số phức-luyện thi hay

Chuyên đề: số phức Chủ đề1: dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức A. củng cố kiến thức 1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i 2 = -1 đợc gọi là một số phức. a đợc gọi là phần thực, b đợc gọi là phần ảo i đợc gọi là đơn vị ảo. Tập các số phức đợc kí hiệu là Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Hai số phức bằng nhau z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) ' z z' ' a a b b = = = = = Ă Ă 3. Cộng, trừ hai số phức z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) z + z' (a + a' ) + (b + b') i z z' (a - a') + (b - b' )i = = = = Ă Ă Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0. 4. Nhân hai số phức z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) zz' ' ' ( ' ' )aa bb ab a b i = = = + + Ă Ă 5. Môđun của số phức, số phức liên hợp z = a +bi (a, b Ă ) thì môđun của z là 2 2 z = a +b z = a +bi (a, b Ă ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi. Ta có: 2 2 2 zz' = z z' , zz a b z z + z' = z + z', zz'=z z', z = z = + = z là số thực khi và chỉ khi z = z 6. Chia cho số phức khác 0 Nếu z = a + bi (a, b Ă ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là 1 -1 z = z 2 z . Thơng của z' cho z khác không là: z' z'z -1 z'z z zz = = . Ta có: ' ' ' ' , z z z z z z z z = = ữ . 7. Biểu diễn hình học của số phức Số phức z = a + bi (a, b Ă ) đợc biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo Số phức z = a + bi (a, b Ă ) cũng đợc biểu diễn bởi vectơ ( ; )u a b= r , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b Ă ) cũng có nghĩa là OM uuuur biểu diễn số phức đó. Ta có:Nếu ,u v r r theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì u v+ r r biểu diễn số phức z + z', u v r r biểu diễn số phức z - z', k ( )u k r Ă biểu diễn số phức kz, OM u z= = uuuur r , với M là điểm biểu diễn của z. B. Các dạng bài tập 1. Xác định tổng, hiệu, tích, thơng của các số phức a) Phơng pháp giải - áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. b) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) 3 3 ( 1 ) (2 )i i + Bài giải a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1. b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có 3 3 2 2 3 ( 1 ) ( 1) 3( 1) 3( 1) 2 2 3 3 3 ( 2 ) ( 2) ( ) 8 i i i i i i i i + = + + + = + = = Do đó nhận đợc kết quả của bài toán là 2 + 10i Ví dụ 2: Tính 1 1 3 2 2 i+ Bài giải Ta có : 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 i i i i i = = + ữ ữ Ví dụ 3: Tính 2 3 2009 1 i i i i+ + + + + Bài giải Ta có: 2010 2 3 2009 1 (1 )(1 )i i i i i i = + + + + + Mà 2010 1 2i = . Nên 2 2 3 2009 1 1 i i i i i + + + + + = , hay là 2 3 2009 1 1i i i i i+ + + + + = + . Ví dụ 4: Tính 100 (1 )i Bài giải Nhận thấy 2 (1 ) (1 )(1 ) 2i i i i = = . Suy ra 100 2 50 50 50 50 50 (1 ) ((1 ) ) ( 2 ) ( 2) ( ) 2i i i i = = = = . Ví dụ 5: Cho số phức 1 3 2 2 z i= + . Hãy chứng minh rằng: ; 1 2 2 3 1 0; 1.z z z z z z + + = = = = . Bài giải Do 1 3 2 2 2 z i= . Nên 1 3 1 3 2 1 ( ) ( ) 1 0 2 2 2 2 z z i i+ + = + + + = ; Lại có 1 3 1 1 1 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 i i z i = = = + . Suy ra 1 2 z z z = = . Hơn nữa ta có 3 1z = . Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu 2 0zz + = . Bài giải Đặt z = x + yi, khi đó ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 (1 ) 0 1 0 (1 ) 0 z x yi x y x y x y xyi x y y x y x y y xy x x x x y y y y y x x z + = + + + = + + + = = + = + + = = = + = = = = = = = + = 0 (do 1 0) 0 0, 0 0, 1 0, 1 0, 0 x x y x y x y x y y x = + > = = = = = = = = = Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i. 2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ a) Phơng pháp giải Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau: Nếu số phức z đợc biểu diễn bởi vectơ u r , số phức z' đợc biểu diễn bởi vectơ 'u ur , thì z + z' đợc biểu diễn bởi 'u u+ r ur ; z - z' đợc biểu diễn bởi 'u u r ur ; - z đợc biểu diễn bởi u r . b) Các ví dụ. Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) 1 2z i + = ; b) 2 z i z+ = . Bài giải a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nên hệ thức 1 2z i + = trở thành 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 4. x y x y + + = + + = Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là đờng tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2. b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó 2 z i z+ = ( 2)z z i = hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đờng trung trực của đoạn thẳng AB. Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải nh đã làm ở phần a. Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải nh vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau: Nếu véctơ u r của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ u r là u z= r , và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì 'AB z z= uuur . Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 2 3 2 z i + = . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Bài giải Xét biểu thức 3 2 3 2 z i + = (1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành 3 ( 2) ( 3) 2 9 2 2 ( 2) ( 3) . 4 x y i x y + + = + + = Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đờng tròn (C) tâm I(2; -3) và bán kính R = 3 2 . Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M nằm trên đờng tròn (C) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của (C) và đờng thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn. Ta có OI = 4 9 13+ = . Kẻ MH Ox. Theo định lí ta lét có 3 13 9 6 13 9 2 13 3 13 3 2 2 13 MH OM MH OI = = = = 6 13 9 78 9 13 26 2 13 MH = = . Lại có 3 13 2 13 3 26 3 13 2 2 13 13 13 OH OH = = = . Vậy số phức cần tìm là 26 3 13 78 9 13 13 26 z i = + . Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z w z w+ + . Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài giải Gọi A, B, C lần lợt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w. Ta có , ,z OA w OB z w OC= = + = . Từ OC OA + AC suy ra z w z w+ + . Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC. Khi O A (hay z 0) điều đó có nghĩa là có số k 0 để AC kOA= uuur uuur tức là w = kz. (Còn khi z = 0, rõ ràng z w z w+ = + ). Vậy z w z w+ = + khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z 0 thì tồn tại k R + để w = kz. c. câu hỏi và bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có z w z w . Dấu bằng xảy ra khi nào? O H 2 M I - 3 x y 2. Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức z, w, u, v thoả mãn các tính chất: a) 1z w u v= = = = ; b) z + w + u + v = 0. 3. Cho số phức z = m + (m - 3)i, m R a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đờng phân giác thứ hai y = - x; b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol 2 y x = ; c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. 4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức 3 z z i = . 5. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4 2 6 ; (1 )(1 2 ); 1 3 i i i i i i + + . a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân; b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Chủ đề 2: Căn bậc hai của số phức và phơng trình bậc hai A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa căn bậc hai của số phức Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z 2 = w đợc gọi là một căn bậc hai của số phức w. a) Nếu w là số thực + w < 0 thì có hai căn bậc hai: &wi wi + w 0 thì có hai căn bậc hai: &w w . b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bớc: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: 2 z w= khi đó ta có hệ: 2 2 (1) 2 (2) x y a xy b = = Bình phơng 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta đợc 2 2 2 2 x y a b+ = + Do vậy ta đợc hệ: 2 2 2 2 2 2 (1) (2') x y a x y a b = + = + Giải hệ tìm đợc 2 x và 2 y suy ra x và y để tìm z. Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu. 2. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai hệ số phức Cho PT: 2 0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a+ + = Ê và có 2 4b ac = + Nếu 0 pt có hai nghiệm là 1 2 ; 2 2 b b x x a a + = = Trong đó là một căn bậc hai của . + Nếu = 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a = = . B. Các dạng bài tập 1. Giải phơng trình bậc nhất a) Phơng pháp giải Biến đổi phơng trình về dạng Az + B = 0, A, B , 0A Ê . Viết nghiệm B z A = b) Ví dụ Ví dụ 1: Giải phơng trình 2iz + 1 - i = 0 Bài giải Nghiệm của phơng trình là (1 ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 i z i i i = = + = + . 