Bài giảng điều khiển quá trình 4 pdf

Trong trường hợp ma trận A không suy biến, hàm quá độ được tính toán như sau: ht cTA-1eAtb cTA 1b d 2.23 Đồ thị đáp ứng bậc thang đơn vị của một số khâu động học tiêu biểu được minh

http://www.ebook.edu.vn 31

Các phương trình (2.15) chính là các phương trình mô hình trạng thái tuyến tính trong lý thuyết

điều khiển tự động hiện đại Ma trận A được gọi là ma trận hệ thống, B được gọi là ma trận vào (hoặc là

ma trận điều khiển) , C là ma trận ra (hoặc ma trận quan sát) , D là ma trận liên thông Trên hình 2 6 là sơ

đồ khối biểu diễn mô hình hệ thống trong không gian trạng thái

Đối với mô hình trạng thái đơn biến, ma trận vào trở thành vector (cột) , ma trận ra trở thành vector hàng và ma trận liên thông là một vô hướng Trong trường hợp này người ta cũng hay sử dụng cách viết:

x  Ax  Bu, A Rnn,b Rn

y  cTx du, c Rn,dR (2.16)

2.4.3 Mô hình đáp ứng quá độ

Mô hình đáp ứng quá độ bao gồm mô hình đáp ứng xung và đáp ứng bậc thang Mặc dù trong thực

tế người ta thường dùng đáp ứng quá độ gián đoạn, ta cần sơ lược lại về các dạng mô tả liên tục

1 Đáp ứng xung

Xét một mô hình đơn biến có mô hình trạng thái (2.16) với trạng thái đầu x(0) = 0 Nếu kích thích

đầu vào một xung đơn vị (t) (hay xung Dirac) định nghĩa là

lim ( ) 1

0

 t dt



ta sẽ có đáp ứng y(t) tính theo (2.19)

(t) e δ(τ)dτ d (t) e d (t) g(t)

t

0

Δ t

T τ)

(t T

b c b

c

hàm g(t) định nghĩa trong (2.17) được gọi là đáp ứng xung hay hàm trọng lượng của hệ thống Đồ thị hàm trọng lượng minh hoạ trên hình (2.7)

a) Khâu quán tính bậc nhất ( ) b) Khâu dao động ổn định ( )

và khâu quán tính bậc hai ( -) và không ổn định ( -)

Hình2 7 Đáp ứng xung của một số khâu động học tiêu biểu

Đáp ứng xung mô tả đầy đủ đặc tính của một khâu động học tuyến tính Với trạng thái đầu bằng 0, đáp ứng của hệ thống với đầu vào u(t) bất kỳ có thể xác định theo công thức sau:

     

0 0

τ)u(τ)dτ g(t

τ)u(τ)dτ g(t

u(t) g(t)

trong đó dấu * ký hiệu toán tử tích chập nếu tín hiệu đầu vào có tính nhân quả, tức là u(t) = 0 khi t  0, tích chập (2.18) còn được đơn giản hoá như sau:

y(t)g(t)u(t)g(t)u()d  (2.19)

Mặc dù xung Dirac không tồn tại trong thực tế, song hàm trọng lượng có thể xác định được được một cách xấp xỉ từ thực nghiệm bằng cách sử dụng tín hiệu vào là một xung vuông rất hẹp có diện bằng 1

Phương pháp mô tả hệ thống với đáp ứng xung hoàn toàn có thể mở rộng cho hệ tuyến tính đa biến Giả sử trạng thái ban đầu của hệ thống bằng 0, nếu cho lần lượt mỗi biến vào uJ(t) là một xung (t) tác động lên hệ thống và tính toán đáp ứng gij(t) tương ứng với từng đầu ra yi(t) theo công thức (2.18) , ta

có thể thành lập ma trận đáp ứng xung hay ma trận trọng lượng:

 

0

0 t δ(t) e

(t) g

















D B C

0

G A (2.20)

