đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề). I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH . Câu I Cho hàm số 43 23 += xxy 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. Câu II 1Giải phơng trình: 8 1 3 tan 6 tan 3coscos3sin.sin 33 = + + xx xxxx 2. Giải hệ phơng trình : =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx . Câu III 1.Tớnh tớch phõn: 2 3 0 3sin 2cos (sin cos ) x x I dx x x = + Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lợt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Câu V Cho 0 x y z< : Chng minh rng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + + + + + + + + + + + + + + II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 ) Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn ) Câu VIa 1. Vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC vi cỏc nh: A(-2;3),B( )0;2(),0; 4 1 C 2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh: 2 2 2 2 x t y t z t = + = = + .Gi l ng thng qua im A(4;0;-1) song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua , hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht .Câu VIIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 1).12(48 22 ++=++ xxmx . Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao ) . Câu VIb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0);Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng ( ) và ( )' có phơng trình . ( ) ( ) += = += = += += 4t'2 t'2y t'2-2x : ; 4 2t-1y t3x : ' zz Viết phơng trình đờng vuông góc chung của ( ) và ( )' Câu VIIb Giải hệ phơng trình += +=+ + + 1 )1(2 yxe xee yx yxyx (x, y R ) ******** Hết ******** Hớng dẫn chấm môn toán - Điểm toàn bài không làm tròn. đề chính thức - Học sinh làm các khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa. - Nếu học sinh làm cả hai phần trong phàn tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn. - Thí sinh dự thi khối B, D không phải làm câu V; thang điểm dành cho câu I.1 và câu III là 1,5 điểm. Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số 43 23 += xxy 1,00 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: +=+==+= ++ )4x3x(limylim,)4x3x(limylim 23 xx 23 xx 0,25 b) Bảng biến thiên: y' = 3x 2 - 6x, y' = 0 x = 0, x = 2 Bảng biến thiên: x - 0 2 + y' + 0 - 0 + y 4 + - 0 - Hàm số đồng biến trên (- ; 0) và (2; + ), nghịch biến trên (0; 2) - Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, y CT = 0. 0,50 3. Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0). Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng 0,25 I.2 Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc 1,00 d có phơng trình y = m(x 3) + 4. Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phơng trình = = =+=+ 0mx 3x 0)mx)(3x(4)3x(m4x3x 2 223 0,50 Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và 1)m('y).m('y = 0,25 9 35318 m01m36m91)m6m3)(m6m3( 2 ==+=+ (thỏa mãn) 0,25 Câu Nội dung Điểm II.1 Giải phơng trình lợng giác Điều kiện: 0 3 xcos 6 xcos 3 xsin 6 xsin + + Ta có 1x 6 cot 6 xtan 3 xtan 6 xtan = = + Phơng trình đã cho tơng đơng với 8 1 x3cosxcosx3sin.xsin 33 =+ 1 cos2x cos2x cos4x 1 cos2x cos2x cos 4x 1 2 2 2 2 8 + + ì + ì = 1,00 x y -1 2 O 4 2 1 Câu Nội dung Điểm 2 1 x2cos 8 1 x2cos 2 1 )x4cosx2cosx2(cos2 3 ===+ 0,5 + = + = k 6 x (loại) k 6 x , (k )Z . Vậy phơng trình có nghiệm + = k 6 x , (k )Z 0,5 II.2 Giải hệ phơng trình: =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx * Hệ phơng trình tơng đơng với =++ =+ 022)2( 4)3()2( 22 222 xyx yx 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0 x y x y x + = + + + = Dat 2 2 3 x u y v = = * Thay vào hệ phơng trình ta có: 2 2 4 . 