2. Tính căn bậc hai và giảiphơng trình bậc hai a) Phơng pháp giải Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để tìm nghiệm của phơng trình với chú ý phải đa về đúng dạng của phơng trình. b) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: ) 5 12 ) 8 6 ) 33 56 ) 3 4 a i b i c i d i + + + Bài giải a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là ( ) 2 2 2 5 12 2 5 12x iy i x y ixy i+ = + + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 5 2 12 13 9 x y x x y xy x y y = = = = + = = 2 3 x y = = Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 2 3 x y = = hoặc 2 3 x y = = Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z 1 =2+3i và z 2 = -2-3i. b) Tơng tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là ( ) 2 2 2 8 6 2 8 6x iy i x y ixy i+ = + + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 8 9 8 2 6 10 1 x y x x y xy x y y = = = = + = = 3 1 x y = = Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 3 1 x y = = hoặc 3 1 x y = = Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i. c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là ( ) 2 2 2 33 56 2 33 56x iy i x y ixy i+ = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 33 49 33 2 56 65 16 x y x x y xy x y y = = = = + = = 7 4 x y = = Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có 7 4 x y = = hoặc 7 4 x y = = Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4. d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là ( ) 2 2 2 3 4 2 3 4x iy i x y ixy i+ = + + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 4 5 4 x y x x y xy x y y = = = = + = = 1 2 x y = = Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 1 2 x y = = hoặc 1 2 x y = = Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i. Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) 2 2 ) 3 4 5 1 0; (1) ) 1 2 0; (2) a x i x i b x i x i + + = + + = Bài giải a) Ta có ( ) ( ) 2 3 4 4 5 1 3 4i i i = + = + Theo kết quả ví dụ 1d) thì có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i. Do đó pt (1) có hai nghiệm là: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 ; 1 2 2 i i i i x i x i + + + + = = + = = + b) Tơng tự ta có ( ) ( ) 2 1 4 2 8 6i i i = + = + Theo kết quả ví dụ 1b) thì có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i. Do đó pt (2) có hai nghiệm là: 1 2 1 3 1 3 1; 2 2 2 i i i i x x i + + = = = = Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0 Ví dụ 3: Giải các phơng trình sau: 2 2 3 ) 3 2 0; (1) ) 1 0; (2) ) 1 0 (3) a x x b x x c x + + = + + = = Bài giải a) Ta có = 1 2 - 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của là: 23 & 23i i . Từ đó nghiệm của pt (1) là: 1 2 1 23 1 23 ; 6 6 i i x x + = = b) Tơng tự ta có = -3 < 0 có hai căn bậc hai là: 3 & 3i i nên (2) có các nghiệm là: 1 2 1 3 1 3 ; 2 2 i i x x + = = c) Ta có ( ) ( ) 2 2 (3) 1 1 0 1 0 1 0; (*) x x x x x x + + = = + + = Theo b) ta có (*) có hai nghiệm là 1 2 1 3 1 3 ; 2 2 i i x x + = = . Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là: 1 2 3 1 3 1 3 1; ; 2 2 i i x x x + = = = ( Các nghiệm của pt (3) đợc gọi là căn bậc ba của 1). Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phơng trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức Ă thì cũng nhận là nghiệm. Bài giải Giả sử PT bậc hai: ( ) 2 0; , , , 0ax bx c a b c a+ + = Ă nhận số phức Ă là nghiệm tức là ta có: 2 0a b c + + = . (1) Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta đợc: ( ) 2 2 0 0a b c a b c + + = + + = . Điều này chứng tỏ là nghiệm của pt. áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phơng trình 2 3 3 5 0x x i+ = . Tìm nghiệm còn lại của pt đó. Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phơng tình bậc hai với hệ số phức. Thuận: Nếu hai số 1 2 &x x là hai nghiệm của phơng trình ( ) 2 0; , , , 0ax bx c a b c a+ + = Ê thì 1 2 1 2 & b c x x x x a a + = = . Chứng minh Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có: 1 2 2 2 1 2 2 2 2 . 2 2 4 b b b x x a a a b b b c x x a a a a + + = + = ữ + = = = ữ ữ Đảo : Nếu hai số ; thoả mãn: & .S P + = = thì ; là nghiệm của pt: 2 0x Sx P + = .(1) Chứng minh Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 (1) 0 0 x x x x x x = + + = = = Điều này chứng tỏ ; là nghiệm của (1). áp dụng: Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm 4 3 ; 2 5i i = + = + Bài giải Theo bài ra ta có: 2 8i + = + và ( ) ( ) . 4 3 2 5 23 14i i i = + + = + Theo kết quả VD5 ta đợc pt bậc hai cần lập là: ( ) 2 2 8 14 23 0x i x i + + = Ví dụ 6: Tìm m để phơng trình: 2 3 0x mx i+ + = có tổng bình phơng 2 nghiệm bằng 8. Bài giải Theo bài ra ta có: ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 8 2 8x x x x x x+ = + = (1). Theo Vi-et ta có 1 2 1 2 3 x x m x x i + = = Thay vào (1) ta đợc 2 2 6 8 8 6m i m i = = + . Tức m là một căn bậc hai của 8+6i. Theo kết quả VD1b/ ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i. Ví dụ 7: Giải hệ phơng trình 2 2 1 2 1 2 5 2 (1) 4 (2) z z i z z i + = + + = Bài giải Từ (2) ta có 2 2 1 2 1 2 2 15 8 .z z z z i+ + = Kết hợp với (1) ta có 1 2 5 5z z i= vậy ta có hệ phơng trình: 1 2 1 2 4 5 5 z z i z z i + = = Do đó 1 2 ,z z là nghiệm của phơng trình ( ) 2 4 5 5 0z i z i + = . Ta có 5 12i = + theo VD1a/ ta biết có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và -2 - 3i. Vậy ta có 1 2 4 2 3 3 2 4 2 3 1 2 2 i i z i i i z i + + = = + = = Hoặc 1 2 1 2 3 z i z i = = + . Ví dụ 8: Cho 1 2 ,z z là hai nghiệm của phơng trình ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 0i z i z i+ + + = . Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ) ) z z a A z z b B z z z z c C z z = + = + = + Bài giải Theo Vi-et ta có: 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 1 2 1 1 2 1 2 3 3 1 2 i z z i i i z z i i + + + = = + + + = = + + a) Ta có ( ) 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2 2 2 3 3 3 3 9 9 A z z z z i i i + + + + = + = + + = ữ ữ ữ ữ b) ( ) 1 2 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2 3 3 3 3 9 9 B z z z z i i i + + = + = + + = + ữ ữ c) Ta có 2 2 1 2 1 2 6 26 2 18 1 2 1 2 3 3 z z A i C z z i + + = = = + + . Ví dụ 9: Giải pt: 4 2 6 25 0z z + = (1) Bài giải Đặt 2 .z t= Khi đó (1) có dạng: 2 6 25 0t t + = (2). Ta có: ' 16 = có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là 1 3 4t i= + và 2 3 4t i= . Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là: 2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là: 1 2 3 4 2 ; 2 ; 2 ; 2z i z i z i z i= + = = = + C. câu hỏi và bài tập Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) 8+6i b) 3+4i c) 3 1 3 i i + d) 1 1 1 1i i + + e) 2 1 1 i i + ữ f) 2 1 3 3 i i ữ Bài 2: Gọi 1 2 ;u u là hai căn bậc hai của 1 3 4z i= + và 1 2 ;v v là hai căn bậc hai của 2 3 4z i= . Tính 1 2 u u+ 1 2 v v+ + ? Bài 3: Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ) 2 2 1 0 ) 5 14 2 12 5 0 ) 80 4099 100 0 ) 3 6 3 13 0 ) cos sin cos sin 0. a z iz i b z i z i c z z i d z i z i e z i z i + = + = + = + + + = + + = Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8. Bài 5: Giải các phơng trình trùng phơng: ( ) ( ) 4 2 4 2 ) 8 1 63 16 0 ) 24 1 308 144 0 a z i z i b z i z i + = + = Bài 6: Cho 1 2 ,z z là hai nghiệm của phơng trình: ( ) 2 1 2 2 3 0z i z i + + = . Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 ) ) ) 1 2 1 2 ) ) ) z z a A z z b B z z z z c C z z d D z z e E z z z z f F z z z z z z = + = + = +     = + = + = + + +  ÷  ÷     Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ pt 2 2 2 4 0 ) ) 2 1 z i z u v uv a b u v i z i z  − =  + + =    + = − = −    [...]