Ước lượng hợp lý cực đại cho trung bình của phân phối đều Cho X ∼ Uniform(0, θ). Tìm ước lượng hợp lý cực đại của θ và của E(X). Chương 5: Ước lượng tham số Bài toán ước lượng Ước lượng điểm Định nghĩa Đánh giá ước lượng Ước lượng hợp lý cực đại Ước lượng khoảng Khái niệm Ước lượng trung bình µ, phương sai σ 2 đã biết Ước lượng trung bình µ, phương sai σ 2 chưa biết Khái niệm Cho mẫu thử X 1 , . . . , X n . Giả sử các X i có cùng phân phối chuẩn N (µ, σ 2 ). Ta muốn ước lượng tham số θ bằng phương pháp ước lượng khoảng, tức là xác định khoảng [a; b] sao cho P(a θ b) = 1 − α . với α cho trước. Khái niệm Cho mẫu thử X 1 , . . . , X n . Giả sử các X i có cùng phân phối chuẩn N (µ, σ 2 ). Ta muốn ước lượng tham số θ bằng phương pháp ước lượng khoảng, tức là xác định khoảng [a; b] sao cho P(a θ b) = 1 − α . với α cho trước. Khái niệm (1 −α) được gọi là độ tin cậy của khoảng ước lượng. α được gọi là xác suất sai lầm của khoảng ước lượng. ε = b−a 2 được gọi là sai số ước lượng. Nếu độ tin cậy (1 − α) càng lớn (khi đó xác suất sai lầm α càng nhỏ thì sai số ước lượng ε càng lớn và khoảng ước lượng [a; b] càng rộng và ngược lại. Khoảng ước lượng cho trung bình µ, phương sai đã biết Khoảng ước lượng ở độ tin cậy 1 − α của trung bình µ là 2 bên: IC α = ¯ X − u 1− α 2 σ √ n ; ¯ X + u 1− α 2 σ √ n 1 bên (phải): IC α = ¯ X − u 1−α σ √ n ; ∞ . 1 bên (trái): IC α = −∞ ; ¯ X + u 1−α σ √ n . với u p là giá trị sao cho P(Z u p ) = p. Chứng minh: . . . Khoảng ước lượng cho trung bình µ, phương sai đã biết Example Một tín hiệu số (signal) có giá trị µ được truyền từ điểm A đến điểm B. Giá trị nhận được ở điểm B có phân phối chuẩn với trung bình µ và phương sai 4. Nghĩa là nếu gửi giá trị µ từ điểm A, thì giá trị nhận được ở điểm B là µ + N, trong đó N là nhiễu có phân phối chuẩn N (0, 4). Để giảm nhiễu, người ta gửi cùng một tín hiệu từ A đến B nhiều lần, ví dụ 9 lần. Giả sử các tín hiệu nhận được có giá trị là: 5, 8.5, 12, 15, 7 9, 7.5, 6.5, 10.5. Tìm khoảng tin cậy 95% của µ (2 bên và 1 bên). Khoảng ước lượng cho trung bình µ, phương sai đã biết Example Người ta biết rằng trọng lượng của cá ngừ có phân phối chuẩn với trung bình thay đổi tùy theo mùa và độ lệch chuẩn không thay đổi và bằng 0.3 kg. Muốn ước lượng trọng lượng cá ngừ ở độ tin cậy 95%, nhưng chỉ sai lệch trong khoảng ±0, 1 kg, thì phải lấy mẫu gồm bao nhiêu con cá? Nếu tăng độ tin cậy lên 99% thì cần quan sát bao nhiêu con? Khoảng ước lượng cho trung bình µ, phương sai chưa biết Khoảng ước lượng ở độ tin cậy 1 − α của trung bình µ là 2 bên: IC α = ¯ X − t α 2 ;n−1 S √ n ; ¯ X + t α 2 ;n−1 S √ n 1 bên (phải): IC α = ¯ X − t α;n−1 S √ n ; ∞ . 1 bên (trái): IC α = −∞ ; ¯ X + t α;n−1 S √ n . với t p;n−1 là giá trị sao cho P(T ≥ t p;n−1 ) = p trong đó T ∼ Student(n − 1). Khoảng ước lượng cho trung bình µ, phương sai chưa biết Example Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ 2 ), một mẫu ngẫu nhiên (x 1 , x 2 , , x 25 ) của X có các giá trị sau: 25 i=1 x i = 175 ; 25 i=1 x 2 i = 1500 Khi đó ước lượng khoảng hai phía cho trung bình µ với độ tin cậy 95% là bao nhiêu? . lượng khoảng, tức là xác định khoảng [a; b] sao cho P(a θ b) = 1 − α . với α cho trước. Khái niệm (1 −α) được gọi là độ tin cậy của khoảng ước lượng. α được gọi là xác suất sai lầm của khoảng ước. khoảng ước lượng. ε = b−a 2 được gọi là sai số ước lượng. Nếu độ tin cậy (1 − α) càng lớn (khi đó xác suất sai lầm α càng nhỏ thì sai số ước lượng ε càng lớn và khoảng ước lượng [a; b] càng rộng và. cùng phân phối chuẩn N (µ, σ 2 ). Ta muốn ước lượng tham số θ bằng phương pháp ước lượng khoảng, tức là xác định khoảng [a; b] sao cho P(a θ b) = 1 − α . với α cho trước. Khái niệm Cho mẫu thử X 1 ,