Mỗi phần tử gij(t) của G(t) chính là hàm trọng lượng tương ứng với một kênh vào/ra Với trạng thái ban đầu x(0) = 0, đáp ứng của hệ thống với véc tơ tín hiệu đầu vào u(t) bất kỳ có thể tính toán dựa trên công thức tương tự (2.18) , với g(t) được thay thế bằng ma trận G(t) :

(t) (t) (t) ( ) (t-τ)dτ

0











y (2.21)

2 Đáp ứng bậc thang

Tương tự như xét đáp ứng xung, nếu kích thích một hệ tuyến tính đơn biến của mô hình trạng

thái (2.16) ở trạng thái x(0) = 0 bằng một tín hiệu bậc thang đơn vị (còn gọi là bước nhảy đơn vị) :













0 t 1,

0 t 0, 1(t)

ta sẽ có đáp ứng y(t) được xác định theo (2.19)

y(t) e dτ d1(t) e dτ d1(t) h(t)

t τ T t

τ) (t T



















0 A

0

A

b c b

hàm h(t) định nghĩa trong (2.22) được gọi là đáp ứng bậc thang đơn vị hay hàm quá độ của hệ thống Trong trường hợp ma trận A không suy biến, hàm quá độ được tính toán như sau:

h(t) cTA-1eAtb cTA 1b d (2.23)

Đồ thị đáp ứng bậc thang đơn vị của một số khâu động học tiêu biểu được minh hoạ trên hình 2 8

http://www.ebook.edu.vn 33

a) Khâu quán tính bậc nhất ( ) b) Khâu dao động ổn định ( )

và khâu quán tính bậc hai ( -) và không ổn định ( -)

Hình2 8: Đáp ứng bậc thang của một số khâu động học tiêu biểu

Để ý rằng hàm trọng lượng chính là đạo hàm của hàm quá độ Đáp ứng của hệ thống từ trạng thái

0 với đầu vào u(t) bất kỳ có thể xác định theo công thức:











 0

d ) t ( u ) t ( h dt

d ) t (

y (2.24)

Ma trận đáp ứng bậc thang hay ma trận hàm quá độ của hệ đa biến được xác định theo công thức:

 

0 t

0 t , dτ e (t)

h

0

τ ij



















C

0

Với định nghĩa ma trận quá độ, ta cũng có thể mở rộng (2.24) cho trường hợp đa biến với vector

tín hiệu vào u(t) , vector tín hiệu ra y(t) và h(t) được thay thế bởi ma trận H(t) :

(t) (t τ)dτ

dt

d (t)

0







y (2.25)

2.4.4 Mô hình hàm truyền đạt

Phép biến đổi Laplace tránh được các phương trình vi phân và thay vào đó là biểu diễn hệ tuyến tính bằng các phương trình đại số biến số phức Nhờ đó, mà ta có thể sử dụng công cụ toán học đa dạng hơn về phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển Hơn nữa, mô tả trên miền Laplace liên quan rất chặt chẽ tới mô tả và phân tích hệ thống trên miền tần số, vì vậy tính chất mô hình phản ảnh một cách rất trực tiếp

và tự nhiên các đặc tính vật lý của quá trình

1 Hàm truyền đạt

Hàm truyền đạt là một hàm biến phức biểu diễn quan hệ vào ra của một hệ tuyến tính (đơn biến) , được định nghĩa là tỷ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào và G(s) = y(s) /u(s) với toàn bộ sơ kiện bằng 0, trong đó s là một biến phức Từ phương trình (2.4) , nếu vế phải là một hàm tuyến tính với u có thể viết:

( ) 1 (1 ) 1 () a0y(t)

dt

t dy a dt

t y d a dt

t y d

a n n  n n  

1





















dt

t du b dt

t u d b dt

t u d

m m m

m

với  là thời gian trễ (  0) Giả thiết toàn bộ sơ kiện bằng 0, thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế:

1 0

1 1

a

s

m m m n

n n

n









ta đi đến hàm truyền tổng quát của hệ đơn biến:

n n n

m m m

a s a s

a s a

b s b s

b s b s u

s y s



























0 1 1

1

0 1 1

1 )

(

) ( ) (





(2.25)

Chú ý rằng hàm truyền của một quá trình luôn là một hợp thức chặt, tức là bậc của đa thức tử số luôn luôn thấp hơn bậc của mẫu (m  n) Khi đa thức tử số và đa thức mẫu số nguyên tố cùng nhau, nghiệm của đa thức tử số sẽ là các điểm không và nghiệm của đa thức mẫu số chính là các điểm cực của

hệ thống Các điểm không và điểm cực nói lên rất nhiều về đặc tính động học của một hệ thống Đa thức mẫu số còn được gọi là đa thức đặc tính, tương đương với vế trái của (2.20) cho trường hợp hệ đa biến

Từ định nghĩa trên đây, ta dễ dàng xác định hàm truyền đạt cho một số khâu tiêu biểu Hàm truyền đạt của một khâu quán tính bậc nhất có trễ có dạng:

FOPDT e s

s

k s







 1 )

( (2.26)

và hàm truyền đạt của khâu bậc 2 có trễ có dạng:

s

s s

k s













1 2 )

( 2 (2.27)

Trường hợp đa thức mẫu số của (2.27) chỉ có nghiệm thực âm, ta có khâu quán tính bậc hai có trễ

SOPDT e s

s s

k s













) 1 )(

1 ( ) (

2 1

(2.28)

Ta cũng có thể xác định hàm truyền đạt từ một mô hình trạng thái đơn biến thực hiện phép biến đổi Laplace cho các vế của hai phương trình (2.16) với giả thiết x(0) = 0, ta có:

sx(s) Ax(s) bu(s)

y(s) cTx(s)du(s)

Giải phương trình thứ nhất theo x(s) và thay vào phương trình thứ hai, ta có:

y(s)c T(sI A)1bu(s)du(s)

G(s)c T(sI A)1bd (2.29)

Ngược lại, mô hình hàm truyền đạt (2.25) ta cũng có thể đi tới một số cách biểu diễn trong không gian trạng thái Ví dụ chuẩn điều khiển được đưa ra dưới đay cho trường hợp m  n Không mất tính tổng quát, ta có thể cho an = 1

http://www.ebook.edu.vn 35

a a

a dt dx









































































0

0

) ( 1 0 0

0

0

1 0 0

0 0

1 0

1 1

0

























(2.30)

y(t)b0 b1  b m0  0x(t) (2.31)

2 Ma trận truyền đạt

Cho một hệ m biến vào và p biến ra, ma trận truyền đạt được định nghĩa là ma trận pm vói các phần tử là hàm truyền đạt cho từng kênh vào/ra:

) (

) ( )

(

) (

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) ( )

( ) (

1

1

1 1

1

1 11

s u

s y s

u

s y

s u

s y s

u

s y

s G s

G

s G s

G s G

m

p p

m

pm p

m























ma trận truyền đạt có thể được dẫn suất từ hệ phương trình vi phân bằng cách xác định từng hàm truyền đạt tương ứng với các kênh vào/ra Nếu cho trước mô hình trạng thái ta, ta có công thức tổng quát:

G(s)C(sI A)1BD (2.33)

Ví dụ 2-1: xác định ma trận hàm truyền đạt của hệ thống từ mô hình trạng thái của một hệ thống phản

ứng nối tiếp, với x1 và x2 là nồng độ hai bình, u1 và u2 là nồng độ và lưu lượng đầu vào:































































































2 1

2

1

2 1

2 1

2

1

x

x y

y

u

u 0.0025 0

0.0025 1

x

x 4 2

0 2 x

x

dt

d

Ta có:

















































2 s 2

0 4 s 4) 2)(s (s

1 4

s 2

0 2 s ) (s

1 1

A

I































































































2 s

0.0025 4)

2)(s (s 2

2 s

0.0025 2

s 1

0.0025 0

0.0025 1

4 s

1 4) 2)(s (s 2

0 2

s 1

1 0

0 1 (s)

G

Trong thực tế việc tính toán bằng tay chỉ nên thực hiện với các mô hình bậc thấp và đơn giản Với các hệ bậc cao hơn hoặc phức tạp hơn, việc chuyển đổi dạng mô hình nên sử dụng phần mềm thích hợp như Matlab