... k Z + Acgumen của z 0 xác định sai khác k2 , k Z 2 Dạng lợng giác của số phức Cho số phức Z = a+bi, (a, b R), với r = a 2 + b 2 là modun của số phức z và là Acgumen của số phức z Dạng z = r (cos +isin ) đợc gọi là dạng lợng giác của số phức z 0, còn dạng z = a + bi đợc gọi là dạng đại số của số phức z II Nhân và chia số phức dới dạng lợng giác Nếu z = r(cos +isin ), z' = r' (cos '+isin ...Chủ đề 3 : Dạng lợng giác của số phức A Kiến thức cần nhớ I Số phức dới dạng lợng giác 1 Acgumen của số phức z 0 Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đợc gọi là một Acgumen của z y b O M a x Chú ý: + Nếu là... * 2 Căn bậc n của một số phức Với z = r(cos +isin ), r > 0, có hai căm bậc hai của z là r (cos + i sin ) ; 2 2 r (cos + i sin ) = r (cos( + ) + i sin( + )) 2 2 2 2 B các dạng Bài tập 1 Viết số phức dới dạng lợng giác a) Phơng pháp Với mỗi số phức z = a + bi: Tính r = a 2 +b 2 Tính cos = a b ,sin = từ đó suy ra acgumen của z r r Sử dụng công thức lợng giác của số phức cho ta z = r (cos... giác: a 1 - i 3 b ( 1 - i 3 )(1 + i) c 1 i 3 1+ i 5 e tan f 1-cos i sin ( R, k 2 , k Z ) +i 5 8 Bài 2: Cho 2 số phức: 4 4i và 1+ i 3 Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dới dạng lợng giác 1 Bài 4: Tìm dạng lợng giác của các số phức sau: z ; , biết: z a, z = r ( cos + i sin ) , r >0 b, z = 1 + 3 i Bài 5: Tìm các căn bậc 5 của 1? CMR tổng... (*) có z = 2sin cos( ) + i.sin( ) là dạng số phức cần 2 2 2 i.2sin tìm + Nếu sinh < 0, thì từ (*) ta có z = 2sin ( sin + i cos ) = 2sin cos( + ) + i.sin( + ) là dang lợng giác cần 2 2 tìm + Nếu sinh = 0, thì z = 0, nên không có dạng lợng giác xác định 2 Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lợng giác của số phức a) Phơng pháp giải Đa số phức về dạng lợng giác rồi sử dụng các công... thực và phần ảo của mỗi số phức sau a) (1 + i )10 ( 3 + i )9 b) cos i sin ữi 5 (1 + 3i ) 7 3 3 1 1 c ) z 2009 + 2009 , nếu z + = 1 z z Bài giải 10 10 2(cos 4 + i sin 4 ) (1 + i ) = 9 9 ( 3 + i) 2(cos + i sin 6 6 5 5 a) Xét số phức 25 (cos + i sin ) 2 2 = 3 3 29 (cos + i sin ) 2 2 1 1 = 4 (cos + i sin ) = 2 16 1 Vậy phần thực bằng , phần ảo bằng 0 16 b) Xét số phức 5 7 cos ... cos 4 + i sin 4 = 1 i 3 3 3 2 2 Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức đợc xác định nh trên Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lợt là điểm biểu diễn các số phức z 0 , z 1 , z 2 Khi đó uu uu uu ur ur ur OA = OB = OC = 1; 2 ã AOB = ; 3 2 ã BOC = 3 Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều C Câu hỏi và bài tập Bài 1: Viết các số phức sau dới dạng lợng giác: a 1 - i 3 b ( 1 - i 3 )(1 + i) c 1 ... 2: Tuỳ theo góc , hãy viết số phức sau dới dạng lợng giác (1 cos i sin )(1 + cos + i sin ) Bài giải Xét số phức z = (1 cos i sin )(1 + cos + i sin ) , ta có 2 2 z = (2sin cos )(2 cos + i.2sin cos ) 2 2 2 2 2 = 4sin cos (sin i cos )(cos + i sin ) 2 2 2 2 2 2 = 2sin (sin cos + sin cos i(cos 2 sin 2 )) 2 2 2 2 2 2 = 2sin [ sin i cos ] Hay z = 2sin (sin - icos ... của chúng bằng 0? Bài 6: Rút gọn hết dấu căn ở mỗi biểu thức sau d 1 - itan a, 4 1 b, 8 1 c, 1 i d, 3 1 3 i 2 2 Bài 7: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm là gốc toạ độ 0, các cạnh song song với các trục toạ độ và có độ dài bằng 4 Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn của số thực z a, Nằm trong hình vuông b, Nằm trên đờng chéo củahình vuông Bài 8: Chứng minh rằng 2 a z1 z 2 + 1 + z1 z2 2 = (1+... Với mỗi số phức z = a + bi: Tính r = a 2 +b 2 Tính cos = a b ,sin = từ đó suy ra acgumen của z r r Sử dụng công thức lợng giác của số phức cho ta z = r (cos + i sin ) b) Các ví dụ Ví dụ 1: Viết các số phức sau dới dạng lợng giác a )(1 i 3)(1 + i ) c ) z = sin + i cos b) 1 i 3 1+ i Bài giải ) + i sin( ) ; còn 1 + i = 2 cos + i sin Do đó 3 3 4 4 (1 i 3)(1 + i ) = 2 2 cos( ) + . Chuyên đề: số phức Chủ đề1: dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức A. củng cố kiến thức 1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa. giác của số phức A. Kiến thức cần nhớ I. Số phức dới dạng lợng giác. 1. Acgumen của số phức z 0 y Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Khi đó số đo (radian). bậc hai của số phức và phơng trình bậc hai A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa căn bậc hai của số phức Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z 2 = w đợc gọi là một căn bậc hai của số phức w. a)