147 3. Để bộ lọc có bậc N N, N lẻ, hệ số bộ lọc (giá trị của h(m,n)) chứa trong một cửa sổ kéo dài từ 2 1 2 , 2 )1( 2 NMNM đến 2 1 2 , 2 )1( 2 NMNM . 4. Các bước trên có liên quan đến việc sử dụng hàm cửa sổ hình chữ nhật mà nó có thể được mô tả như sau: w(m,n) = 1 với M N m M N 2 1 2 2 1 2 M N n M N 2 1 2 2 1 2 (8.1) = 0 với các trường hợp còn lại. Các hệ số của bộ lọc cho bởi h(m,n)w(m,n) Hình 8.1 chỉ ra phổ biên độ của bộ lọc 5 5 được thiết kế sử dụng cửa sổ hình chữ nhật và tận dụng các đặc điểm: l¹i. cßn hîp trêng c¸ccho víi c 1 8,0 0 ),( 2 2 2 1 21 srad H Những dao động trong giải thông rất đáng được chú ý. Các dao động do sự hội tụ chậm của các hệ số trong chuỗi Fourier cho sự chuyển đổi đột ngột về đặc tính tần số -biên độ. Nhắc lại rằng đáp ứng tần số được coi như tuần hoàn và IFFT về cơ bản cùng dẫn đến hệ số Fourier của hàm tuần hoàn. Đây cũng là đáp ứng xung hay hệ số của bộ lọc FIR. 8.3 Hàm cửa sổ Các hàm cửa sổ để làm giảm bớt các dao động Gibbs được rút ra từ thiết kế của bộ lọc FIR 1-D. Các hàm cửa sổ hay được được sử dụng nhất sẽ không liệt kê theo bảng dưới đây cùng sự mở rộng của chúng sang trường hợp 2-D. ¦Cửa sổ Hann và Hamming. Cửa sổ Hann và Hamming cho bởi 0 1 2 cos1 )( N n nW H (8.2) v ới |n| N 1 2 với các trường hợp còn lại. 148 Có hai lựa chọn khác nhau của . Trong cửa sổ Hann = 0.5 và trong cửa sổ Hamming = 0. 54. Bậc của bộ lọc được cho là N. ¦Cửa sổ Blackmann. Cửa sổ Blackmann cho bởi : 1 4 cos08,0 0 1 2 cos5,042,0)( N n N n nW B (8.3) Các thành phần cosin thêm vào dẫn đến sự suy giảm biên độ của các dao động Gibbs. ¦Cửa sổ Kaiser. Cửa sổ Kaiser cho bởi 0 )( )( )( 0 0 I I nW K (8.4) Hình 8.1 Đáp ứng tần số của bộ lọc FIR với c = 0.8. ở đây là tham số độc lập và 1 2 1 2 n N với |n| N 1 2 với các trường hợp còn l ại v ới |n| N 1 2 v ới các trường hợp còn lại 149 I 0 (x) là hàm Bessel bậc 0 loại 1. Nó có thể ước lượng đến độ chính xác bất kỳ bởi dùng một dãy hội tụ I 0 (x) = 1 + 1 2 1 2 k x k k ! Hàm cửa sổ 2-D cơ bản dựa trên các hàm cửa sổ 1-D cung cấp ở trên. Sự mở rộng của bất kỳ hàm cửa sổ 1-D nào ở trên sang 2-D được tiến hành bằng cách thay thế n bằng n n 1 2 2 2 2 (8.5) Chia cho 2 để đảm bảo rằng giá trị của n không vượt quá (N - 1)/2, giá trị lớn nhất trong trường hợp 1-D. Hàm cửa sổ 2-D được sinh ra từ hàm cửa sổ 1-D qua các biểu thức: w(n 1 ,n 2 ) = w(n 1 )w(n 2 ) (8.6) Ứng dụng của hàm cửa sổ trên được rút ra đơn giản bằng thay thế đáp ứng xung h(n 1 ,n 2 ) bằng h(n 1 ,n 2 )w(n 1 ,n 2 ). Chương trình sau cho phép bạn thiết kế bất kỳ bộ lọc cửa sổ chữ nhật hay bất kỳ cửa sổ nào được mô tả trong phần trước bằng cách dùng biểu thức (8.5) để mở rộng từ 1-D sang 2-D. Bộ lọc trong chương trình này được thiết kế dùng FFT 2-D, loại cửa sổ được chọn bởi người dùng. Chương trình 8.1 "FIRD.C" Thiết kế các bộ lọc dùng FFT và các hàm cửa sổ. /* Program for designing FIR filter using FFT on prescribed frequency specifications.Option for selecting a Window function is provided. For the magnitude-frequency specifications you can either supply your own data or select from a menu of standard functions. If you supply your own data the first two values should be the dimensions of the 2-D array e.g. 32 32. These dimensions should be equal to some power of 2. The data that follows is the magnitude specifications in "%f " format stored in a row by row fashion with no return code after every row.