Trường THPT-DTNT Mai Thanh Sơn Đề THI HỌC KÌ II Môn: Toán 11-cb năm học 2009-2010 Thời gian:90 phút Câu 1: (2 điểm ) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (1- 2x).(3x+ 2) 2 b) y = 2 (1 x ).cos2x − Câu 2: (3điểm ). 1. Tính các giới hạn sau: a) 3 2 x 2 x 8 lim x 4 → − − b) x 2 2x 1 lim x 2 − → + − 2. Cho hàm số : ( ) 2 2 x 8 3 khi x>1 f x x 1 ax 1 khi x 1 + − = − − + ≤ Tìm a để hàm số ( ) f x đã cho liên tục tại điểm x 1 = . Câu 3: (2 điểm ). Cho hàm số : ( ) ( ) 3 2 f x 2x 4x 3 = − + £ . a) Tìm x sao cho ( ) f x 0 ′ > . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) £ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 2x y 5 0 + − = . Câu 4 (3 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a, AB= a, BC= 2a, cạnh bên SA vuông góc với mf(ABCD). a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) . b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến mf(SCD). hết Đáp án : Câu Lời giải Điểm 1 (2đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / ). 2 3 2 6 3 2 1 2 3 2 2 18a y x x x x x = − + + + − = + − 1 đ ( ) / 2 ). 2 . os2 2 1 sin 2b y x c x x x= − − − 1 đ 2 (3đ) 1.Tìm giới hạn ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 4 8 ).lim lim 3 4 2 x x x x x a x x → → + + − = = − + 1 đ 2 2 1 ) lim 2 x x b x − → + = −∞ − 1 đ 2. • ( ) ( ) 2 1 1 8 3 1 1 lim lim 1 12 1 8 3 x x x x x x + + → → + − = = − + + + • ( ) 2 1 lim ax 1 1 x a − → − + = − → 1- a = 1 12 11 12 a ↔ = 1đ 3 (2đ) a). f / (x) = 6x 2 -8x > 0 ↔ ( ) 4 ;0 ; 3 x ∈ −∞ ∪ +∞ ÷ 1đ b). Từ giả thiết ta có f / (x) = -2 2 2 6 8 2 3 4 1 0x x x x↔ − = − ↔ − + = 1 1, 3 x x ⇔ = = • f(1)= 1 , 71 (1/3) 27 f = vậy có 2 tiếp tuyến : • y = -2(x – 1) +1 = -2x +3 • 1 71 89 2 2 3 27 27 y x x = − − + = − + ÷ 1đ Câu4 Hình học Điểm 3đ Hình vẽ ; a). • Góc giữa (SCD) và (ABCD) chính là góc ∠SDA • Góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc ∠ SBA • Ta có tan∠SDA= ½ • tan∠ SBA =1 b). Từ A kẻ AJ ⊥SD →AJ ⊥ mf(SDC). Nối CJ và từ O kẻ OI//AJ → OI ⊥mf (SCD). Vậy OI chính là khoảng cách cần tìm • Ta có 2 2 2 1 2 1 1 1 OI AJ AJ SA AD = = + Từ đó ta có kết quả ; OJ = 5 5 a Vẽ hình 1đ a).1điểm b). 1điểm TRƯỜNG THPT-DTNT TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Mai Thanh Sơn 6 NĂM HỌC: 2009- 2010 BẢN CHÍNH MÔN THI :TOÁN ( thời gian làm bài 150 phút ) Câu I: (4 điểm ) Giải hệ phương trình sau: 3 3 2 2 3 1 2 2 x y x y xy y + = + + = Câu II: (4 điểm ) Giải phương trình sau 8 8 1 sin os 8 x c x + = Câu III: (4điểm ) : Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 1 3 2 2 1 ( ) 1 x x y f x x m − + − = = − Câu IV (4 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD đường cao SA = a và đáy ABCD là hình chữ nhật với AB= a, 2AD a = .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC và K là giao điểm của AC và BM. a) Chứng tỏ BK ⊥ mf(ANK) b).Tính diện tích tam giác ∆ANK Câu V(4 điểm ) Cho dãy số (u n ) xác định như sau: 0 1 1 2 2009 2010 (n =2;3;4; ) 2 3 n n n u u u u u − − = = + = Tìm : lim ? n u = hết nếu x ≠ 1 nếu x = 1 Họ tên thí sinh: lớp : Trường : / Đáp án : Câu nội dung điểm câu1 (4 điểm ) *Xét x = 0 ta có hệ • 3 3 1 2 y y = = hệ này vô nghiệm *Xét x ≠ 0 • Đặt y =kx khi đó ta có hệ sau ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 1 1 (1) 2 2 0 (2) x k x k k k x k k k k + = ↔ + + = + = ↔ − − + = • (2) 3 2 1 2 2 0 2 1 k k k k k k = ⇔ − − + = ⇔ = =− a) với k =1 ta có ngiệm ; 3 1 2 x y= = b)Với k =2 ta có nghiệm : 3 3 1 2 9 9 x y= → = a).k= -1 không thoả mãn (1) • Vậy hệ có hai nghiệm là : 3 3 3 3 1 1 1 2 ; ; ; 2 2 9 9 ÷ ÷ 1đ 1đ 