4( ) 8 u v u v u v + = + + = 2 0 u v = = hoặc 0 2 u v = = thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : 2 3 x y = = ; 2 3 x y = = ; 2 5 x y = = ; 2 5 x y = = ; 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 III.1 t , 0 , 0. 2 2 2 x t dx dt x t x t = = = = = = Suy ra: 2 2 2 3 3 3 0 0 0 3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin (sin cos ) (cos sin ) (cos sin ) x x t t x x I dx dt dx x x t t x x = = = + + + (Do tớch phõn khụng ph thuc vo kớ hiu cu bin s). Suy ra: 2 2 2 3 3 2 0 0 0 3sin 2cos 3cos 2sin 1 2 (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) x x x x I I I dx dx dx x x x x x x = + = + = + + + = = 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 tan 1 2 4 2 4 2cos cos 4 4 dx d x x x x = = = ữ ữ ữ ữ . KL: Vy 1 . 2 =I 0,25 0,25 0,25 0,25 C©u Néi dung §iÓm III.2 1,00 IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy ra SI ⊥ MN vµ AI ⊥ MN. Do (SBC) ⊥ (AMN) nªn SI ⊥ (AMN). Do ®ã MN.AI.SI 6 1 S.SI 3 1 V AMNAMN.S == 1,00 S A C B M N I K Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + − − + + − + + + + + + + + ≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y z x x y z x z y x y z y z x z y z x x y x y x y ⇔ + + − + + + + − + + + + + + + ≤ + + + (1) Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y Từ (1) 3 2 2 ab a b c b a c abc c c ⇔ − + − + ≤ + ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ + (2) Ta có: 2 2 (3) 2 b c c b c b c ab a c b c − + − ≤ = ⇔ − ≤ Tương tự: ( ) 4 2 ab b c a c− ≤ ( ) 2 2 5c ab c ab≤ + Cộng (3); (4); (5) ta được: ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ + đpcm Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c a. 2z+y=2z+x=4x+2y b. x=y= 2 5 z 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI SK nên tam giác ASK cân tại A. Do đó 2 3a AKSA == 0,5 0,5 MN = 4 a MN 2 1 NI, 2 a BC 2 1 === , 4 3a 2 SA 2 SC SN === 4 2a 16 a 16 a3 NISNSI 22 22 === 1,00 4 10a 8 a 4 a3 SISAAI 22 22 === . Vậy 96 5a 2 a 4 10a 4 2a 6 1 V 3 AMN.S == 0, 5 0, 5 Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng công thức: 4 1 SC SN . SB SM . SA SA V V ABC.S AMN.S == 1,00 + Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc) 0,25 Va 1.(1,0 im) im D(d;0) thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A khi v ch khi ( ) ( ) 2 2 2 2 9 1 3 4 4 2 4 3 81 225 9 3 16 16 4 1 6 3 1. 4 16 9 25 d DB AB DC AC d d d d ổử ữ ỗ + - ữ ỗ - ữ ỗ ố ứ = = = - + - + = = ị - = - ị = + ng thng AD cú phng trỡnh: 2 3 3 6 3 9 1 3 3 x y x y x y + - = - - = - = - - , v ng thng AC: 2 3 3 6 4 12 3 4 6 0 4 3 x y x y x y + - = - - = - + - = - Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l Câu Nội dung Điểm 1 b- v bỏn kớnh cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú: ( ) 2 2 3 1 4 6 3 5 ; 3 4 4 ) 3 5 ; 3 1 ) 3 5 . 2 b b b b b a b b b b b b b - + - = - = + - = ị =- - =- ị = Rừ rng ch cú giỏ tr 1 2 b = l hp lý. Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip ABCV l: 2 2 1 1 1 2 2 4 x y ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ - + - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . 2. (1,0 im) Mt phng P i qua ng thng d cú phng trỡnh dng: ( ) ( ) ( ) 2 3 11 2 7 0 2 3 2 11 7 0. m x y n y z mx m n y nz m n + + + - + = + + - + + = mt phng ny i qua M, phi cú: ( ) ( ) 8 15 11 5 6 7 0 12 4 0 3 . m n m n n m - - + + - - + = - - = =- Chn 1, 3m n= =- , ta c phng trỡnh ca P: 2 6 10 0x z+ - = . Tip theo, ng thng d i qua ( ) 2; 1;1A - v cú vect ch phng ( ) 2;3; 5m - ur . Mt phng P i qua M v d cú hai vect ch phng l m ur v ( ) 6;4; 2MA - uuur hoc ( ) 3;2; 1n - r . Vect phỏp tuyn ca P l: ( ) 3; 5 5;2 2;3 , , 7; 13; 5 2; 1 1;3 3;2 p p ổ ử - - ữ ỗ ữ = - - ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ - - ố ứ ur ur . Phng trỡnh ca P: ( ) ( ) ( ) 7 4 13 5 5 3 0x y z+ - + - - = hay: 7 13 5 29 0.x y z- - - = Rừ rng ng thng d phi l giao tuyn ca P v P nờn cú phng trỡnh: 2 6 10 0 7 13 5 29 0 x z x y z ỡ + - = ù ù ớ ù - - - = ù ợ . VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: m( 2x+1). 