Ví dụ 2:

>> A=[-2 0;2 -4]

A =

-2 0

2 -4

>> B=[1 0 0025;0 0 0025]

B =

1 0000 0 0025

0 0 0025

>> C =eye(2)

C =

1 0

0 1

>> D = zeros(2, 2)

D =

0 0

0 0

>> [num1, den1]=ss2tf(A, B, C, D, 1)

num1 =

0 1 4

0 0 2

den1 =

1 6 8

>> [num2, den2]=ss2tf(A, B, C, D, 2)

num2 =

0 0 0025 0 0100

0 0 0025 0 0100

den2 =

1 6 8

Kết quả trên hoàn toàn tương ứng với tính toán bằng tay như ở ví dụ 1

2.4.5 Mô hình đáp ứng tần số

Phân tích và thiết kế hệ thống dựa trên đặc tính đáp ứng tần số là phương pháp không thể thiếu được của người kỹ sư điều khiển, tuy kinh điển nhưng lại có vai trò đặc biệt quan trọng trong trường phái

lý thuyết điều khiển “sau hiện đại” Một ưu điểm lớn của mô hình hàm truyền đạt là ta có thể dẫn suất trực tiếp để các đặc tính tần số của hệ bằng cách đặt biến phức s = j

Xét một hệ tuyến tính đơn biến có hàm truyền đạt G(s) Đặc tính đáp ứng tần số của G(s) được định nghĩa là

G(j )G(s)sj  (2.34)

http://www.ebook.edu.vn 37

Khác với hàm truyền đạt chỉ mang tính thuần tuý toán học, đặc tính tần số thể hiện rất rõ ý nghĩa

về mặt vật lý, đó là đáp ứng của một hệ thống với tín hiệu đầu vào hình sin ở các tần số khác nhau Để ý rằng, đặc tính tần số có thể phân tích thành

G(j ) A()e j () (2.35)

) ) ( (Re ) ) ( (Im )

( )

Re

) ( Im arctan )

( ) (











j G

j G j



 (2.36)

Nếu kích thích một hệ ổn định ở trạng thái 0, một tín hiệu dao động điều hoà u(t) = u0sint, ta dễ xác định được đáp ứng đầu ra y(t) ở chế độ xác lập nhờ phép biến đổi Laplace như sau:

( ) 0sin ( ) 0 2 2















s u s u t u t u

( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 ()





e s

u A s u s G s y







y(t) A()u0sin( t) (2.37)

Như vây, tín hiệu ra ở chế độ xác lập cũng là một tín hiệu dao động điều hoà có biên độ được khuyếch đại với hệ số A và độ lệch pha  so với tín hiệu vào Hệ số khuyếch đại và độ lệch pha đều phụ thuộc tần số Chính vì ý nghĩa này, A() được gọi là đặc tính biên và () được gọi là đặc tính pha của đáp ứng tần số G(j) Từ hai quan sát trên ta đưa ra hai nhận xét quan trọng:

- Thứ nhất: một tín hiệu đầu vào bất kỳ có thể phân tích thành tổng các tín hiệu dao động điều hoà có tần

số khác nhau, do thoả mãn nguyên lý xếp chồng nên tín hiệu đáp ứng của một hệ tuyến tính cũng chính

là tổng các đáp ứng thành phần với hệ số khuyếch đại và độ lệch pha khác nhau phụ thuộc vào tần số Như vậy, đặc tính tần số cũng có khả năng mô tả đầy đủ đặc tính động học của một hệ tuyến tính

- Thứ hai: đặc tính biên độ và đặc tính pha có thể xác định thông qua thực nghiệm, vì vậy cho phép ta dễ

xây dựng mô hình hệ thống thông qua phương pháp nhận dạng

2.5 Các mô hình gián đoạn

2 5 1 Các mô hình gián đoạn

Một mô hình liên tục mô tả quan hệ giữa các tín hiệu liên tục(biến vào/ra, biến trạng thái) của một

hệ thống Trong khi đó, mô hình gián đoạn phản ánh quan hệ giữa giá trị của các tín hiệu tại thời điểm trích mẫu Như đã nói, ở đây ta chỉ quan tâm tới hệ trích mẫu đồng bộ có chu kỳ trích mẫu cố định Quan hệ giữa dãy tín hiệu đầu vào và dãy tín hiệu đầu ra của một hệ tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng:

a n y(tn)a n1y(tn1)a1y(t1) y(t)=

b m u(tm)b m1u(tm1)b1u(t1)b0u(t) (2.38)

