Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com TỔ HỢP A. PHẦN LÝ THUYẾT I. QUI TẮC ĐẾM 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P n là: P n = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈ ¥ mà 1 k n≤ ≤ . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k n A là: ( ) ( ) ( ) k n n! A n. n 1 n k 1 n k ! = − − + = − . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ ¥ mà 1 k n≤ ≤ . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k n C là: ( ) ( ) ( ) k n n n 1 n k 1 n! C k! n k ! k! − − + = = − c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: ( ) ( ) k n k k k k 1 n n n 1 n n C C 0 k n ;C C C 1 k n − − + = ≤ ≤ = + ≤ ≤ III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON ( ) n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n n k 0 a b C a b C a C a b C a b C b − − − = + = = + + + + + ∑ Nhận xét: • Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. • Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. • Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. • Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T k+1 thì: k n k k k 1 n T C a b − + = • 0 1 2 n n n n n n C C C C 2 + + + + = • ( ) ( ) k n 0 1 2 3 k n n n n n n n C C C C 1 C 1 C 0 − + − + + − + + − = B. PHẦN VÍ DỤ - BÀI TẬP Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. 1. Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, theo cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? 2. Cho tập { } A 0;1;2;3;4= . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? 1 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com 3. Từ tập { } A 1,2,3,4,5= hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị 1. Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? 2. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp 1 Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? 2. Từ tập { } A 0,1,2,3,4,5= có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? 3. Một ngày học 3 môn trong số 7 môn học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khoá biểu trong một ngày. Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp 1. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? 2. Có mấy cách rút 3 quân bài từ bộ bài 52 quân 3. Có mấy cách phân phối 15 sản phẩm cho 3 người sao cho người thứ nhất có hai sản phẩm, người thứ hai có 3 sản phẩm, người thứ 3 có 10 sản phẩm. Dạng 5: Tìm * n ∈ ¥ trong phương trình chứa k k n n n P ,A ,C 1. Tìm * n ∈ ¥ , nếu có: ( ) 3 n n n 1 2P A 1 P − = . 2. Tìm * n ∈ ¥ , nếu có: ( ) 3 3 n n 1 6n 6 C C . 2 + − + ≥ Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n . 1. Tìm số hạng chứa x 3 trong khai triển (11 + x) 11 . 2. Trong khai triển 10 3 3 2 x x − ÷ , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. 3. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển ( ) 8 2 1 x 1 x + − 4. Cho khai triển: ( ) 10 2 10 0 1 2 10 1 2x a a x a x a x+ = + + + + , có các hệ số 0 1 2 10 a ,a ,a , ,a . Tìm hệ số lớn nhất Dạng 7: Tìm tổng có chứa k n C 1. Tính tổng: ( ) ( ) k n 0 1 2 n 0 1 2 k n 1 n n n n 2 n n n n n S C C C C ; S C C C 1 C 1 C = + + + + = − + − + − + + − 2. Tính tổng: 0 2 4 2n 1 3 2n 1 3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n S C C C C ; S C C C − = + + + + = + + + 3. Tính tổng: ( ) n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n T C 2C 2 C 2 C 2 C = − + − + + − BÀI TẬP 1. Khối 10 có 470 học sinh, khối 11 có 450 học sinh, khối 12 có 380 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn ra một học sinh đi dự đại hội đại biểu của trường ? Hướng dẫn – Đáp số: 470 + 450 + 380 2. Có 4 quyển toán khác nhau, 3 quyển hóa khác nhau và 2 quyển lí khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 cuốn mà ít nhất phải có một cuốn toán. 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com 3. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn Toán, 4 cuốn Văn, 6 cuốn Lí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài, nếu mọi cuốn sách này được xếp kề nhau, sao cho những cuốn có cùng môn học được xếp gần nhau. 4. Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh để đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Chọn học sinh nào cũng được ? b) Trong 4 học sinh được chọn có đúng một nữ sinh ? c) Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất một nữ sinh ? 5. Một hàng ghế có 10 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho hai chị em ngồi vào các ghế đó nếu: a) Họ ngồi ghế nào cũng được ? c) Họ ngồi cạnh nhau ? b) Người em ngồi bên phải chị ? d) Họ ngồi cách nhau một ghế ? 6. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. 7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. 8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau ? 9. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đều là số lẻ. 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Gồm 5 chữ số. b) Gồm 5 chữ số khác nhau. c) Là số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. d) Gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt số 5. e) Gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5. 11. Từ tập hợp { } X 0; 1; 2; 3; 4; 5= có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. 12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. 13. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2. 14. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. 15. Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. 16. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ. 17. Tìm hệ số của x 3 trong khai triển nhị thức 4 3 3 1 x y y − ÷ . 18. Tìm hệ số của x 25 y 10 trong khai triển của ( ) 15 3 x xy+ . 19. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 18 x 4 2 x æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . 20. Tìm số hạng chứa x 37 trong khai triển ( ) 20 2 x xy- . 21. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức ( ) ( ) 5 10 2 P x 1 2x x 1 3x= − + + . 22. Biết rằng hệ số của 2n x − trong khai triển 1 4 n x − ÷ bằng 31. Tìm n. 23. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức 5 3 1 n x x + ÷ biết rằng ( ) 1 4 3 7 3 n n n n C C n + + + − = + . 3 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com 24. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn. 25. Cho đa giác đều A 1 A 2 A 2n (n nguyên >1) nội tiếp đường tròn (O). Biết số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác đều. Tìm n. 26. Tính tổng: S = n n 2 n 1 n 0 n C n 1 C 3 1 C 2 1 C ++++ biết rằng n là số nguyên dương thỏa: 79CCC 2n n 1n n n n =++ −− 27. Chứng minh rằng: 1919 20 5 20 3 20 1 20 2C CCC =++++ 28. Trong khai triển nhị thức 21 3 3 a b b a + , tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau. 6) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm: 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. 29. Giải bất phương trình: 12 2003 x2 x2 4 x2 2 x2 CCC −≥+++ 30 Giải hệ phương trình: =− =+ 8025 9052 C A C A x y x y x y x y 31 Chứng minh rằng: 2 13 22 22 2004 2004 2004 2004 2002 2004 2002 4 2004 4 2 2004 2 0 2004 CCCCC + =+++++ 32. Gọi a 1 , a 2 , a 11 là các hệ sô trong khai triển sau: (x + 1) 10 . (x + 2) = x 11 + a 1 x 10 + a 2 x 9 + + a 11 Tính hệ số a 5 33. Trong khai triển nhị thức: n 3 x n n 1n 3 x 1 2 1x 1n n 3 x 1n 2 1x 1 n n 2 1x 0 n n 3 x 2 1x 2C2.2C 2.2C2C22 + ++ + = + − − − − − − − −− − − biết: 1 5 3 5 C5C = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. 4 . Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com TỔ HỢP A. PHẦN LÝ THUYẾT I. QUI TẮC ĐẾM 1. Quy tắc cộng:. Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com 24. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11. ra 4 cuốn mà ít nhất phải có một cuốn toán. 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com 3. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi