DE THI HSG LOP 10

Trờng THPT đông sơn I Đề thi Học sinh giỏi lớp 10 năm học 2009- 2010 Môn toán Ngày thi 16/5/2010 (Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2điểm) Cho phơng trình: ( ) 10 2 1 2 = mxx có các nghiệm x 1 và x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 21 21 2 21 11 ++= xx xxxxM . Câu 2: (2điểm) Giải hệ phơng trình =+ =+ 82 31 32 3 3 yx xy Câu3: (2điểm) Giải bất phơng trình : ( ) 153 4 2 2 x x x > Câu4: (2điểm) Cho a,b,c là các số dơng thỏa mãn 1 123 =++ cba .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b + c. Câu 5:(2điểm) Chứng minh rằng: 0 00000 1cot 90 180sin180178sin178 6sin64sin42sin2 = +++++ Câu 6: (2điểm) Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn ( ) 0sinsin2sinsinsin32 =++ CBACB . Chứng minh tam giác ABC đều Câu 7 : (2điểm) Trong mặt phẳng vi h tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A( -2; 3), B(1; -1) và diện tích bằng 20. Tính đờng cao hình thoi và viết phơng trình cạnh AB. Tìm toạ độ điểm D biết nó có hoành độ nguyên dơng. Câu 8 : (2điểm) Cho hypebol ( H ) có phơng trình 1 84 22 = yx và đờng thẳng (d) có ph- ơng trình x-y-2 = 0. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt (H) tại hai điểm A, B phân biệt , tính AB .Tìm tọa độ điểm C trên (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 8 Câu 9 :(2điểm) Cho đờng tròn ( ) 0822: 22 =++ yxyxC . Lập phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng ( ) 42: += xy một góc 45 0 . Câu 10:(2điểm) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) )1()1(2121 3 4 mxxxxmxx =++ Hết Họ và tên thí sinh:. Số báo danh Hớng dẫn chấm môn toán THI HọC SINH GiỏI LớP 10 Năm học 2009-2010 - Điểm toàn bài thi không làm tròn - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa. Câu Nội dung Điểm Câu 1 Cho phơng trình: ( ) 10 2 1 2 = mxx có các nghiệm x 1 và x 2 . Tìm giá trị nhỏ . 2điểm * Vì PT(1) có các nghiệm x 1 , x 2 nên theo Viét ta có: 0 2 1 . 21 <=xx nên giả sử x 1 < 0; x 2 > 0. Đặt 0 10 >= xx khi đó ta có: ( ) 2 20 20 2 20 11 +++++= xx xxxxM . Trong đó x 0 > 0, x 2 > 0 * Mặt khác: Ta dễ dàng chứng minh đợc BĐT: ( ) 0,* 411 > + + ba baba Thật vậy: ( ) ( ) ( ) 0,00,4 4 * 22 >>+ + + bababaabba baab ba Vậy (*) đúng *áp dụng BĐT (1) ta có: 0, 411 20 2020 > + + xx xxxx Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 8288 16 2 4 2 20 2 20 2 20 20 2 20 ++ + ++= + ++++ Cosi xx xx xx xxxxM * Min M = 828 + Khi ( ) ( ) 4 20 2 20 2 20 20 2 1 8 == + =+ = xx xx xx xx Hay ; 2 1 4 1 =x 4 2 2 1 =x 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 2 Giải hệ phơng trình =+ =+ 82 31 32 3 3 yx xy 2điểm Đặt 0= xu , 3 3 1= yv += = = = 11 33 42 33 2 vy ux vy ux Thay vào hệ ta có: ( ) =+ = =+ =+ )2(813 )1(3 81 3 3 4 34 uu uv vu vu Từ (2): ( ) ( ) 01815238192727 23324 =+++=++ uuuuuuuu Vì 0 u Nên u = 3 Vậy = = = = = = 1 9 01 3 0 3 3 3 y x y x v u Hệ có 1 nghiệm (x;y)=(9;1) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 3 Giải bất phơng trình: x x x > 53 4 2 2 2điểm Điều kiện: 204 2 >> xx (*) Ta có x x x > 53 4 2 2 53 4 2 2 > + x