Vì có sự tương tự với phương trình vi phân trong hệ liên tục, (2.38) còn được gọi là phương trình sai phân tuyến tính Thật ra, sự tương tự xuất phát từ chỗ là phưng trình (2.38) có thể biểu diễn được với biến sai phân (hay còn gọi là số gia) :

y(t) y(t)y(t1)

2y(t)y(t)y(t1)



n y(t)n1y(t)n1y(t1) (2.39)

Nếu giả (2.39) để tính y(t-1) , y(t-2) , theo y(t) và biến sai phân:

y(t1)y(t)Δy(t)

y(t2) y(t)2y(t)2y(t)



và thay thế vào (2.38) , ta tới phương trình sai phân “thực”:

~a nn y(t)~a22y(t)a~1y(t)~a0y(t)=

b0u(t)b1u(t1)b m(tm) (2.40)

mô hình phương trình sai phân cũng có thể mở rộng một cách dễ dàng cho hệ đa biến bằng cách thay sử dụng các ma trận tham số:

Any(tn) An1y(tn1) A1y(t1) y(t)=

Bmu(tm) Bm1u(tm1) B1u(t1) B0u(t) (2.41)

2 5 2 Mô hình trạng thái

Tương tự như mô hình liên tục, mô hình trạng thái gián đoạn phi tuyến tổng quát có thể mô tả như sau:

xk1 f(xk,uk)

y k g(xk,uk) (2.42)

trong đó vector x bao gồm các biến trạng thái, vector u bao gồm toàn bộ các biến vào kể cả đại lương nhiễu và vector y bao gồm các biến ra Mô hình trạng thái gián đoạn tuyến tính có dạng:

x k  1   x k   u k

y k  Cx k  Du k (2.43)

Các ma trân , , C và D lần lượt được gọi là ma trận chuyển tiếp, ma trận đầu vào, ma trận đầu ra và ma

trận liên thông Các phần tử của chúng là hằng số đối với mô hình tham số hằng và là hàm theo thời gian đối với mô hình tham số biến thiên

Mô hình trạng thái gián đoạn tuyến tính cũng có thể được dẫn suất từ dạng liên tục tương ứng cho từng loại khâu giữ trễ Xét mô hình trạng thái mô hình tuyến tính liên tục

x  Ax Bu

http://www.ebook.edu.vn 39

yCxDu (2.44)

ký hiệu T là chu kỳ trích mẫu Giả sử u(t) được giữ cố định trong trong khoảng thời gian kT = t = kT +T

bởi khâu giữ trễ bậc 0 (hay còn gọi là khâu ZOH, zero – order Hold) Nếu biết trạng thái x và đầu vào uở thời điểm t = kT + T như sau:

(kT T) e (kT) e ( )dτ

T kT

kT

τ) T (kT t











 Bu x

e (kT) e dτ (kT)

T kT

kT

τ) T (kT T

Bu

A













e Tx(kT) e tdtBu(kT)

T

o

A A







  x(kT)  u(kT)

Vì thế, các phương trình trong (2.43) cũng hay được viết dưới dạng:

x(kTT)  x(kT)  u(kT)

y(kT) Cx(kT) Du(kT) (2.45)

với

 eAT

e dt

T

0

tB A





 (2.46)

Các mô hình trong (2.45) còn được gọi là mô hình trích mẫu ZOH của một hệ liên tục Trong đại

đa số trường hợp, y(kT) được đo trước khi u(kT) tác động vào quá trình, vì vậy D = 0 Khác với mô hình

liên tục, thời gian trễ của quá trình có thể mô hình hoá trực tiếp trong mô hình trích mẫu ZOH, khi đó bậc của mô hình (số biến trạng thái) sẽ tăng lên đúng bằng thời gian trễ tính theo số nguyên lần trích mẫu

