Chơng II Hàm số bậc nhất một ẩn. I. Lý thuyết 1, Định nghĩa: Hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trớc, a 0. đợc gọi là hàm số bậc nhất một ẩn. 2, Tính chất: - Hàm đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0. - a gọi là hệ số góc của hàm số. - Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b 3, Đồ thị. a, Hình dạng: Đồ thị là một đờng thẳng b, Cách vẽ đồ thị: B ớc 1 : Chọn hai điểm thuộc đô thị. Thông thờng chọn hai điểm đặc biệt: A( 0, b) và B( )0, a b B ớc 2: Vẽ hệ trục toạ độ và vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó c, Tính chất đồ thị: Xét hai hàm số y = ax + b và y = ax + b - Khi a = a, b = b thì đồ thị hai hàm số trùng nhau. - Khi a = a, b b thì đồ thị hai hàm số song song với nhau - Khi a a thì đồ thị hai hàm số cắt nhau. Nếu b = b thì cắt nhau tại điểm trên trục tung có tung độ bằng b 4, Cách xác định toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ax + b và y = a x + b (a a ) * Tìm hoành độ: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax + b = ax + b (a - a)x = b - b x = aa bb ' ' = x 0 * Tìm tung độ: Thay x = x 0 vào một trong hai hàm số ta đợc y = y 0 Vậy toạ độ giao điểm là A( x 0 ; y 0 ) II- các dạng bài toán A- Đối với học sinh TB, yếu Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2 Ví dụ 2: Vẽ hai đồ thị hàm số y = x 1 và y = 2 1 x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ và tìm giao điểm của chúng. O -2 x y 2 2 y = x - 2 Giải: Chọn x = 0 thì y = -2 Chọn y = 0 thì x = 2 Đồ thị hàm số y = x 2 là một đPờng thẳng đi qua hai điểm ( 0; - 2) và ( 2; 0) O -1 x y - 4 2 1 .C y = x - 1 y = 2 1 x +2 +) Gọi C là giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 1 và y = 2 1 x+ 2 Khi đó hoành độ điểm C là nghiệm của phơng trình x 1 = 2 1 x+ 2 x 2 1 x = 2 + 1 2 1 x = 3 x = 6 Thay x = 6 vào hàm số y = x 1 ta đợc y = 5 Vậy toạ độ điểm C là ( 6; 5) Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số Ví Dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số y = ax +3 biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1) Giải: Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 1) có nghĩa là: 1 = a.1 + 3 a = - 2.Vậy a = -2 Ví Dụ 2: Xác định các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;5) và song song với đờng thẳng y = 2x - 1 Giải: Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 2x 1 nên a = 2 khi đó hàm số trở thành: y = 2x + b Giải +) Hàm số: y = x 1: Chọn x = 0 thì y = -1; Chọn y = 0 thì x = 1 Đồ thị hàm số y = x 1 là một đPờng thẳng đi qua hai điểm ( 0;- 1) và ( 1; 0) +) Hàm số y = x+ 2 Chọn x = 0 thì y = 2; Chọn y = 0 thì x = - 4 Vậy đồ thị hàm số y = x+ 2 là một đPờng thẳng đi qua hai điểm ( 0; 2) và (- 4; 0) Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: 5 = 2.1 + b b= 3. Vậy a = 2, b = 3 Ví dụ 3 : Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;-1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Giải Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2 khi đó hàm số trở thành: y = ax + 2 Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: -1 = a.2 + 2 a = 2 3 . Vậy hàm số là y = 2 3 x + 2 Bài tập: Bài 1.Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x + 2 b) y = 2x - 3 Bài 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = - 3 1 2 3 +x a) Với trục tung b) Với trục hoành Bài 3: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 3x - 1 và y = 2x + 3 Bài 4: Xác định hệ số góc của hàm số y = ax + b biết dồ thị hàm số y = ax + b song song với hàm số y = 2x 1 Bài 5: Cho hàm số y = ax + 2, tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; 3) Bài 6: Cho hàm số y = 2 1 x + b, tìm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(4; 1) Bài 8: Cho hàm số y = ax + b, tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( -2; 1) và song song với đờng thẳng y = - x +3 Bài 9: Cho hàm số y = ax + b, Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1; -3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2 Bài 10: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 2 1 . B- Đối với học sinh Khá, giỏi Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2 Giải: Ta có: y = x 2 nếu x 0 ; y = -x 2 nếu x < 0 từ đó ta có đồ thị hàm số y = x - Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y = 21 ++ xx b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 21 ++ xx Giải: a) Ta có y = < <+ 2 x nếu3 - 2x 2x1 nếu 1 1 x nếu3 2x- . Từ đó ta có đồ thị b) Từ đồ thi hàm số y = 21 ++ xx ta thấy y 1 Vậy A = 21 ++ xx 1 với mọi x O -2 x y 2 2 -2 O -1 x 1 3 2 y 1 Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 1 x 2 Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số Ví dụ 1 : Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;-1) và B(-2; 3) Giải Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b 2a + b = -1 Đồ thị hàm số đi qua điểm B( -2; 3) có nghĩa là: 3 = a.