x x (1) TH1: Với x < -2. Bất phơng trình vô nghiệm ( do vế trái âm) TH 2: Với x > 2. Bình phơng 2 vế bất phơng trình (1) ta đợc: ( ) 245 4 .4 4 45 4 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 > + > + + x x x x x x x x x Đặt 0, 4 2 2 > = t x x t Khi đó bất phơng trình (2) có dạng: 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ < > < > >+> >>>+ 5 52 5 20 0100255 4 )0(50454 2 2 24 2 2 2 x x x x xx x x tdottt Kết hợp với trờng hợp ĐK ang xột,ta đợc nghiệm của bất phơng trình là: ( ) ( ) + ;525;2 0,25đ Câu 4 Cho a,b,c là các số dơng thỏa 1 123 =++ cba .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b + c. 2điểm Vì 1 123 =++ cba nên: ( ) 6 2323123 ++++++=++ ++=++= b c c b c a a c b a a b cba cba cbaT Vì a, b, c dơng nên áp dụng bất đẳng thức Cô si , ta có: 22 2 ;32 3 ;62 23 +++ b c c b c a a c b a a b .Suy ra: ( ) ( ) 2 12362362 ++=+++T ( ) ++= ++= ++= =++ = = =++ = = = ++= 321 622 633 1 1 2 2 3 3 2 3 1 123 2 3 23 123 2 c b a c cc cb ca cba b c c b c a a c b a a b T Vậy ( ) 2 min 123 ++=T khi ++= ++= ++= 321 622 633 c b a 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 5 Chứng minh rằng: 0 00000 1cot 90 180sin180178sin178 6sin64sin42sin2 = +++++ 2điểm ( ) ( ) ( ) 189cos87cos 5cos3cos3cos1cos 1sin 1 188sin1sin2 4sin1sin22sin1sin2 1sin 1 188sin 4sin2sin2 90 9088sin180 4sin1802sin180 90 2sin1784sin176 88si n9290sin9088sin88 6sin64sin42sin2 000000 0 000000 0 000 000 00000000 ++++= ++++= ++++= ++++ = +++++++++ = A ( ) ( ) 0 0 00 0 00 0 1cot 111cot 11sin1cos 1sin 1 189cos1cos 1sin 1 = += +=+= 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 6 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa ( ) 0sinsin2sinsinsin32 =++ CBACB .Chứng minh tam giác ABC đều 2điểm Tacó: ( ) 0sinsin2sinsinsin32 =++ CBACB ( ) 0sinsin2)sin(sinsin32 =+++ CBCBCB (Vì sinA=sin(B+C)= sinBcosC + sinBcosC) ( ) ( ) 0sin2sincossinsin3sin2cossinsinsin3 =+++ CCBCBBCBCB ( )1(01 6 sinsin21 6 sinsin2 01cos 2 1 sin 2 3 sin21cos 2 1 sin 2 3 sin2 = ++ + = ++ + BCCB BBCCCB Vì A,B, C là ba góc trong tam giác nên sinA>0, sinC >0 và + + 01 6 sin 01 6 sin C B Nên (1) = = = + = + << 3 3 1 6 sin 1 6 sin ,,0 C B C B CBAvi B = C = 3 ABC đều 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A( -2; 3), B(1; -1) và diện tích hình . 2điểm * Ta có đờng cao của hình thoi là: 4== AB S h ABCD . * Phơng trình AB: 0134 =+ yx * Gọi D = (x; y) với x > 0; x Z . Ta có: ( ) ( ) ( ) =++ = + == = 225)3()2( 14 5 134 5 4, 22 yx yx ABAD ABDd ( ) 3 194 3 214 1 = + = x yhay x y * Thế vào (2), giải ra ta chọn đợc: 30;3 =>= yxZx . Vậy D( 3; 3). 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 8 Cho hypebol ( H ) có phơng trình 1 84 22 = yx và đờng thẳng (d) có phơng trình x-y-2 = 0 2điểm * Tọa độ giao điểm của ( d) và (H) là nghiệm của hệ phơng trình: += = = = 2 1 84 02 1 84 2222 yx yx yx yx ( ) ( ) = = =+=++= + 8 0 0884421 84 2 222 2 2 y y yyyyy yy Nếu ( ) 0;220 Axy == ; Nếu ( ) 8;668 == Bxy * Vậy ( ) ( ) ( ) ( ){ } 288;6;0;2 == ABBAHd * Gọi ( ) ( ) HyxC 00 ; ta có: ( ) 11 84 2 0 2 0 = yx Gọi