Giáo trình xử lý ảnh y tế Tập 1b P2 potx

8 làm nổi đường biên ảnh 1-D, cụ thể đó là một bộ lọc thông cao, trên một ảnh bằng cách xử lý từng hàng một, thì đường biên sẽ phần lớn được làm nổi bật dọc theo các đường thẳng đứng. Các đường biên ảnh nằm theo các đường nằm ngang sẽ không được làm nổi một chút nào và các đường biên nằm theo các hướng khác ngoài hai hướng này sẽ nhận được hiệu ứng làm nổi ảnh ít hơn các đường biên dọc. Để đạt được hiệu quả như nhau theo mọi hướng, tín hiệu được lấy mẫu hai chiều phải được xử lý qua một hệ thống 2-D (Hình 2.2). Trong hệ thống tuyến tính bất biến - TTBB (Linear Shift Invariant - LSI), đáp ứng đầu ra có thể tính theo công thức : ),h(n*),(),( 212121 nnnxnny  (2.1) Dấu * được hiểu là tích chập và h(n 1 ,n 2 ) là đáp ứng xung của hệ thống 2-D. Biểu thức (2.1) có thể viết là:        1 2 ),(),(),( 22112121 k k knknhkkxnny (2.2) Hình 2.1 Biểu diễn trong miền khoảng cách. 2.3 Một số dãy 2-D thông dụng Chúng bao gồm: 1. Dãy xung đơn vị : n 1 T v 2T T H x(n 1 ,T v ,n 2 ,T H ) n 2 T H 9      l¹i cßn hîp trêng c¸c víi víi 0 0 1 ),(),( 21 21021 nn nnunn  (2.3) 2. Dãy nhảy bậc đơn vị :       l¹i cßn hîp trêng c¸c víi víi 0 0, 1 ),( 21 211 nn nnu (2.4) 3. Dãy hàm mũ:      l¹i cßn hîp trêng c¸c víi víi 0 0, ),( 2121 21 21 nnaa nnx nn (2.5) 4. Dãy tín hiệu hình sin (phức): )( 21 2211 ),( nnj ennx    - <n 1 ,n 2 < + (2.6) Hình 2.2 Xử lý tín hiệu 2-D. 2.4 Đáp ứng tần số của hệ thống 2-D -TTBB Đặt )( 21 2211 ),( nnj ennx    Đáp ứng ra có thể rút ra khi dùng biểu thức (2.2).           1 21 2 )()( 21 ),(),( 222111 k k knknj kkhenny  (2.7) hoặc         1 2 22112211 ),(),( 21 )()( 21 k k kkjnnj kkheenny  (2.8) Công thức này có thể viết lại thành ),(),(),( 212121  Hnnxnny  Tín hiệu ra là tín hiệu hình sin phức (sinusoid) hoàn toàn có cùng tần số như tín hiệu vào, nhưng biên độ và góc pha thì bị thay đổi bởi h(n 1 ,n 2 ) x(n 1 ,n 2 ) y(n 1 ,n 2 ) 10 hàm khuyếch đại phức H( 1 , 2 ). Hàm khuếch đại này gọi là đáp ứng tần số và được cho bởi )( 2121 2211 2 2 1 1 ),(),( kkj k k k k ekkhH          (2.9) Biểu thức )( 2211 kkj e   được gọi là nhân. Nếu khoảng cách cách lấy mẫu T V ,T H đã được biết thì biểu thức (2.9) có thể viết lại thành        2 21 1 ),(2 21 ),(),( k TvkTukj HV k HV eTkTkhvuH  (2.10)  1 ,  2 có thứ nguyên là radian/đơn vị, còn u và v có thứ nguyên là vòng/đơn vị. Đơn vị ở đây có thể là đơn vị khoảng cách (như cm, inch) hoặc là đơn vị thời gian (như giây). Việc chọn đơn vị (thời gian hoặc khoảng cách) phụ thuộc nguồn gốc của ảnh, đó là một phép chiếu từ không gian ba chiều lên mặt phẳng hai chiều. Nếu ta xử lý với một ảnh lấy ra trực tiếp từ ma trận CCD camera thì T V và T H (và do đó là đơn vị) phải tính theo chiều không gian (xem hình 2.3). Mặt khác, với một ảnh truyền hình thì T V và T H phải theo chiều thời gian (xem hình 2.4). Từ (2.9) ta có thể viết ),(),2( 2121  HH  ),()2,( 2121  HH  (2.11) ),()2,2( 2121  HH  Và từ (2.10) ta có thể viết ),(, 1 vuHv T uH V           ),( 1 , vuH T vuH H           (2.12) ),( 1 , 1 vuH T v T uH HV           T V T H 11 Hình 2.3 T V và T H cho lấy mẫu ảnh trên một ma trận camera CCD. Hình 2.4 T V và T H cho một ảnh quét xen kẽ. Hàm H( 1 , 2 ) xác định trên toàn bộ miền                  1 2 và là hàm tuần hoàn trong miền tần số với chu kì tuần hoàn là 2 đối với  1 và  2 . H(u,v) xác định trên miền     HHVV TvTTuT 2 1 2 1 2 1 2 1  và là hàm tuần hoàn với chu kì 1/T V và 1/T H cho u và v. Có thể chiếu H(  1 ,  2 ) hoặc H(u, v) lên miền chuẩn hoá, ở đây  / 1 ,  / 2    11, bằng cách đặt  / 1 = 1 /;  / 2 = 2 / hoặc  / 1 =2uT V ;  / 2 =2vT h .  / 1 và  / 2 gọi là tần số chuẩn hoá, hàm H(  / 1 ,  / 2 ) có thể viết lại 12 )( 2121 2211 1 2 ),(),( kkj k k ekkhH          (2.13) Nếu chúng ta hạn chế h(n 1 ,n 1 ) chỉ lấy các giá trị thực thì đáp ứng tần số thoả mãn: ),(),( 2121  jjjj eeHeeH   (2.14) H* = liên hợp phức của H. Điều này dẫn đến H(  1 ,  2 ) đối xứng (Hình 2.5). Hình 2.5 Đối xứng tâm. Chú ý rằng nếu x(n 1 ,n 2 ) =  (n 1 ,n 2 ), thì biểu thức (2.2) trở thành y(n 1 ,n 2 ) = h(n 1 ,n 2 ). Vì lý do này mà h(n 1 ,n 2 ) được gọi là đáp ứng xung, hoặc là đáp ứng biên độ, của hệ thống 2-D. Bài tập 2.1 Tính biểu thức đáp ứng tần số của một hệ thống với đáp ứng xung cho bởi           0.0 5.0 125.0 125.0 125.0 ),( 21 nnh Chứng minh rằng công thức tính đáp ứng tần số có thể tách được. A B B * A *  1  2 l¹i cßn hîptrêng c¸c 0 1,0 0,1 1,1 21 21 21 21        nn nn nn nn 13 2.5 Tính đáp ứng xung từ đáp ứng tần số Đáp ứng tần số của h(n 1 ,n 2 ) được cho bởi :     1 2 )( 2121 2211 ),(),H( n n nnj ennh   (2.15) Xét tích phân             21 )( 21 2 2211 ),( 4 1 ddeH kkj (2.16) Thay biểu thức (2.15) vào biểu thức (2.16) chúng ta được 21 )()( 21 2 1 2 22112211 )),(( 4 1        ddeennh n n kkjnnj       Và có thể viết thành    2 )( 1 )( 21 2122111 1 2 2 1 2 1 ),(           dedennh knjknj n n       Và biến đổi thành ),()()(),( 21221121 1 2 kkhknknnnh n n     Điều này có nghĩa là đáp ứng xung có thể tính từ đáp ứng tần số qua mối quan hệ: h(n 1 ,n 2 ) =             21 )( 21 2 2211 ),( 4 1 ddeH nnj (2.17) Nếu đáp ứng tần số được cho dưới dạng hàm của u,v (vòng/đơn vị), thì biểu thức (2.17) có thể viết thành vdduvuHTTnnh V V H H HV T T T T nvTnuTj HV e      2 1 2 1 2 1 2 1 _ )(2 21 211 ),(),(  (2.18) Hoặc cho tần số chuẩn hoá:          1 1 2 1 1 1 )( 2121 2211 ),( 4 1 ),(   ddeHnnh nnj (2.19) 14 Ví dụ 2.3 Cho đáp ứng tần số      0 ||,|| 1 ),( 21 21 l¹i cßn hîp trêng c¸c   ba H (xem hình 2.10), hãy tính đáp ứng xung. Hình 2.10 Ví dụ 2.3. Giải Từ phương trình (2.17) chúng ta có thể viết : 2 2 1 1 21 21 )( 2 21 )sin(bn . )sin(an = 2 1 2 1 = 4 1 ),( 2211 2211 nn dede ddennh b b nj a a nj a a b b nnj                  Bởi vì đáp ứng tần số là hàm tách được của hai biến 1  và 2  nên đáp ứng xung cũng là một hàm hai biến tách được. Khái niệm “tách được” ở đây nghĩa là có thể phân tích h(n 1 ,n 2 ) = f 1 (n 1 ).f 2 (n 2 ). Ví dụ 2.4 Tìm đáp ứng xung của một bộ lọc thông thấp đối xứng vòng tròn lý tưởng được mô tả như sau (xem hình 2.11 và 2.12):  1 a - a b b   -  -   2 15      l¹i cßn hîp trêng c¸c 0 1 ),( 22 2 2 1 21   R eeH jj Giải Có thể dễ dàng thấy nếu ),( 21  H là một hàm đối xứng vòng tròn lý tưởng, cụ thể là )(),( 2 2 2 121   HH thì ),( 21 nnh cũng là một hàm tuần hoàn đối xứng vòng tròn, tức là h n n h n n( , ) ( ) 1 2 1 2 2 2   . Vì vậy cách dễ dàng nhất để tìm ),( 21 nnh là tìm h(n 1 , 0) và hàm 2 2 2 1 + nn theo n 1 . Chúng ta rút ra )0,( 1 nh từ:    A nj ddenh 21 2 1 11 4 1 )0,(    e 4 1 = R R- j 2 1 2       1 21 2 1 )cos(2 4 1 )0,( 1 2 2 2 2 2 11         dR ddenh n R R R R nj Ta có )sin( 1  R  dRd )cos( 1  dcos2 4 1 )0,( /2 /2- sin 2 2 1 1        jRn eRnh hoặc               deRn n R nh jRn 2/ 2/ sin2 1 1 1 1 cos)( 1 2 )0,(  1 R - R   -  -   2 . chiều. Nếu ta xử lý với một ảnh l y ra trực tiếp từ ma trận CCD camera thì T V và T H (và do đó là đơn vị) phải tính theo chiều không gian (xem hình 2.3). Mặt khác, với một ảnh truyền hình thì. ngoài hai hướng n y sẽ nhận được hiệu ứng làm nổi ảnh ít hơn các đường biên dọc. Để đạt được hiệu quả như nhau theo mọi hướng, tín hiệu được l y mẫu hai chiều phải được xử lý qua một hệ thống. biên ảnh 1-D, cụ thể đó là một bộ lọc thông cao, trên một ảnh bằng cách xử lý từng hàng một, thì đường biên sẽ phần lớn được làm nổi bật dọc theo các đường thẳng đứng. Các đường biên ảnh nằm