcố. 1. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 8 8 8 3 3 3 4 4 4 a b c ab bc ca b c a + + ≥ + + 2. Với a,b,c,d không âm ,chứng minh rằng 8 8 4 2 2 4 8a b c d abcd+ + + ≥ 3. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 4 4 2 2 2 2 2 2 4 8 a b ca b c abc b c b + + + ≥ 4. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 6 6 6 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca b c a c a b + + ≥ + + 5. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 2 2 a b a b b a + ≥ + 6. Với a,b,c>0 chứng minh rằng 3 3 3 3 3ab cb ac+ + ≤ 7. Với a,b,c>0 và a.b.c=1 chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 2 ab bc ca a b c b a c c b a + + + + ≥ + + + 8. Với a,b,c>0 chứng minh 2 3 2 2 2 1 c b a b c ac ab b ac + + ≥ + + 3.Dạng lũy thừa. *,SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ SIN,COS 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R=1,Gọi , , a b c m m m lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉmh A,B,C của tam giác ABC.Tìm giá trị nhỏ nhất của sin sin sin a b c A B C Q m m m = + + 2. giả sử P là một điểm bất kỳ trong tam giác ABC.Kí hiệu x=PA,y=PB,z=PC và p,q,r theo thứ tự là độ dài các khoảng cách từ P đến cách cạnh BC,CA,AB.chứng minh minQ=2 với Q= x y z p q r + + + + 3. Cho tam giác ABC và x,y,z là các số thực không đồng thời bằng 0.chứng minh 2 . 2xy cosC y+ zcosA+2zxCosB ≤ 2 2 2 x y z+ + 4. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ,x,y,z là các số thực thoả mãn x+y+z= 2 π .Tìm gía trị nhỏ nhất của Q= c z b y a x sinsinsin ++ 5. Cho tam giác ABC và các số x,y,z không đồng thời bằng 0.cm 02cos22cos22cos2 222 ≥+++++ BzxAyzCxyzyx 6. cho tam giác ABC .Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức Q= CBA 2cos322cos22cos3 ++ 7. Cho tam giác ABC chứng minh Q= ( ) 2 5 2cos2cos2cos3 ≤+− BCA §oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM II,phương trình và bất phương trình quy về bậc hai(giải theo nhiều cách) 1. Giải phương trình | x 2 -3x+1 | =- 2x 2 +6x-3 2. Giải phương trình 51646 22 =−−++− xxxx 3. Giải bpt 3 411 2 < −− x x 4. Giải bpt ( ) )1(3321 +≤++ xxx 5. Tìm m bpt ( )( ) mxxxx +−≤−+ 473 2 nghiệm đúng [ ] 7;3−∈∀x 6. Tìm m để bpt 12 22 ≤++−+ mmmxx có nghiệm . . LI£M Hµ NAM Các bài toán nâng cao dành cho ban tự nhiên 1 ,Tập hợp và các phép toán. 1. Cho tập hợp E={1;2;3;4}.Hãy tìm các tập con X và Y của tập E sao cho với mọi tập con A của tập E ta đều. hai tập A và B .Các mệnh đề sau đúng hay sai? • x ∉ A B khi chỉ khi x ∉ A hoặc x ∉ B • x ∉ A B khi và chỉ khi x ∉ A hoặc x ∉ B • x ∉ AB khi và chỉ khi x ∉ A hoặc x ∈ B 3. Cho A,B,C là các tập. hiệu x=PA,y=PB,z=PC và p,q,r theo thứ tự là độ dài các khoảng cách từ P đến cách cạnh BC,CA,AB.chứng minh minQ=2 với Q= x y z p q r + + + + 3. Cho tam giác ABC và x,y,z là các số thực không đồng