Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 15 ppsx

CHƯƠNG 7 264 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c k e k e k r k e k e k e k e k e k  = + +  = + + + + + + + +  2 1 4 2 3 2 5 1 3 Đặt biến trạng thái: ( ) ( ) x k e k = 1 ( ) ( ) x k x k = + 2 1 1 ( ) ( ) x k x k = + 3 2 1 ( ) ( ) x k x k = + 4 3 1 Ta được hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d k k r k c k k  + = +  =  x A x B C x trong đó: x (k) = ( ) ( ) ( ) ( ) x k x k x k x k               1 2 3 4 A d = a a a a             =         − − − − − − − −         4 3 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5 1 2 B d =               0 0 0 1 C d = [ ] [ ] o b b = 1 0 0 1 2 0 0 7.4.3 Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 265 Trình tự thành lập phương trình trạng thái Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R t t e t c t t  = +  =  & x Ax B Cx Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục: ( ) ( ) [ ] t s = Φ L LL L –1 Φ ΦΦ Φ với: ( ) ( ) s s − = − 1 I A Φ ΦΦ Φ Bước 3: Rời rạc hóa phương trình biến trạng thái ở bước 1, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = +     =   d d R d T kT B e kT c kT kT x k = 1 A x C x trong đó: ( ) ( ) 0 d T d d T Bd  =   = τ τ    =  ∫ A B C C Φ ΦΦ Φ Φ ΦΦ Φ Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào r(kT) là: ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d d d k T kT r kT c kT kT  + = − +   =   x A B C x B C x Chứng minh: Bước 1 và bước 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tục không có gì phải chứng minh. Ta chứng minh từ bước 3, ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục. Bước 3: Ở chương 2, ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ liên tục cho bởi công thức: CHƯƠNG 7 266 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R x t t x e d = + τ τ τ ∫ 0 0 B Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o t o o o R t t t t t t e d = − + τ − τ τ ∫ x x B Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Áp dụng công thức trên với: ( ) o t kT t k T =   = +  1 Ta được: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k T R kT k T T kT kT e d + + = + τ − τ τ ∫ 1 1 Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φx x B Ta lại có: ( ) ( ) R e e kT τ = , ∀τ : kT ≤ τ < (k + 1)T (do e R ( τ ) là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH) Thay vào công thức trên, ta được: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k T kT k T T kT kT e kT d + + = + τ − τ ∫ 1 1 x x BΦ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Do e(kT) không phụ thuộc vào biến lấy tích phân τ nên: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k T kT k T T kT kT d d e kT +     + = + τ − τ τ     ∫ 1 1 x x BΦ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Đổi biến phép tính lấy tích phân, ta được: ( ) [ ] ( ) { ( ) ( ) ( ) 0 1     + = + τ τ     ∫ d d T R k T T kT d e kT 1442443 A B x x B Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ (7.31) Rời rạc hóa phương trình ngõ ra của hệ liên tục, ta được: ( ) ( ) d c kT kT = C x Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống, ta thấy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d e kT r kT c kT r kT kT = − = − C x Thay vào (7.31) ta được kết quả cần chứng minh. Ví dụ 7.14. Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ. Hãy thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác đònh trên hình vẽ. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 267 Giải Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ liên tục: Theo hình vẽ ta có:  ( ) ( ) X s X s s = 2 1 ⇒ ( ) ( ) sX s X s = 1 2 ⇒ ( ) ( ) x t x t = 1 2 & (7.32)  ( ) ( ) R E s X s s a = + 2 ⇒ ( ) ( ) ( ) R s a X s E s + = 2 ⇒ ( ) ( ) ( ) R x t ax t e t + = 2 2 & ⇒ ( ) ( ) ( ) R x t ax t e t = − + 2 2 & (7.33) Kết hợp (7.32) và (7.33) ta được hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R x t x t x t ax t e t  =  = − +  1 2 2 2 & & ⇔ ( ) ( ) x t x t       1 2 & & = ( ) ( ) x t a x t         −     1 2 0 1 0 + ( ) R e t       0 1 ⇔ ( ) ( ) ( ) R t t e t = + & x Ax B (7.34) Đáp ứng của hệ thống: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 x t c t Kx t K t x t   = = =     Cx Do đó: A = a     −   0 1 0 B =       0 1 C = [ ] K 0 Bước 2: Tính ma trận quá độ:  ( ) ( ) s s s s a s a − − −     −       = − = − =           − +           1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 Φ ΦΦ Φ I A CHƯƠNG 7 268 = ( ) ( ) s a s s s a s s a s s a     +   + =     +       +   1 1 1 1 0 1 0  ( ) ( ) [ ] ( ) s s s a t s s a           +   = =           +     1 1 1 0 L L L LL L L L –1 –1 Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ = { } ( ) { } s s s a s a         +         +   1 1 1 0 –1 –1 –1 L L L LL L L L L LL L ⇒ ( ) ( ) at at e a t e − −   −   =       1 1 1 0 Φ ΦΦ Φ Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d R d k T kT e kT c kT kT  + = +   =   x A B C x trong đó:  A d = Φ (T) = ( ) ( ) at aT at aT t T e e a a e e − − − − =     − −     =             1 1 1 1 1 1 0 0 B d = ( ) ( ) aT T T aT e a d d e − −     −       Φ τ τ = τ                 ∫ ∫ 0 0 1 1 1 0 1 0 B = ( ) aT T aT e a d e − −     −     τ             ∫ 0 1 1 = T aT aT aT aT T e e a a a a a e e a a a − − − −         τ + −     +               =         − − +         2 2 2 0 1 1  C d = C = [ ] K 0 Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT) là: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 269 ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d d d k T kT r kT c kT kT  + = − +   =   x A B C x B C x trong đó:  [ ] ( ) [ ] 2 2 1 1 1 1 0 1 0 aT aT d d d aT aT T e e a a a a K e e a a − − − −       + −     −       − = −           − +     A B C = ( ) aT aT aT aT T e K e a a a a e e K a a − − − −     + −       −       −             − +         2 2 1 1 0 1 1 1 0 0 ⇒ [ ] ( ) 2 2 1 1 1 1 1 aT aT d d d aT aT T e K e a a a a e K e a a − − − −     − + − −         − =       −         A B C Ví dụ bằng số cụ thể: a = 2, T = 0,5sec, K = 10 Bước 1: A =       0 1 0 2 B =       0 1 C = [ ] 10 0 Bước 2: ( ) ( ) ( ) at t t at e e a t e e − − − −     − −     = =             2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 0 Φ ΦΦ Φ Bước 3: A d = ( ) ( ) aT aT e e a e e , , , , − − × − × −     − −       = =                2 0 5 2 0 5 1 1 1 1 1 1 1 0 316 2 0 0 368 0 0 B d = aT aT T e e a a a e e a a , , , , , − − × − − ×         + − + −                   = =             − + − +         2 0 5 2 2 2 2 2 0 5 1 0 5 1 0 092 2 2 2 0 316 1 1 2 2 C d = C = [ ] 10 0 CHƯƠNG 7 270 Bước 4: [ ] [ ] 1 0 316 0 092 10 0 0 0 368 0 316 , , , , d d d     − = −         A B C = , , , , , , , ,       − =       −       1 0 316 0 920 0 0 080 0 316 0 0 368 3 160 0 3 160 0 368 Kết luận: hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x k x k r k x k x k , , , , , ,     +     = +         − +         1 1 2 2 0 080 0 316 0 092 1 3 160 0 368 0 316 1 ( ) [ ] ( ) ( ) x k c k x k   =     1 2 10 0 g 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d k k r k c k k  + = +  =  x A x B C x Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền: ( ) ( ) ( ) C z G z R z = Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d z z z R z C z z  = +  =  X A X B C X ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d z z R z C z z  − =  =  I A X B C X ⇒ ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 1 d d d z z R z C z z −   = −  =   X I A B C X ⇒ ( ) [ ] ( ) 1 d d d C z z R z − = − C I A B Lập tỉ số, ta được: ( ) ( ) ( ) [ ] 1 d d d C z G z z R z − = = − C I A B (7.35) MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 271 Ví dụ 7.15. Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d k T kT kT c kT kT  + = +   =   x A x B C x trong đó: A d = , ,     − −   0 1 0 7 0 1 ; B d =       0 2 ; [ ] 1 0 d = = C C Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên. Giải. Áp dụng công thức (7.35), hàm truyền của hệ thống là: ( ) ( ) ( ) [ ] 1 d d d C z G z z R z − = = − C I A B Ta có:  [ ] d z z z z z , , , , − − −   −       − = − =         − − +         1 1 1 0 0 1 1 0 0 7 0 1 0 7 0 1 I A = ( ) z z z z , ,, , +     −+ +   0 1 1 1 0 70 1 0 7  [ ] ( ) ( ) 1 0 1 1 0 2 1 1 0 7 2 2 0 1 0 7 0 1 0 7 , ,, , , , d z z z z z z z z − +       − = =       −+ + + +       d I A B  [ ] ( ) [ ] ( ) 1 2 1 2 1 0 2 0 1 0 7 0 1 0 7 , , , , d d d z zz z z z −   − = =   + + + +   C I A B Vậy: ( ) G z z z , , = + + 2 2 0 1 0 7 CHƯƠNG 7 272 Phụ lục: MÔ TẢ HỆ RỜI RẠC DÙNG MATLAB Các lệnh mô tả toán học hệ rời rạc tương tự như các lệnh mô tả toán học hệ liên tục, chỉ khác là khi tạo ra hệ thống ta không chỉ nhập vào thông số hệ thống (tử số, mẫu số hàm truyền hoặc các ma trận trạng thái) mà còn phải nhập vào chu kỳ lấy mẫu. Hãy so sánh với phụ lục ở chương 2. • Tạo ra hệ thống mô tả bởi hàm truyền: lệnh tf (transfer function). Cú pháp: G = tf(TS,MS,T) tạo ra hệ thống rời rạc mô tả bởi hàm truyền G có tử số là đa thức TS, mẫu số là đa thức MS và chu kỳ lấy mẫu là T . Nếu không xác đònh T thì đặt T = -1. Ví dụ: >> TS=1; MS= [2 1]; G1 = tf (TS, MS, 0.2) G1=1/(2z+1, T = 0.2 sec Transfer function: 1 - - - - 2z + 1 Sampling time: 0.2 >> TS=1; MS= [2 1]; >> G1=tf (TS, MS, –1)%G1=1/(2z+1), T không xác đònh Transfer function: 1 - - - - 2z + 1 Sampling time: unspecified >> G2=tf ([4 1], conv ([2 1], [3 1]), –1)%G2= (4z + 1)/(2z+1) (3z+1) Transfer function: 4 z + 1 - - - - - - - 6 z^2 + 5 z + 1 Sampling time: unspecified • Đơn giản hàm truyền: lệnh minreal . Cú pháp: G=minreal(G) triệt tiêu các thành phần giống nhau ở tử số và mẫu số để được dạng hàm truyền tối giản. Ví dụ: >> TS=[2 1]; MS=conv([2 1],[3 1]);G=tf(TS,MS,-1) Transfer function: 2 z + 1 - - - - - - - 6 z^2 + 5 z + 1 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 273 Sampling time: unspecified >> G=minreal (G) Transfer function: 0.3333 –––––––––– z + 0.3333 Sampling time: unspecified • Các lệnh ghép nối hệ rời rạc hoàn toàn giống như các lệnh ghép nối hệ liên tục, cụ thể: - Tính hàm truyền của hệ thống nối tiếp: lệnh series hoặc toán tử “*” Cú pháp: G=series(G1, G2) tính hàm truyền G = G1*G2 - Tính hàm truyền của hệ thống song song: lệnh parallel hoặc toán tử “+” Cú pháp: G=parallel(G1,G2) tính hàm truyền G = G1+G2 - Tính hàm truyền của hệ thống hồi tiếp: lệnh feedback Cú pháp: Gk=feedback(G1,G2,) tính hàm truyền hệ hồi tiếp âm Gk = G1/(1+G1*G2) Gk=feedback(G1,G2,+1) tính hàm truyền hệ hồi tiếp dương Gk = G1/(1–G1*G2) Ví dụ: >> G1=tf(1, [2 11,–1); % G1=1/ (2z+1) >> G2=tf([4 1],conv([1 01],[3 11]),–1); % G2=(4z+1)/z(3z+1) Transfer function: 4 z + 1 ––––––––––––––– 6 z^3 + 5 z^2 + z Sampling time: unspecified >> G=G1+G2 % ghép song song Transfer function: 11 z^2 + 7 z + 1 –––––––––––––– 6 z^3 + 5 z^2 + z Sampling time: unspecified >> Gk=feedback(G2, G1) % he hoi tiep am Gk=G2/(1+G2*G1) Transfer function: 8 z^2 + 6 z + 1 ––––––––––––––––––––––––– 6 z^3 + 5 z^2 + 5 z + 1 [...]... về dạng phương trình trạng thái ta được các ma trận trạng thái hoàn toàn khác với các ma trận trạng thái đã nhập vào ban đầu, điều này không có gì vô lý vì đối với một hệ thống tùy theo cách đặt biến trạng thái khác nhau ta sẽ có các phương trình trạng thái khác nhau 276 CHƯƠNG 7 Chương 8 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC A PHÂN TÍCH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 8.1 ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH... Discrete-time model • Các lệnh biến đổi giữa hàm truyền và phương trình trạng thái của hệ rời rạc hoàn toàn giống hệ liên tục - Biến đổi phương trình trạng thái về dạng hàm truyền: lệnh tf Cú pháp: G=tf(PTTT) - Biến đổi hàm truyền về dạng phương trình trạng thái: lệnh ss Cú pháp: PTTT=tf(G) 275 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC Ví dụ: (xem thí dụ 7 .15) >> A=[0 1; –0.7 –0.1]; B=[0;2]; C=[1 0]; D=0; >> PTTT=ss(A,B,C,D,–1);... Bounded