Chú ý rằng, các ma trận  và  có thể được tính gọn trong một bước với hàm luỹ thừa ma trận Từ

(2.46) ta suy ra:

































0 0 0

(t) (t) 0

(t) (t) dt

I

 

























0 0

exp 0

(T)

I (2.47)

Nếu ta chỉ quan tâm tới các tín hiệu gián đoạn và coi chu kỳ trích mẫu là đơn vị thời gian, mô hình trạng thái gián đoạn tuyến tính có thể được viết một cách đơn giản như sau:

x(t1)  x(t)  u(t)

y(t) Cx(t) Du(t) (2.48)

Từ (2.48) ta dễ dàng xác định đáp ứng hệ thống từ trạng thái ban đầu x(t) với dãy đầu vào u(t) , u(t+1) , , u(t+k) bằng phương pháp lặp:

(t k) (t) (t j)

0 j

1 j k







 u x

x

y(tk) Cx(tk) Du(tk) (2.49)

Như ta đã thấy sau này, mô hình trạng thái gián đoạn có thể có được bằng nhiều phương pháp khác nhau chứ không phải chỉ thông qua trích mẫu từ mô hình trạng thái liên tục Tương tự như mô hình

liên tục, ở đây ta cũng tháy rõ vai trò quan trọng của ma trận  trong diễn biến trạng thái của hệ thống Ở đây, điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là toàn bộ giá trị riêng của  nằm trong vòng tròn đơn vị Cặp ma trận (, ) còn nói lên tính điều khiển được (trạng thái) , cũng như cặp (, C) nói lên tính quan sát được

của hệ thống

2 5 3 Mô hình đáp ứng quá độ

1 Đáp ứng xung

Tại thời điểm t = 0, nếu kích thích một hệ đơn biến ở trạng thái 0 bằng một xung đơn vị (và giữ trong một thời gian chu kỳ trích mẫu h) , dãy giá trị trích mẫu tín hiệu đáp ứng được tính theo (2.49) cho trường hợp D = 0 như sau:

g y(k) Tk1,k 1,2,

k ˆ c (2.50) Cho biết dãy giá trị đầu vào trong quá khứ của một hệ đơn biến, đầu ra ở thời điểm hiện tại có thể được xác định bởi

y(t) g u(t k)

1 k

k 







(2.51)

Tương tự định nghĩa hàm trọng lượng cho mô hình liên tục, dãy giá trị gk được gọi là dãy trọng lượng và (2.51) được gọi là mô hình đáp ứng xung Ý nghĩa của dãy trọng lượng đươc thể hiện ở chỗ,

mỗi giá trị gk phản ánh ảnh hưởng khác nhau của những giá trị đầu vào trong quá khứ tới giá trị y(t) ở thời điểm hiện tại Cần đặc biệt lưu ý rằng, mặc dù sử dụng cùng ký hiệu, dãy trọng lượng nói chung không đồng nhất với các giá trị trích mẫu của hàm trọng lượng liên tục tương ứng Chỉ khi chu kỳ trích mẫu T chính xác bằng 1 giây, xung kích thích mới có diện tích bằng 1 và được coi là xấp xỉ của xung Dirac (t) , dãy trọng lượng sẽ xấp xỉ bằng các giá trị trích mẫu của hàm trọng lượng

Đối với một quá trình ổn định, dãy trọng lượng sẽ dần tới 0 khi k lớn lên Vì thế ta có thể xấp xỉ (2.51) bằng một mô hình đáp ứng xung hữu hạn hay còn gọi là mô hình FIR (Finite Impulse Response) :









N k

k u t k g

t y

1

) ( )

( (2.52)

trong đó N được chọn đủ lớn (Thông thường trong khoản từ 30 – 120, tuỳ theo chu kỳ trích mẫu của tín hiệu) để các số hạng sau có thể bỏ qua

Mô hình đáp ứng xung và mô hình FIR cũng được mở rộng cho hệ đa biến với vector đầu vào u(t)

và vector đầu ra y(t) :