*/ #define pi 3.141592654 150 #include <stdio.h> #include <math.h> #include <alloc.h> #include <stdlib.h> #include <io.h> #include <conio.h> #include <ctype.h> #include <conio.h> #include <string.h> void bit_reversal(unsigned int *, int , int); void WTS(float *, float *, int, int); void FFT(float *xr, float *xi, float *, float *,int, int) ; void transpose(FILE *, int, int); void FFT2D(FILE *, FILE *, float *, float *, unsigned int *, int,int , int) ; void main() { int M,M1,m,n2,i,j,ii,jj,k; int Nt,n,M2,M3,N,N1,ind,yt; unsigned int *L; float *wr,*wi,Do,winc,Do1,Do2; float win,T,alpha,beta,sum1,sum2; float nsq,nsqrt; FILE *fptri,*fptro,*fptr; float *buffi,*buffo,R2,H; float xrm,xim,xrn,xin,zrt,zit,mag,theta; float *w,**h,r1,im; unsigned char file_name[14], ch,ch1,choice,file_name1[14]; clrscr() ; printf("Freq. response can be calculated using standard \n"); printf(" functions which you can select from a menu if your\n"); printf(" reply to the following question is negative.\n"); printf("Is freq. response provided in a file? (y or n) >"); while(((ch1=getch())!='y')&&(ch1!='n')); 151 putch(ch1); switch(ch1) { case 'n': printf("\n Enter # of points to be generated (e.g. 32x32) >"); scanf("%dx%d",&M1,&M1); break ; case 'y': printf("\nEnter name of file storing magnitude response >"); scanf("%s",file_name1); fptr=fopen(file_name1,"r"); fscanf(fptr,"%d %d 11,01,&Mi"); } M=M1>>1 ; yt=wherey(); again1 : gotoxy(1,yt); printf( " "); gotoxy(1,yt); printf("Enter file name for storing impulse response >"); scanf("%s",file_name); if(((stricmp("FFT.DAT",file_name))==0)|| ((stricmp("TEMP.DAT",file_name))==0)|| ((stricmp("IFFT.DAT",file_name))==0)) printf("This is a reserved file name. Use some other name."); goto again1; gotoxy(1,yt); printf ( " "); ind=access(file_name,0); while(!ind) { gotoxy(1,yt+1); printf ( " "); gotoxy(1,yt+1); printf("File exists. Wish to overwrite? (y or n)- ->"); while(((ch=tolower(getch()))!='y')&&(ch1='n')); 152 putch(ch); switch(ch) { case 'y' : ind=1 ; break; case 'n' : gotoxy(1,yt+1); printf(" "); gotoxy(1,yt); printf("Enter file name >"); scanf("file_name"); ind=access(file_name,0); } } fptri=fopen("FFT.DAT","wb+"); fptro=fopen("IFFT.DAT","wb+"); buffi=(float *)malloc((M1<<1)*sizeof(float)); switch(ch1) { case 'n': /*Generating data for IFFT.*/ printf("\nEnter choice (1,2 etc.):\n"); printf(" 1. Low-pass.\n"); printf(" 2. High-pass.\n"); printf(" 3. Band-pass.\n"); printf(" 4. Band-reject >"); while(((ch=getche())!='1')&&(ch!='2')&&(ch!='3')&&(c h!='4')); switch(ch) { case '1' : case '2' : printf("\nEnter cut-off freq. in rad./sec.(cut-off <= n.)->"); scanf("%f",&Do); Do=(Do/pi)*(float)M; Do*=Do; printf("Enter choice:\n"); printf(" 1. Abrupt transition.\n"); printf(" 2. Butterworth.\n"); 153 printf(" Enter 1 or 2 >"); while(((choice=getche())!='1')&&(choice!='2')); printf("\n"); break; case '3': case '4': printf ("\nEnter lower cut-off freq. in rad./sec. (cut-off <=n."); scanf("%f",&Do1); Do1=(Do/pi)*(float)M; Do1*=Do1; printf ("\nEnter upper cut-off freq. in rad./sec.cut-off<= n.)