H là hình chiếu của C lên ( d) ta có diện tích tam giác ABC là: 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 24 2 1 CHCHABS ABC == . Trong đó ( ) 2 2 )1(1 2 )(; 00 22 00 = + == yxyx dCdCH * = += = = == = 00 00 00 00 00 00 4 22 22 228 2 2 .248 yx yx yx yx yx yx S ABC *Với 4 00 += yx ta có: ( ) ( ) 02416816821 84 4 0 2 0 2 00 2 0 2 2 0 =++=++= + yyyyy y y 1028 0 = y Nếu 10241028 00 == xy Nếu 10241028 00 +=+= xy * Với x 0 = y 0 ta có: 221 8 1 84 0 2 0 2 0 2 0 === x xxx => 22 00 == yx hoặc 22 00 == yx * Vậy ta tìm đợc 4 điểm C thỏa mãn ycbt. ( ) ( ) ( ) ( ) 22;22,22;22,1028;1024,1028;1024 4321 CCCC ++ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 9 Cho đờng tròn ( ) 0822: 22 =++ yxyxC . Lập phơng trình tiếp tuyến . 2điểm Giả sử đờng thẳng ( d) có PT dạng: ( ) 10=++ CByAx có VTPT );( BAn . Đờng tròn ( C) có tâm I(1;-1) bán kính R= 10 ( d) là tiếp tuyến của đờng tròn (C) ( ) RdId = ; ( ) 210 22 = + + BA CBA ( ) có vectơ pháp tuyến là )1;2('n và ( d) tạo với một góc 45 0 do đó = = =+ + + = ++ + == 3 3 0383 .5 2 2 2 .14 2 ' '. 45cos 22 2 22 2 22 0 B A BA BABA BA BA BA BA nn nn * Với BA 3= thay vào (2) ta đợc: ( ) = = == + BC BC BBC BB CBB 6 14 10410 3 3 2 2 + Với C = 14B thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến: (d 1 ): 0143 = yx + Với C = -6B thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến: (d 2 ): 063 =+ yx * Với 3 B A = tơng tự ta đợc hai tiếp tuyến (d 3 ): 0123:)(;083 4 =++=+ yxdyx Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. (d 1 ): 0143 = yx ; (d 2 ): 063 =+ yx ; (d 3 ): 0123:)(;083 4 =++=+ yxdyx 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu10 Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất : ( ) )1()1(2121 3 4 mxxxxmxx =++ 2điểm Nếu x 0 là 1 nghiệm của (1) thì (1 - x 0 ) cũng là 1 nghiệm của (1). Do đó (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : 2 1 1 000 == xxx 0,5đ 0,5đ Víi 2 1 0 =x thay vµo (1)         = −= = ⇔=⇔=−+⇒ 1 1 0 2 1 2 2 1 2 33 4 2 m m m mmmm + Víi m = 0 ta cã (1) ( ) ( ) 2 1 010121 2 44 4 =⇔=−−⇔=−−−+⇔ xxxxxxx + Víi m = 1 ta cã (1) ( ) ( ) 112121 4 =−−−+−+⇔ xxxxxx PT nµy cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm x = 0 , x = 1 +Víi m = -1 ta cã (1) ⇔ ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 01 01 011 44 22 44 =⇔        = = ⇔     =−− =−− ⇔=−−+−− x x x xx xx xxxx VËy m = 0 hoÆc m = -1 tháa ycbt 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® . sơn I Đề thi Học sinh giỏi lớp 10 năm học 2009- 2 010 Môn toán Ngày thi 16/5/2 010 (Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2điểm) Cho phơng trình: ( ) 10 2 1 2 =. ta có: ( ) ( ) 02416816821 84 4 0 2 0 2 00 2 0 2 2 0 =++=++= + yyyyy y y 102 8 0 = y Nếu 102 4102 8 00 == xy Nếu 102 4102 8 00 +=+= xy * Với x 0 = y 0 ta có: 221 8 1 84 0 2 0 2 0 2 0 === x xxx =>. ) 22;22,22;22 ,102 8 ;102 4 ,102 8 ;102 4 4321 CCCC ++ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 9 Cho đờng tròn ( ) 0822: 22 =++ yxyxC . Lập phơng trình tiếp tuyến . 2điểm Giả sử đờng thẳng ( d) có PT dạng: ( ) 10= ++