Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 8 pdf

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 135 Hình 4.5: Quỹ đạo nghiệm số Vẽ nghiệm phương trình (4.10) tương ứng với giá trị K lên mặt phẳng phức Nếu cho K thay đổi liên tục từ đến +∞, tập hợp tất nghiệm phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét hình vẽ Đường đậm nét hình vẽ gọi quỹ đạo nghiệm số Định nghóa Quỹ đạo nghiệm số tập hợp tất nghiệm phương trình đặc tính hệ thống có thông số hệ thay đổi từ → ∞ 4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số Hình 4.6 Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ khối hình 4.6 Phương trình đặc tính heä + G( s) H ( s) = (4.11) Muốn áp dụng qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính dạng 136 CHƯƠNG 1+ K N ( s) =0 D( s) (4.12) K thông số thay đổi Đặt Go ( s) = K N ( s) D( s) Gọi n số cực G0(s), m số zero Go(s) (4.12) ⇔ + Go ( s) = ⇔  Go ( s) =   ∠Go ( s) = ( 2l + 1)π  Điều kiện biên độ Điều kiện pha Sau 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12): Qui tắc 1: Số nhánh quỹ đạo nghiệm số = bậc phương trình đặc tính = số cực G0(s) = n Qui tắc 2: Khi K = 0: nhánh quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ cực Go(s) Khi K tiến đến +∞ : m nhánh quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero Go(s), n-m nhánh lại tiến đến ∞ theo tiệm cận xác định qui tắc Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực Qui tắc 4: Một điểm trục thực thuộc quỹ đạo nghiệm số tổng số cực zero Go(s) bên phải số lẻ Qui tắc 5: Góc tạo đường tiệm cận quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định α= ( 2l + 1)π ( l = 0, ±1, ±2,K ) n−m (4.13) Qui tắc 6: Giao điểm tiệm cận với trục thực điểm A có tọa độ xác định n ∑ cực − ∑ zero = ∑ i=1 OA = n−m pi − m ∑ zi i=1 n−m (4.14) (pi vaø zi laø cực zero Go(s)) Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) quỹ đạo nghiệm số 137 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG nằm trục thực nghiệm phương trình: dK =0 ds Qui tắc 8: Giao điểm quỹ đạo nghiệm số với trục ảo xác định hai cách sau - Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz - Thay s = jω vào phương trình đặc tính (4.12), cân phần thực phần ảo tìm giao điểm với trục ảo giá trị K Qui tắc 9: Góc xuất phát quỹ đạo nghiệm số cực phức pj xác định θ j = 180° + m ∑ arg( p j − zi ) − i =1 n ∑ arg( p j − pi ) (4.15) i=1 i≠ j Daïng hình học công thức θj = 180o + (∑góc từ zero đến cực pj ) – (∑góc từ cực lại đến cực pj) Qui tắc 10: Tổng nghiệm số K thay đổi từ → +∞ Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số xác định từ điều kiện biên độ K N ( s) =1 D( s) (4.16) Ví dụ 4.7 Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối sau G( s) = K s( s + 2)( s + 3) Hình 4.7 Hãy vẽ QĐNS hệ thống K = → +∞ Giải Phương trình đặc tính hệ thống + G( s) = Các cực: ba cực ⇔ 1+ K =0 s( s + 2)( s + 3) (1) 138 CHƯƠNG p1 = , p2 = −2 , p3 = −3 Caùc zero: ⇒ QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ cực K = Khi K → +∞, ba nhánh QĐNS tiến đến vô theo tiệm cận xác định bởi: - Góc tiệm cận trục thực π  (l = ) α1 =  π ( 2l + 1)π ( 2l + 1)π  α= = ⇒ α = − (l = – ) n−m 3−0  α = π (l = )   - Giao điểm tiệm cận trục thực OA = ∑ cực − ∑ zero = [ + ( −2) + ( −3)] − = − dK =0 - Điểm tách nhập nghiệm phương trình ds Ta có (1) ⇔ ⇒ Do 3−0 n−m K = − s( s + 2)( s + 3) = −( s3 + 5s2 + 6s) dK = −( 3s2 + 10s + 6) ds  s = −2, 549 (loaïi) dK = ⇔ −( 3s2 + 10s + 6) = ⇔  ds  s2 = −0, 785 - Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định hai cách sau đây: Cách Áp dụng tiêu chuẩn Routh (1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = Baûng Routh s3 s2 α3 = K s1 6− ×K = 139 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG K s0 Điều kiện để hệ thống ổn định  6 − K >  K >  ⇔ < K < 30 Vậy hệ số khuếch đại giới hạn Kgh = 30 Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta giao điểm QĐNS với trục ảo s3 + 5s2 + 6s + 30 =  s1 = −5   s2 = j   s3 = − j ⇔ Cách Giao điểm (nếu có) QĐNS trục ảo phải có dạng s = jω Thay s = jω vào phương trình (1) ta ( j ω )3 + ( j ω )2 + ( jω ) + K = ⇔ − jω3 − 5ω2 + jω + K = ⇔   − jω + jω =   −5ω + K =  ⇔ ω =  K = ω = ±    K = 30  Hình 4.8 Hình 4.8 Ví dụ 4.8 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là: G( s) = K s( s + 8s + 20) Hãy vẽ QĐNS hệ thống K = 0→ +∞ Giải Phương trình đặc trưng hệ thống + G( s) = 140 CHƯƠNG 1+ ⇔ K s( s + 8s + 20) Các cực p1 = , Các zero (1) =0 p2,3 = −4 ± j ⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát cực K = Khi K → +∞, ba nhánh tiến đến vô theo tiệm cận xác định - Góc tiệm cận trục thực α= ( 2l + 1)π ( 2l + 1)π = n−m 3−0 π  α1 =  π  ⇒ α = −  α = π   (l = 0) (l = – ) (l = 1) - Giao điểm tiệm cận trục thực OA = ∑ cực − ∑ zero = [ + ( −4 + j2) + ( −4 − j2)] − (0) = − 3−0 n−m - Điểm tách nhập nghiệm phương trình dK =0 ds Ta coù (1) ⇔ s3 + 8s2 + 20s + K = ⇔ ⇒ Do K = −( s3 + 8s2 + 20s) dK = −( 3s2 + 16s + 20) ds  s = −3, 33 dK = ⇔ 3s2 + 16s + 20 = ⇔  ds  s2 = −2, 00 Vậy QĐNS có hai điểm tách nhập - Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định cách thay s = jω vào phương trình đặc tính (1) ⇔ s3 + 8s2 + 20s + K = Thay s = jω ta KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 141 ( jω)3 + 8( jω)2 + 20( jω) + K = ⇔ − jω3 − 8ω2 + 20 jω + K =   −8ω + K = ⇔   −ω + 20ω =  ⇔ ω =  K = ω = ± 20    K = 160  Vậy giao điểm QĐNS trục ảo s = ± j 20 - Góc xuất phát QĐNS cực phức p2 laø θ2 = 180° − [a r g( p2 − p1 ) + a r g( p2 − p3 )] = 180° − {a r g[( −4 + j 2) − 0] + a r g[( −4 + j 2) − ( −4 − j 2)]}     = 180° −  tg −1   + 90 = 180° − {153, + 90}  −4    ⇒ θ2 = −63, 5° Hình 4.9 Ví dụ 4.9 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là: G( s) = K ( s + 1) s( s + 3)( s2 + 8s + 20) Hãy vẽ QĐNS hệ thống K = → +∞ 142 CHƯƠNG Giải Phương trình đặc trưng hệ thống + G( s) = 1+ ⇔ K ( s + 1) s( s + 3)( s2 + 8s + 20) (1) =0 Các cực p1 = , p2 = −3 , p3,4 = −4 ± j Caùc zero z1 = −1 ⇒ QĐNS gồm bốn nhánh xuất phát cực K = Khi K → +∞, nhánh tiến đến zero, ba nhánh lại tiến đến vô theo tiệm cận xác định bởi: - Góc tiệm cận trục thực α= ( 2l + 1)π ( 2l + 1)π = n−m −1 π  α1 =  π  ⇒ α = −  α = π   (l = 0) (l = – ) (l = 1) - Giao điểm tiệm cận trục thực OA = ∑ cực − ∑ zero = [ + ( −3) + ( −4 + j2) + ( −4 − j2)] − ( −1) = − 10 3−0 n−m - Điểm tách nhập nghiệm phương trình Ta có (1) ⇔ ⇔ ⇒ Do s( s + 3)( s2 + 8s + 20) + K ( s + 1) = K =− s( s + 3)( s2 + 8s + 20) ( s + 1) dK 