->"); scanf("%f",&Do2); Do2=(Do/pi)*(float)M; Do2*=Do2; } for(i=0;i<M1;i++) { ii=(i-M)*(i-M); for(j=0;j<M1;j++) { R2=(float)((j-M)*(j-M)+ii); switch(ch) { case '1': /* low-pass. */ if(choice=='1') { if(R2<Do) H=(float)1.0; else H=(float)0.0; } if(choice=='2') H=0.414*Do/(R2+0.414*Do); break; case '2': /* high-pass. */ if(choice=='1') { if(R2<Do) H=(float)0.0; else H=(float)1.0; } 154 if(choice=='2') H=R2/(R2+0.414*Do); break; case '3': /* Band-pass. */ if(R2<Do1) H=(float)0.0; else if (R2>Do2) H=(float)0.0; else H=(float)1.0; break; case '4': /* Band-reject. */ if(R2<Do1) H=(float)1.0; else if (R2>Do2) H=(float)1.0; else H=(float)0.0; break; } jj=j <<1; buffi[jj]=H; buffi[jj+1]=0.0; } fwrite(buffi,M1,2*sizeof(float),fptri); } break; case 'y' : for(i=0;i<M1;i++) { for(j=0;j<M1;j++) { fscanf(fptr,"%f ",&H); jj=j<<1 ; buffi[jj]=H; buffi[jj+1]=(float)0.0; } fwrite(buffi,M1,2*sizeof(float),fptri); } fclose(fptr); } rewind(fptri); m=(int)(log10((double)M1)/log10((double)2)); /* Allocating memory for bit reversal LUT. */ L=(unsigned int *)malloc(M1*sizeof(unsigned int)); 155 /* Generate Look-up table for bit reversal. */ bit_reversal(L,m,M1); /* Allocating memory for twiddle factors. */ n2=M1-1; wr=(float *)malloc(n2*sizeof(float)); wi=(float *)malloc(n2*sizeof(float)); /* Generating twiddle factor.*/ WTS(wr,wi,M1,1); clrscr(); FFT2D(fptri,fptro,wr,wi,L,M1,m,1); clrscr(); fptri=fopen("IFFT.DAT","rb"); fptro=fopen("temp.dat","wb+"); nsq=(float)(M1*M1); buffo=(float *)malloc(M1*sizeof(float)); for(i=0;i<M1;i++) { fread(buffi,M1,2*sizeof(float),fptri); for(j=0;j<M1;j++) buffo[j]=(float)(buffi[2*j]/nsq); fwrite(buffo,M1,sizeof(float),fptro); } fclose(fptri); rewind(fptro); printf("Enter order of FIR filter (odd numbers)."); printf(" \n >(e.g. 3x3, 5x5) "); scanf("%dx%d",&N,&N); N1=(N-1)/2; M2=M-N1; M3=M+N1; h=(float **)malloc(N*sizeof(float)); for(i=0;i<N;i++) *(h+i)=(float *)malloc(N*sizeof(float)); /* Reading in the impulse response. */ buffo=(float *)malloc(M1*sizeof(float)); fseek(fptro,(long)(M2)*(long)(M1*sizeof(float)),SEEK _SET); 156 for(i=M2;i<=M3;i++) { fread(buffo,M1,sizeof(float),fptro); for(j=M2;j<=M3;j++) h[(i-M2)][j-M2]=buffo[j]; } /* Selection of Window functions. */ printf("\nEnter selection of window function:"); printf("\n 1.Rectangular."); printf("\n 2.Hann."); printf("\n 3.Hamming,"); printf("\n 4.Blackmann."); printf("\n 5.Kaiser."); printf("\nEnter (1,2 etc.) >"); while(((ch=getche())!='1')&&(ch!='2') &&(ch!='3')&&(ch!='4')&&(ch!='5')); yt=wherey(); /* Storing impulse response of FIR filter.*/ again : gotoxy(1,yt+2); printf(" "); gotoxy(1,yt+2); printf("\nEnter file name to store FIR filter coefficients >"); scanf("%s",file_name); if(((stricmp("FFT.DAT",file_name))==0)|| ((stricmp("temp.DAT",file_name))==0)|| ((stricmp("IFFT.DAT",file_name))==0)) { printf("This is a reserved file name. Use some other name."); goto again; } gotoxy(1,yt+2); printf(" "); ind=access(file_name,0); while(!ind) { gotoxy(1,yt+3); . gotoxy(1,yt); printf ( " "); ind=access(file_name,0); while(!ind) { gotoxy(1,yt+1); printf ( " "); gotoxy(1,yt+1); printf("File exists. Wish to overwrite? (y. fscanf(fptr,"%d %d 11,01,&Mi"); } M=M1>>1 ; yt=wherey(); again1 : gotoxy(1,yt); printf( " "); gotoxy(1,yt); printf("Enter file name for storing impulse response. &&(ch!='3')&&(ch!='4')&&(ch!='5')); yt=wherey(); /* Storing impulse response of FIR filter.*/ again : gotoxy(1,yt+2); printf(" "); gotoxy(1,yt+2); printf("
Enter file name