Tham khảo TN Toán 2010 số 21

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 CÂU I: 1. Khảo sát hàm số: 2 3 6 1 x x y x − + = − (1). 2. Từ đồ thò của hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thò của hàm số: 2 3 6 1 x x y x − + = − 3.Từ góc toạ độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp điểm (nếu có). CÂU II: 1. Giải hệ phương trình: 3 3 1 2 1 2 x y y x  + =   + =   2.Tìm điều kiện của tham số m ( m ∈¡ ) để cho phương trình 4 2 2 2 0x mx x m m− − + − = có 4 nghiệm thực phân biệt CÂU III: Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: 2 2 2 sin 2 sin 2 cot 2 B c A a C b g+ = Hãy xác đònh hình dạng của tam giác đó CÂU IV: Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho 4 điểm : A(1;2;2) , B(-1;2;-1) , C(1;6;-1) , D(-1;6;2). 1. Chứng minh rằng: ABCD là tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau. 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD 3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD CÂU V: Tính 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x I dx x x + + = − + ∫ DAP AN Câu I: a) Khảo sát hàm số: ( ) 2 3 6 1 1 x x y x − + = − • TXD: D=R\{1} ( ) 2 2 2 3 ' 1 1 ' 0 3 x x y x x y x − − = − = −  = ⇔  =  • Tiệm cận đứng: x=1 vì 1 lim x y → = ∞ • Tiệm cận xiên: Ta có: 4 2 1 y x x = − + − ⇒ TCX: y = x - 2 vì 4 lim 0 1 x x →∞ = − • BBT: • Đồ thò: Cho x = 0 ⇒ y = -6 x = 2 ⇒ y = 4 b) Từ đồ thò hàm số (1) hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thò hàm số: 2 3 6 1 x x y x − − = − (C 1 ) Ta có: y≥0 ⇒ (C 1 ) ở phía trên Ox. 1 nếu ( 1) nếu ( 1) y x y y x >  =  − <  Suy ra cách vẽ (C 1 ) như sau: - Phần của đồ thò (1) ứng với x > 1 trùng với (C 1 ). - Bỏ phần của (1) ứng với x < 1 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox ta được (C 1 ). c) Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thò (C). Tìm tọa độ tiếp điểm (nếu có). - Đường thẳng (d) qua 0 và có hệ số góc k là: y=kx. - Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: ( ) 2 2 2 3 6 (1) 1 2 3 (2) 1 x x kx x x x k x  − + =  −   − −  =  −  Thay (2) vào (1): ( ) 2 2 2 2 3 6 ( 2 3) 6 3 0 1 1 3 6 4 6 9 3 6 4 6 9 x x x x x x x x x x k x k − + − − = ⇔ − + = − −   = + = − ⇔ ⇒   = − = − −     Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thò (1). Tọa độ tiếp điểm là: 1 3 6 3 6 3 (3 6,3 6 3)x y M= + ⇒ = − ⇒ + − 2 3 6 3 6 3 (3 6, 3 6 3)x y M= − ⇒ = − − ⇒ − − − Câu II: a) Giải hệ: 3 3 1 2 (1) 1 2 (2) x y y x  + =   + =   (1) trừ (2) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 2( ) ( )( 2) 0 2 0 3 2 0 (vô nghiệm) 2 4 x y x xy y y x x y x xy y y x x xy y y x y y x y x − + + = − ⇔ − + + + = =  ⇔  + + + =  =   ⇔    + + + =  ÷     ⇔ = Thế y = x vào (1) ta được: 3 2 2 1 0 ( 1)( 1) 0 1 1 1 5 1 5 2 2 x x x x x x y x y − + = ⇔ − + − = = ⇒ =   ⇔ − ± − ±  = ⇒ =   Vậy hệ có 3 nghiệm: 1 5 1 5 1 5 1 5 (1,1), , , , 2 2 2 2     − + − + − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     b) Tìm m để: x 4 - 2mx 2 - x + m 2 - m =0 có 4 nghiệm. Ta có phương trình 2 2 4 (2 1) 0m x m x x⇔ − + + − = ( ) ( ) 2 2 4 2 2 1 4 (2 1) m x x x x ∆ = + − − = + Do đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 x x m x x x x m x x  + + + = = + +    + − +  = = −  Xem (P 1 ): y = x 2 + x + 1 (P 2 ): y= x 2 - x Phương trình hoành độ giao điểm của (P 1 ), (P 2 ): 2 2 1 1 3 2 4 x x x x x y + + = − ⇔ = − ⇒ = Suy ra: (P 1 ), (P 2 ) chỉ cắt nhau tại 1 điểm 1 3 , 2 4 M   −  ÷   . Dựa vào đồ thò ta kết luận: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt. ⇔ Đường thẳng (∆) đồng thời cắt (P 1 ), (P 2 ) tại 2 điểm phân biệt (và khác M). 