3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60 =− ds ( s + 1)2 dK = ⇔ 3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60 = ds  s1,2 = −3, 67 ± j1, 05 ⇔  (loaïi)  s3,4 = −0, 66 ± j 97 Vậy QĐNS điểm tách nhập dK =0 ds 143 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG - Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định cách thay s = jω vào phương trình đặc tính ⇔ s( s + 3)( s2 + 8s + 20) + K ( s + 1) = ⇔ (1) s4 + 11s3 + 44 s2 + ( 60 + K )s + K = Thay s = jω ta ω4 − 11 jω3 − 44ω2 + ( 60 + K ) jω + K = ω4 − 44ω2 + K =  ⇔   −11ω + ( 60 + K )ω =  ω =  K = ⇔ ω = ±5, 893   K = 322 ω = ± j1, 314 (loại)   K = −61, Vậy giao điểm cần tìm là: s = ± j 5, 893 hạn Hệ số khuếch đại giới K gh = 322 - Góc xuất phát QĐNS cực phức p3 θ3 = 180 + β1 − (β2 + β3 + β4 ) Hình 4.10 = 180 + 146, − (153, + 116, + 90) θ3 = −33, g Ví dụ 4.10 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là: G( s) = 400 s( s + 6)( s + a ) Hãy vẽ QĐNS hệ thống a = 0→ +∞ Giải Phương trình đặc trưng hệ thống + G( s) = 144 CHƯƠNG 400 =0 s( s + 6)( s + a ) ⇔ 1+ ⇔ s( s + 6)( s + a ) + 400 = ⇔ s2 ( s + 6) + 400 + as( s + 6) = ⇔ 1+ as( s + 6) s + 6s2 + 400 (1) =0 Các cực p1 = −10 , p2,3 = ± j Caùc zero z1 = , z2 = −6 ⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát cực K = Khi K → +∞, hai nhánh tiến đến hai zero, nhánh lại tiến đến vô theo tiệm cận xác định - Góc tiệm cận trục thực α= ( 2l + 1)π ( 2l + 1)π = n−m 3−2 ⇒ α = π , (l = 0) - Giao điểm tiệm cận trục thực OA = ∑ cực − ∑ zero = [ −10 + ( −2 + j6) + ( −2 − j 6)] − [0 + ( −6)] = −8 3−2 n−m - Điểm tách nhập nghiệm phương trình ⇒ Do ⇔ s3 + 6s2 + 400 + as( s + 6) = ⇔ Ta coù (1) a=− da =0 ds s3 + 6s2 + 400 s2 + 6s da s3 + 6s2 + 400 s4 + 12s3 + 36s2 − 800s − 2400 =− = ds s2 + 6s ( s2 + 6s)2 da =0 ⇔ ds ⇔ s4 + 12s3 + 36s2 − 800s − 2400 =  s1 = +6,   s2 = −2,  s = −8 ± j7, 48  3,4 (loại) (loại) Vậy QĐNS có điểm tách nhập – 2,9 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 145 - Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định cách thay s = jω vào phương trình đặc tính ⇔ s3 + 6s2 + 400 + as( s + 6) = ⇔ (1) s3 + (6 + a) s2 + 6as + 400 = Thay s = jω ta − jω3 − ( + a )ω2 + 6ajω + 400 = ⇔  −( + a )ω2 + 400 =    −ω + 6aω =  ω =  a = ∞ ⇔ ω = ±5, 85   a = 5, ω = ± j 8, 38   a = −11, (loại) Vậy giao điểm cần tìm s = ± j 5, 85 , tương ứng với giá trị giới hạn hệ số a a gh = 5, - Góc xuất phát QĐNS cực phức p2 θ2 = 180 + (β1 + β2 ) − (β3 + β4 ) = 180 + (71, + 36, ) − ( 26, + 90) θ2 = 171, 7° Hình 4.11 146 CHƯƠNG 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.1 Nguyên lý góc quay Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng: A(s) = ao sn + a1 sn−1 + + an = (4.17) Đa thức A(s) viết dạng: A(s) = ao(s - p1)( s - p2) ( s - pn) với p1, p2, pn cực hệ thống, nghiệm phương trình đặc tính Thay s = jω vào (4.17) ta có: A(jω) = ao(jω - p1)( jω - p2) ( jω - pn) Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), (n - m) nghiệm trái (có phần thực âm) Hình 4.12 Góc quay vectơ đa thức đặc tính tần soá A(jω) arg A(jω) = n ∑ a r g( jω − pi ) i=1 Khi tần số ω thay đổi từ – ∞ đến + ∞ thay đổi góc quay vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) là: ∆arg A(jω) = n ∑ a r g( jω − pi ) i=1 - ∞