1đ 1đ câu2 (4 điểm) • Hạ bậc vế trái ( ) 2 2 4 4 4 4 2 4 1 1 1 1 sin os 2sin cos 1 sin 2 sin 2 8 2 8 8 x c x x x x x ↔ + − = ↔ − − = ÷ đặt t = sin 2 2x với điều kiện : 0 1t≤ ≤ ta có phương trình : • 2 1 8 7 0 7 (L) t t t t = ↔ − + = ↔ = Với t = 1 phương trình có các nghiệm: 1đ 2đ 1đ • 4 , k 4 2 4 x k k x Z x k π π π π π π = + ⇔ = + ∈ = − + câu 3 • Để hàm số liên tục tại x = 1 thì 1 lim ( ) x f x m → = Ta có : • ( ) 3 1 1 1 2 1 1 3 3 2 1 2 1 1 lim ( ) lim lim 1 1 1 2 4 lim lim 3 2 1 1 2 2 1 x x x x x x x f x x x x x x → → → → → − + − − = + − − = − + = − + − − − + • Vậy m = 4/3 thì hàm số liên tục tại x = 1 1đ 2đ 1đ câu4 K O N M D C B A S a) • Ta có BM ⊥SA (1) • Ta chứng minh BM ⊥ AK. Thực vậy , 2 2 .2 0 . AC AD AB BM BA AD AC BM BM AC O = + = + → = → = uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur Vậy BM ⊥ AK (2) Từ (1) ,(2) ta có BK ⊥ (ANK) b). • Nối ON → ON = ½ SA = a/2, f 2 2 1 1 . 3 3 2 3 AK AO AC AC = = = , 2 2 2 3AC a a a = + = Vậy Ak = 3 3 a • S ∆ ABC = 2 1 1 3 3 . . 2 2 2 3 12 a a a ON AK = = 2đ 2đ Câu5 • Từ giả thiết ta có : ( ) 1 1 2 1 3 n n n n u u u u − − − − = − − lập dãy số (v n ) : v n = u n – u n-1 ta có : 1 1 3 n n v v − = − hay (v n )là một cấp số nhâ có q = -1/3 , v 1 = 1 • ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 0 0 1 1 0 1 1 3 3 1 3 2009 2009 4 / 3 4 4 3 n n n n n n n n n u u u u u u u u v v v u − − − − = − + − + + − + = + + + + − − ÷ = + = − − + ÷ • Limu n = 2009 4 3 1đ 1đ 1đ 1đ TRƯỜNG THPT-DTNT TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI KHẢO SÁT GIÁO VIÊN NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN THI :TOÁN ( thời gian làm bài 150 phút ) Câu1: (2 ĐIỂM ) Trong mf toạ độ (x0y) Cho điểm A (2; -2) , và đường thẳng d : 2x+y-1 = 0 . Tìm d / Là ảnh của d qua phép đối xứng tâm A . Anh ( hay chị) hãy nêu phương pháp giải bài toán trên cho học sinh. Câu 2 (4 điểm ) Tìm m để cho phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 4 4 13 1 0x x m x − + + − = Câu3 (4 điểm ): Giải phương trình sau: ( ) ( ) 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 3 3 x x x x − + − + − − = + TRƯỜNG THPT-DTNT TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN THI :TOÁN ( thời gian làm bài 150 phút ) Câu I: (4 điểm ) Giải hệ phương trình sau: 3 3 2 2 3 1 2 2 x y x y xy y + = + + = Câu II: (4 điểm ) Giải phương trình sau: 8 8 1 cos sin x = 8 x + Câu III: (4điểm ) : Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 1 3 2 2 1 ( ) 1 x x y f x x m − + − = = − Câu IV (4 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên tam giác SAB đều. Biết 3SD SC a= = . Gọi H, K là trung điểm SA, SB; M là một điểm trên cạnh AD, mp(HKM) cắt BC tại N. 1. Chứng minh KHNM là hình thang cân. 2. Đặt AM= x (0≤x≤a). Tính diện tích tứ giác MNHK theo a và x. Câu V(4 điểm ) Cho dãy số (u n ) xác định như sau: 0 1 1 2 2009 2010 (n =2;3;4; ) 2 3 n n n u u u u u − − = = + = Tìm : lim ? n u = hết nếu x ≠ 1 nếu x = 1 . 1đ a).1điểm b). 1điểm TRƯỜNG THPT-DTNT TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Mai Thanh Sơn 6 NĂM HỌC: 2009- 2010 BẢN CHÍNH MÔN THI :TOÁN ( thời gian làm bài 150 phút ) Câu I:. ÷ • Limu n = 2009 4 3 1đ 1đ 1đ 1đ TRƯỜNG THPT-DTNT TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI KHẢO SÁT GIÁO VIÊN NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN THI :TOÁN ( thời gian làm bài 150 phút ) Câu1: (2 ĐIỂM ) Trong mf. x x − + − + − − = + TRƯỜNG THPT-DTNT TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN THI :TOÁN ( thời gian làm bài 150 phút ) Câu I: (4 điểm ) Giải