(-2) + b -2a + b = 3 Từ đó ta có hệ: =+ =+ 32 12 ba ba = = 1 1 a b Vậy hàm số là y = - x + 1 Ví dụ 2 : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;-1) và cắt đồ thị hàm số y = 2x - 1 tại điểm có tung độ bằng 5 Giải Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b 2a + b = -1 Đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số y = 2x -1 tại điểm có tung độ bằng 5 tức là đi qua điểm có tung độ bằng 5 trên đờng thẳng y = 2x 1. Điểm đó có hoành độ là x = 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm ( 3, 5), hay 5 = a.3 + b 3a + b = 5 Từ đó ta có hệ: =+ =+ 53 12 ba ba = = 13 6 b a Vậy hàm số là y = 6x -13 * Lu ý: Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c có thể đa về dạng hàm số bậc nhất y = ax + b bằng cách: ax + by = c by = - ax +c y = b c x b a + và có hệ số góc là b a , ax + by = c cũng đợc gọi là một đờng thẳng. Dạng 3: Một số dạng khác Ví dụ 1 : Cho hai điểm A( x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ), chứng minh rằng nếu đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A và B thì 12 1 12 1 xx xx yy yy = Giải: Do đờng thẳng y = ax + b đi qua A( x 1 ; y 1 ) nên y 1 = ax 1 + b Do đờng thẳng y = ax + b đi qua B(x 2 ; y 2 ) nên y 2 = ax 2 + b Suy ra: y y 1 = a(x x 1 ) y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) Từ đó ta có 12 1 12 1 xx xx yy yy = Ví dụ 2: Cho hai điểm A( x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ), chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng AB đợc tính theo công thức AB = 2 12 2 12 )()( yyxx + Bài tập Bài 1 V th các hm s : a) 1 2 y x = b) 2y x= Bài 2: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm A( )1; 3 1 ;B(-2;3) Bài 3: Tìm các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1, 3) và cắt đờng thẳng y = - 3 1 2 3 +x tại điểm có tung độ bằng 1 Bài 4: Xác định hàm số f(x) biết rằng f(x -3) = 3x + 1 O x 1 x 2 y 1 y 2 y A B C Giải Xét tam giác ABC vuông tại C ta có AB 2 = AC 2 + BC 2 Mặt khác AC = , BC = Suy ra AB 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 Hay AB = x Bài 5: Cho bốn điểm A(0 ; -5); B(1 ; -1) ; C(2 ; 3); D( 2,5 ; 5). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng. Bài 6: Tìm x biết ba điểm A( x; -5), B(-5; 20); C (7; - 16) thẳng hàng Bài 7: Chứng minh rằng nếu đờng thẳng không đi qua gốc toạ độ , cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a thì đờng thẳng có phơng trình: 1=+ b y a x Bài 8: Xác định hệ số nguyên a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(4; 3) cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dơng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên dơng. Bài 9: Tìm hệ số a > 0 sao cho các đờng thẳng y = ax 1; y = 1, y = 5 và trục tung tạo thành một hình thang có diện tích bằng 8. Để kiểm tra chơng II Môn: đại số Thời gian :90 phút Câu 1: Cho hàm số y = ax + b a) Vẽ đồ thị hàm số khi a = 1, b = 2 b) Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua A(1; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 Câu 2: Xác định giao điểm của hai đờng thẳng y = 2x 1 và y = - x + 1 Câu 3: Cho ba đờng thẳng d 1 : y = x 2; d 2 y = 2x + 1; d 3 : x + y = -2. Gọi A là giao điểm của d 1 và d 2 ; B là giao điểm của d 2 và d 3 ; C là giao điểm của d 3 và d 1 . a) Xác định toạ độ các điểm A, B, C b) Tính diện tích tam giác ABC . qua B(x 2 ; y 2 ) nên y 2 = ax 2 + b Suy ra: y y 1 = a(x x 1 ) y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) Từ đó ta có 12 1 12 1 xx xx yy yy = Ví dụ 2: Cho hai điểm A( x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ),. - 2 Ví dụ 2: Vẽ hai đồ thị hàm số y = x 1 và y = 2 1 x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ và tìm giao điểm của chúng. O -2 x y 2 2 y = x - 2 Giải: Chọn x = 0 thì y = -2 Chọn y = 0 thì x = 2 . thị b) Từ đồ thi hàm số y = 21 ++ xx ta thấy y 1 Vậy A = 21 ++ xx 1 với mọi x O -2 x y 2 2 -2 O -1 x 1 3 2 y 1 Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 1 x 2 Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số Ví