3 . 4 m⇔ > Câu III: Xác đònh ∆ ABC biết: 2 2 2 B c sin 2 A a sin 2C b cotg (1) 2 + = 2 2 2 2 2 2 2 B (1) sin C.sin 2A sin A.sin 2 C sin B.cotg 2 B cos B B 2 2sin A cos A sin C 2 sin Ccos Csin A sin B 2sin cos . B 2 2 2sin 2 B 2sin Asin C(sin Ccos A cos Csin A) 2sin B.cos 2 B 2sin Asin C.sin(C A) 2sin B.cos 2 2sin A.sin C.sin B 2sin B ⇔ + =   ⇔ + =  ÷   ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = 2 2 B .cos 2 B 2sin Asin C 2cos 2 cos(A C) cos(A C) 1 cos B cos(A C) cos B 1 cos B cos(A C) 1 A C 2 A C ( 0) k k π ⇔ = ⇔ − − + = + ⇔ − + = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = Vậy ∆ ABC cân tại B. Câu IV: A(1, 2, 2), B(-1, 2, -1), C(1, 6. -1), D(-1, 6, 2). a) Chứng minh ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau. • A B ( 2,0, 3)= − − uuur • A C (0, 4, 3)= − uuur • A ( 2, 4,0)= − uuuur D A B, A C, A D⇒ uuur uuur uuuur không đồng phẳng. ⇒ A, B, C, D làp thành hình tứ diện. Mặt khác: A B 4 0 9 13 C D 4 0 9 13 A D 4 16 0 2 5 BC 4 16 0 2 5 A C 0 16 9 5 B D 0 16 9 5 = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = Suy ra ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau. b) Tính khoảng cách giữa AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. ⇒ 1 1 M(0,1, ), M(0,6, ) 2 2 Ta có: ∆ABC = ∆ABD (c.c.c) ⇒ CM = DM ⇒MN ⊥ CD Tương tự: MN ⊥ AB Vậy : d(AB, CD) = MN = 5 c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCD. Gọi I là trung điểm MN⇒ I 7 1 0, , 2 2    ÷   Dễ dàng chứng minh được IA = IB = IC = ID. ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD. Vậy phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCD là: 2 2 2 7 1 11 x y 2 2 2 z     + − + − =  ÷  ÷     Câu V: 1 5 2 2 4 2 1 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 x 1 I d x x x 1 1 1 1 1 d x x x d x 1 1 x 1 x 1 x x + + + + = − +     + +  ÷  ÷     = =   − + − +  ÷   ∫ ∫ ∫ Đặt 2 1 1 u x d u x d x x x   = − ⇒ = −  ÷   Vậy: 1 2 0 d u I 1 u = + ∫ Đặt tgt = u ⇒ du=(1+tg 2 t)dt Vaäy: 2 4 4 0 2 0 (1 tg t) d t I t 4 1 tg t π π π + = = = + ∫ . THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 CÂU I: 1. Khảo sát hàm số: 2 3 6 1 x x y x − + = − (1). 2. Từ đồ thò của hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thò của hàm số: 2 3 6 1 x. nhiêu tiếp tuyến của hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp điểm (nếu có). CÂU II: 1. Giải hệ phương trình: 3 3 1 2 1 2 x y y x  + =   + =   2.Tìm điều kiện của tham số m ( m ∈¡ ) để cho phương. tiếp tứ diện ABCD CÂU V: Tính 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x I dx x x + + = − + ∫ DAP AN Câu I: a) Khảo sát hàm số: ( ) 2 3 6 1 1 x x y x − + = − • TXD: D=R{1} ( ) 2 2 2 3 ' 1 1 ' 0 3 x