Input Bounded Output) Ta đã biết hệ thống điều khiển liên tục ổn đònh nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức Do quan hệ giữa biến z và biến s là z = eTs nên s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm bên trong vòng tròn đơn vò Do đó hệ thống điều khiển rời rạc ổn đònh nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trong vòng tròn đơn... THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 277 Cần nhớ - Hệ thống rời rạc cho bởi sơ đồ khối Phương trình đặc tính là: 1 + GH ( z) = 0 (8.2) - Hệ thống rời rạc cho hệ phương trình biến trạng thái  x( k + 1) = Ad x( k) + Bd r( k)   c( k) = Cd x( k) Phương trình đặc tính là det ( zI − Ad ) = 0 (8.3) 8.2 TIÊU CHUẨN ROUTH - HURWITZ MỞ RỘNG - Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz cho phép đánh giá phương trình đại số ao... các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞ Xét hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính là 1+ K Đặt N ( z) =0 D( z) Go ( z) = K (8.6) N ( z) D( z) Gọi n là số cực của Go(z), m là số zero của G0(z) (8.6) ⇔ ⇔ 1 + Go ( z) = 0  Go ( z) = 1   ∠Go ( z) = ( 2l + 1)π  Điều kiện biên độ Điều kiện pha (8.7) Chú ý: Nếu phương trình đặc tính của hệ... HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 279 Hoặc Ma trận Hurwitz  a1 a3 a a 2  o  0 a1  ∆1 = 11 > 0 0  11 5 0  0  = 11 13 0   a3   0 11 5     ∆ 2 = 11 × 13 − 5 × 11 > 0 ∆ 3 = 5∆ 2 > 0 Do các đònh thức con đều dương nên hệ ổn đònh g 8.3 TIÊU CHUẨN JURY Xét ổn đònh hệ rời rạc có phương trình đặc tính: ao zn + a1 zn−1 + L + an−1 z + an = 0 Bảng Jury 1- Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc... tính của hệ không có dạng (8.6) thì ta phải biến đổi tương đương về dạng (8.6) trước khi áp dụng các qui tắc vẽ QĐNS Vì dạng phương trình đặc tính của hệ liên tục đã học ở chương 4 và phương trình đặc tính (8.6) là như nhau (chỉ thay 281 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC biến s bằng biến z) nên qui tắc vẽ QĐNS là như nhau, chỉ khác ở qui tắc 8, thay vì đối với hệ liên tục ta tìm giao điểm... Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc tính theo thứ tự chỉ số tăng dần 2- Hàng chẵn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược lại 3- Hàng lẻ thứ i = 2k + 1 ( k ≥ 1 ) gồm có ( n − k ) phần tử, phần tử cij xác đònh bởi công thức cij = ci−2,1 ci−2,n− j − k+ 3 ci−2,1 ci−1,1 ci−1,n− j − k+3 1 (8.5) Phát biểu tiêu chuẩn Jury Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả các... phương trình đại số ao xn + a1 xn−1 + L + an−1 x + an = 0 có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không - Ta đã sử dụng kết quả này để đánh giá nghiệm của phương trình đặc tính của hệ liên tục ao sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an = 0 Nếu phương trình trên có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức thì hệ liên tục không ổn đònh - Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh–Hurwitz để đánh giá tính ổn đònh của... Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz đối với phương trình đặc tính theo biến w: nếu không tồn tại nghiệm w nằm bên phải mặt 278 CHƯƠNG 7 phẳng phức thì không tồn tại nghiệm z nằm ngoài vòng tròn đơn vò ⇒ hệ rời rạc ổn đònh Miền ổn đònh của hệ thống rời rạc theo biến z Miền ổn đònh của hệ thống rời rạc theo biến w Ví dụ 8.1 Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính 5 z3 + 2 z2 + 3 z + 1 = 0 Xét tính . các phương trình trạng thái khác nhau. CHƯƠNG 7 276 Chương 8 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC A. PHÂN TÍCH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 8.1 ĐIỀU KIỆN. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 265 Trình tự thành lập phương trình trạng thái Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R t. phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác đònh trên hình vẽ. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 267 Giải Bước 1: Thành lập hệ phương trình