1 2 +x =10x 48 2 ++ x 1,00 Câu Nội dung Điểm Nhận xét : 10x 48 2 ++ x = 2(2x+1) 2 +2(x 2 +1) Phơng trình tơng đơng với : 2 ( 02) 1 12 () 1 12 2 2 2 =+ + + + + x x m x x . Đặt t x x = + + 1 12 2 Điều kiện : -2< t 5 . Rút m ta có: m= t t 22 2 + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ] 5,2 , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: 5 12 4 < m hoặc -5 < 4 < m 0,25 0,75 Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông trên. 1,00 + Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là );( ban (a 2 + b 2 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là: );( 1 abn .Phơng trình AB có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0 ax + by -2a-b =0 BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) 0,5 Hay = = + + = + ab ab ba ab ba b 2 43 2222 Tr ờng hợp 1: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là: AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0 BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0 Tr ờng hợp 2: b= -a . Khi đó AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0 AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0 0,25 0,25 Vb 2 Cho (): = += += 4 21 3 z ty tx ; () += = += uz uy ux 42 2 22 Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và () 1,0 0 + Gọi đờng vuông góc chung của () và () là d Khi đó [ ] )1;2;4(', 2 1 == uuu d + Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp tuyến: [ ] )10;1;2(, 1 == d uun Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0 + Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến: [ ] )12;18;6(,' 2 == d uun Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0 Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng: 2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0 +Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm VIIb Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) 1,00 +) Ta có 1x 1 1x2y += . 0 1x 1 lim)]1x2(y[lim xx = = . Do đó (C) có tiệm cận xiên y = 2x 1. +) = + += + + 1x 2x3x2 lim; 1x 2x3x2 lim 2 1x 2 1x . Do đó (C) có tiệm cận đứng x = 1 +) Gọi M += 1x 1 1x2;xM)C( 0 00 , 1x 0 0,25 Tổng khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận của (C) là 1x5 1 1x 12 1 1x 1 1x2x2 1xd 0 0 22 0 00 0 += + + += 0,25 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có 4 0 0 5 2 1x5 1 1x2d = 4 5 2 d = khi 4 0 0 0 5 1 1x 1x5 1 1x = = 0,25 Vậy d nhỏ nhất khi 5 5 2 1; 5 1 1M ; 5 5 2 1; 5 1 1M 4 44 4 44 = +++= 0,25 Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa . 8 1 x3cosxcosx3sin.xsin 33 =+ 1 cos2x cos2x cos4x 1 cos2x cos2x cos 4x 1 2 2 2 2 8 + + ì + ì = 1,00 x y -1 2 O 4 2 1 Câu Nội dung Điểm 2 1 x2cos 8 1 x2cos 2 1 )x4cosx2cosx2(cos2 3 ===+ 0,5 + = + = k 6 x (loại). ra: 2 2 2 3 3 3 0 0 0 3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin (sin cos ) (cos sin ) (cos sin ) x x t t x x I dx dt dx x x t t x x = = = + + + (Do tớch phõn khụng ph thuc vo kớ hiu cu bin s). Suy. 2 3 3 2 0 0 0 3sin 2cos 3cos 2sin 1 2 (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) x x x x I I I dx dx dx x x x x x x = + = + = + + + = = 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 tan 1 2 4 2 4 2cos cos 4 4 dx d x x x