TRƯỜNG THPT NGUYÊN THÁI BÌNH ĐỀ TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2009-2010 (THAM KHẢO) MÔN: TOÁN - THỜI GIAN: 180 PHÚT A. PHẦN CHUNG (7 ĐIỂM) Câu I (3điểm): Cho hàm số xxy 3 3 −= , có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. xác định m sao cho phương trình 013 3 =−+− mxx có ba nghiệm phân biệt. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Câu II (3điểm): 1. Giải bất phương trình sau 2 4 loglog8log 2 2 2 >+− x x 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 12 1 12 − ++= x xy trên đoạn [ ] 2;1 . 3. Tính ∫ += 2 0 2).(sin 2 π xdx x xI e Câu III. (1điểm) : Một hình trụ có đường kính đáy bằng 2a; đường cao bằng a 3 . 1) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. 2) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. B. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM) Theo chương trình chuẩn Câu IV.a (2điểm) Trong không gian Oxyz, cho mp(Q) và mặtcầu (S) lần lượt có phương trình: x+y+z=0; x 2 + y 2 + z 2 -2x +2y -4z -3 =0. 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(Q). 2) Viết phương trình tổng quát của mp(P) song song với Oz, vuông góc với mp(Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Câu V.a (1điểm) 1. Xác định phần thực, phần ảo của số phức: z = (7- 3i) 2 – (2- i) 2 2. Giải phương trình sau trên tập số phức: x 2 – 6x + 29 = 0 Theo chương trình nâng cao Câu IVb: (2điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : 12 1 1 3 : 2 1 1 : 21 zyx z ty tx = − = − − ∆ = −−= += ∆ 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa đường thẳng 1 ∆ và song song với 2 ∆ . 2/ Xác định điểm A trên 1 ∆ và điểm B trên 2 ∆ sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Câu Vb : (1điểm) Cho hàm số 1 1 2 + −− = x xx y có đồ thị (C ).Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0 ; -5) và tiếp xúc với (C ). ĐÁP ÁN Câu ĐÁP ÁN Điểm I (3điểm) 1.(2 điểm) Tập xác định D= R 0,25 Sự biến thiên Chiều biến thiên 33 2/ −= xy , −= = ⇔= 1 1 0 / x x y Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 1;−∞− và ( ) +∞;1 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1;1− Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y cđ = 2 Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, y cđ =-2 0,5 Giới hạn: ,lim +∞= +∞→ y x ,lim −∞= −∞→ y x 0,25 Bảng biến thiên x ∞− -1 1 ∞+ y / + - + y 2 ∞+ ∞− -2 0,5 0,5 2. ( 0,5 điểm) Phương trình mxx −=−⇔ 13 3 . Do đó số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị và đường thẳng y=1-m. 0,25 Dựa vào đồ thị (C) ta thấy , phương trình có ba nghiệm phân biệt 31 <<−⇔ m 0,25 3. (0,5 điểm) * Phương trình hoành độ giao điểm −= = = ⇔=− 3 3 0 03 3 x x x xx *Diện tích cần tìm là: ( ) 2 9 32323 3 0 3 3 3 0 33 =−=−=−= ∫∫ ∫ − dxxxdxxxdxxxS 0,25 0,25 Câu II (3điểm) 1 ( 1 đ) Giải bất phương trình sau: 2 4 loglog8log 2 2 2 >+− x x + Điều kiện: x>0 +Bpt 2 3 2 1 log 2 1 log2log3 222 >−+−+⇔ xxx 1log 2 1 2 −>−⇔ x 4 <⇔ x (thỏa điều kiện) 0,25 0,25 0,25 0,25 2 (1điểm) * 2 / )12( 2 2 − −= x y * = = ⇔= 1 )(0 0 / x lx y * 4)1( =y , 3 16 )2( =y * [ ] 3 16 2;1 = Max , [ ] 4 2;1 =y Min 0,25 0,25 0,25 0,25 3 (1 đ) 21 2 0 2 0 2sin2 2 IIxdx x xdxxI e +=+= ∫ ∫ π π ∫ = 2 0 1 sin2 π xdxxI . Đặt u= 2x ⇒ du = 2dx dv = sinx dx ⇒ v = - cosx 2 0 2 sin22 0 2 .2 2 0 1 ==+−=⇒ ∫ ππ π xsxdxcosxcoxI 1 0 2 )( 4 2 2 0 2 0 2 2 222 2 −==== ∫∫ π ππ π e x xd x dx x I eexe 1 4 += π eI 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu III 1 điểm Hình vẽ: 1. S xq = 2 π R,h = 2 π a.a. 3 =2 3 π a 2 (đvdt) S tp = S xq +2S đ = 2 3 π a 2 + 2 π a 2 = 2( 3 +1) π a 2 (đvst) 2. V = π R 2 h = 2 .3 a π (đvtt) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 2điểm IV.a 1.(0,75đ) + Mặt cầu (S) có tâm I(1,-1,2) + Mp(Q) có vectơ pháp tuyến là Q n = (1,1,1) + Pt tham số của đường thẳng d: += +−= += tz ty tx 2 1 1 2. (1,25điểm) + Gọi n là vectơ pháp tuyến của mp(P); R bán kính (S), R=3 + mp(P) song song hoặc chứa u =(0,0,1); Q n = (1,1,1) nên [ ] Q nun ,= = (-1,1,0) + pt mp(P) có dạng –x + y +D =0 +mp(P) tiếp xúc với (S) ⇔ d(I,(P))=R ⇔ 3 11 11 = + +−− D ⇔ 232 =−D −= += ⇔ 232 232 D D Vậy có 2mp 0232 0232 =−++− =+++− yx yx thoả mãn yêu cầu. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Va 1đ 1(0,5đ) z =( 7 - 3i + 2 - i)( 7 - 3i -2+ i) = (9 - 4i(5 - 2i) = 37 - 38i Vậy số phức z có phần thực a = 37 và phần ảo b= - 38 0,25đ 0,25đ 2(0,5đ) 20−=∆ Phương trình có 2 nghiệm phức: 523 ix ±= 0,25đ 0,25đ IVb 1.(1điểm) 1 ∆ đi qua M 1 (1 ;-1 ;2) và có véc tơ chỉ phương )0;1;1( 1 −=u 2 ∆ đi qua M 2 (3 ;1 ;0) và có véc tơ chỉ phương )1;2;1( 2 −=u Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là : [ ] )1;1;1(, 21 −−== uun 0,5đ Vì (P) đi qua M 1 (1 ;-1 ;2) ⇒ (P) :-(x - 1) – (y +1) +(z -2) = 0 Hay (P) : x + y – z + 2 = 0 Do M 2 ∉ (P) nên 2 ∆ // (P). Vậy p/trình m/phẳng (P) là : x + y – z + 2 = 0 0,5đ 2.(1điểm) Vì A ∈ 1 ∆ ; B ∈ 2 ∆ nên A(t 1 +1 ;-t 1 -1 ; 2) ,B(-t 2 +3 ; 2t 2 +1 ; t 2 ) )2;22;2( 21212 −+++−−=⇒ tttttAB Đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi AB là đoạn vuông góc 0,25đ 0,25đ chung của 1 ∆ và 2 ∆ . ⇔ 0 036 023 0. 0. 21 12 12 2 1 ==⇔ =+ =+ ⇔ = = tt tt tt uAB uAB Kết luận A(1 ;-1 ;2), B(3 ;1 ; 0) 0,25đ 0,25đ Vb 1điểm Đường thẳng d đi qua A(0 ;-5) có phương trình y = kx - 5 0,25đ Đường thẳng d tiếp xúc với (C ) khi hệ phương trình sau có nghiệm : −=−= =−= ⇔ = + − −= + +− 8, 3 2 0,2 )1( 1 1 5 1 1 2 2 kx kx k x kx x x 0,5đ Kết luận có 2 đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với (C ) là : d 1 : y = -5 và d 2 : y = -8x - 5 0,25đ . −= = = ⇔=− 3 3 0 03 3 x x x xx *Diện tích cần tìm là: ( ) 2 9 32 3 23 3 0 3 3 3 0 33 =−=−=−= ∫∫ ∫ − dxxxdxxxdxxxS 0,25 0,25 Câu II (3 iểm) 1 ( 1 đ) Giải bất phương trình sau: 2 4 loglog8log 2 2 2 >+− x x +. −=−⇔ 13 3 . Do đó số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị và đường thẳng y=1-m. 0,25 Dựa vào đồ thị (C) ta thấy , phương trình có ba nghiệm phân biệt 31 <<−⇔ m 0,25 3. . trình sau: 2 4 loglog8log 2 2 2 >+− x x + Điều kiện: x>0 +Bpt 2 3 2 1 log 2 1 log2log3 222 >−+−+⇔ xxx 1log 2 1 2 −>−⇔ x 4 <⇔ x (thỏa điều kiện) 0,25 0,25 0,25 0,25 2 (1điểm) *