SKKN giai pt l­uong giac

Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số MỤC LỤC Trang Mở đầu ………………………………………………………………………. 2 Phần I : Phương pháp chung để giải phương trình lượng giác………… 3 Phần II : Các ví dụ minh hoạ……………………………………………… 4 Phần III : Một số bài tập áp dụng………………………………………… 15 Phần IV : Kết luận…………………………………………………………… 15 Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 1 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số Më ®Çu 1. Lý do chọn đề tài - Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình toán trung học phổ thông và thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi . Phương trình lượng giác rất đa dạng và không thể có phương pháp chung nào đề giải mọi phương trình lượng giác nên học sinh thường thấy lúng túng trong việc phân tích, lựa chọn cách giải phù hợp, ngắn gọn. Để giúp học sinh phần nào trong việc định hướng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp với các bài toán trong chương trình toán THPT ( chương trình chuẩn), tôi đã nghiên cứu đề tài : “Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực không chứa tham số “ 2. Giới hạn của đề tài - Phương trình lượng giác rất đa dạng nhưng có thể nói có hai dạng riêng biệt là: Phương trình chứa tham số và phương trình không chứa tham số (phương trình dạng đại số). Những phương trình lượng giác mẫu mực đã có cách giải cụ thể ở sách giáo khoa vì vậy ở đây tôi chỉ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình không chứa tham số ở những phương trình không mẫu mực. 3. Mục tiêu, nhiệm vụ * Mục tiêu - Sau khi đề tài được thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và giải một số bài tập mẫu học sinh có thể vận dụng giải những bài tập trong sách giáo khoa sách bài tập phần nào giúp học sinh thuận tiện hơn trong quá trình học và quá trình ôn tập củng cố kiến thức chuần bị cho các kỳ thi. * Nhiệm vụ. - Phân loại các phương trình lượng giác không mẫu mực. - Chỉ ra các phương pháp giải mỗi dạng phương trình lượng giác đó. - Đưa ra một số ví dụ minh học có lời giải và một số bài tập để học sinh vận dụng. 4. Cơ sở lý luận của đề tài - Về lý luận: dựa vào kiến thức về cung và góc lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt ở đại số lớp 10 - Phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản và phương trình lượng giác mẫu mực (Đại số và giải tích lớp 11). - Về thực tiễn: dựa vào yêu cầu của các đề thi vào các truờng Cao đẳng và Đại học. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu qua SGK và SGV, Sách nâng cao và các tài liệu tham khảo khác. - Tổng kết kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. - Trao đổi cùng các đồng nghiệp. Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 2 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số - Điều tra khảo sát chất lượng học sinh. Phần I. Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c - Thông thường để giải phương trình lượng giác ta phải thực hiện các bước sau: * Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì sử dụng phép biến đổi tương đương đưa về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác * Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của các cung khác nhau thì sử dụng phép biến đổi tương đương đưa về phương trình chỉ chứa các hàm lượng giác của một cung. - Sau khi biến đổi như trên nếu phương trình nhận được không có dạng quen thuộc thì tiếp tục thực hiện một trong hai hướng sau. * Hướng thứ nhất : Biến đổi phương trình đã cho về các phương trình đơn giản quen thuộc. Các phương pháp biến đổi theo hướng này gồm có + Phương pháp đặt ẩn phụ : Đưa phương trình lượng giác về việc giải phương trình đại số. + Phương pháp hạ bậc : Nếu phương trình cần giải có bậc cao thì dùng công thức hạ bậc để biến đổi về bậc thấp hơn. + Phương pháp biến đổi thành phương trình tích. + Phương pháp đánh giá hai vế * Hướng thứ hai : Dùng lập luận để khẳng định phương trình cần giải là vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất 0 x x= . Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 3 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số Phần II. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ Bài toán 1: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1; Giải phương trình ( ) 2 1 2 1 tan 2 3 cos x x = − − + (1) ; ĐK 0 3 x π < < Gi¶i : Do 0 3 x π < < nên cosx > 0, ta có 2 2 (1) 1 tan ( 2 1) tan 2 3 tan ( 2 1) tan 2 2 0 x x x x ⇔ + = − − + ⇔ − − + − = . Đặt tanx = t ta được phương trình 2 1 ( 2 1) 2 2 0 2 2 t t t t =  − − + − = ⇔  = −  vì 0 3 x π < < <=> 0 tan 3x< < do đó chỉ nhận t = 1 t = 1 <=> tanx = 1 <=> 4 x π = (V× 0 3 x π < < ) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 4 x π = Ví dụ 2 : Giải phương trình tan2x + cotx = 8 cos 2 x Điều kiện để phương trình có nghĩa là ( ) 2 1.1 2 4 2 x k x k x k x k π π π π π π   ≠ + ≠ +   ⇔     ≠ ≠   * Xét hai khả năng sau + Nếu 2 x k π π = + khi đó tan2x + cotx - 8 cos 2 x = 0 Vả lại chúng thoả mãn ĐK (1.1) nên 2 x k π π = + ; k Z ∈ là một nghiệm của phương trình đã cho. *) Nếu 2 x k π π ≠ + ( và thoả mãn (1.1)) . Khi đó viết phương trình đã cho dưới dạng 2 2 2 tan 1 8 1 tan tan 1 tan x x x x + = − + Đặt tanx = t ( ) 0; 1t t≠ ≠ ta có phương trình: Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 4 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 4 3 2 2 2 2 2 1 8 1 1 2 1 1 8 1 8 2 8 1 0 8 1 8 2 0 ( 0) 1 1 8 4 0 * t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t + = − + ⇔ + + − = − ⇔ + + − + = ⇔ + + − + = ≠     ⇔ − + − + =  ÷  ÷     Đặt 1 y t t = − khi đó đưa (*) trở về phương trình y 2 +8y + 4 =0 4 2 3y⇔ = − ± (chú ý rằng 1 sin cos cos 2 tan cot 2 cot 2 cos sin sin cos x x x t x x x t x x x x − − = − = − = = − ) Ta có hai trường hợp sau 5 5 1/ cot 2 2 3 tan cot ( ) 12 12 24 2 5 2 / cot 2 2 3 tan cot ( ) 12 12 24 2 x x k k Z x x k k Z π π π π π π π π = − = = ⇔ = + ∈ = + = = ⇔ = + ∈ Đối chiếu với ĐK (1.1) ta suy ra mọi nghiệm đều chấp nhận được . Tóm lại phương trình đã cho có các nghiệm là: 5 ; ; ( ) 24 2 24 2 2 x k x k x k k Z π π π π π π = + = + = + ∈ Chú ý : *, Nếu dùng phép biến đổi t = sinx hoặc t = cosx thì không có gì đáng nói. *, Nếu thực hiện phép biến đổi t = tanx ( hoặc t = cotx) thì lưu ý các điểm sau đây : +, Nếu trong ĐK của phương trình đã có 2 x k π π ≠ + ( ) x k π ≠ thì việc đặt ẩn phụ t=tanx (t = cotx) không phạm sai lầm gì. +, Nếu trong ĐK của phương trình không có 2 x k π π ≠ + ( ) x k π ≠ thì việc đặt ẩn phụ ( ) t tanx t cotx = = mà không xét thêm khả năng 2 x k π π = + ( x k π = ) có thể sẽ dẫn đến mất nghiệm. Bài toán 2: Dùng phương pháp hạ bậc B1: Đặt ĐK để phương trình có nghĩa ( nếu cần) B2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng một trong các công thức hạ bậc sau. Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 5 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1.sin 1 cos 2 2 1 2.cos 1 cos 2 2 sin 1 cos 2 3.tan cos 1 cos 2 cos 1 cos 2 4.cot sin 1 cos 2 1 5.sin .cos sin 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x = − = + − = = + + = = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 6.sin 3sin sin 3 4 1 7.cos 3cos cos 3 4 3sin sin 3 8.tan 3cos cos3 3cos cos 3 9.cot 3sin sin 3 x x x x x x x x x x x x x x x x = − = + − = + + = − Ví dụ1 : Giải phương trình Sin 2 x + sin 2 2x +sin 2 3x + sin 2 4x = 2 (2) Giải : Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos 2 sin 2 α α − = Ta cã: (2) ⇔ 1 - cos2x + 1 - cos4x + 1 - cos6x + 1 - cos8x = 4 ⇔ 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0 ⇔ os5x. cos3x + 2. cos5x. cosx = 0 ⇔ s5x (cos3x + cosx ) = 0 ⇔ os5x. cos2x. cosx = 0 ⇔ 10 5 cos5x =0 cos2x =0 ( ) 4 2 cosx =0 2 x k x k k Z x k π π π π π π  = +      ⇔ = + ∈       = +   Chú ý: nghiệm ; ( ) 2 x k k Z π π = + ∈ không nằm trong nghiệm ; ( ) 10 5 x k k Z π π = + ∈ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ; ; 10 5 2 x k x k k Z π π π π = + = + ∈ - Để kết luận chính xác nghiệm của phương trình này học sinh cần biết biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác một cách thành thạo - Với những phương trình chứa số lẻ các hạng tử bậc cao ( ví du 2 ) thông thường ta không hạ bậc tất cả các hạng tử mà chỉ chọn ra 2 hạng tử để hạ bậc Ví dụ: Giải phương trình Sin 2 x = cox 2 2x+ cox 2 3x (3) Gi¶i: TX§: D = R Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 6 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số 2 2 1 cos 2 1 cos 4 (3) cos 3 2cos 3 (cos 4 cos 2 ) 0 2 2 x x x x x x − + ⇔ = + ⇔ + + = ⇔ ( ) 2 2cos 3 2cos3 .cos 0 cos3 cos cos3 0x x x x x x+ = ⇔ + = 2cos 2 .cos .cos3 0 2 2 4 2 cos 2 0 cos 0 , ( ) 2 2 cos3 0 3 2 6 3 x x x x k x k x x x k x k k Z x x k x k π π π π π π π π π π π π ⇔ =   = + = +   =       ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈     =      = + = +     Vậy phương trình có các họ nghiệm 4 2 ( ) 2 6 3 x k x k k Z x k π π π π π π  = +    = + ∈    = +   Chú ý: Với những phương trình bậc cao hơn bậc 3 ta hạ bậc dần . Cụ thể ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 4 sin cosx + 1 4 4 x π   + =  ÷   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 cos 2 1 cos(2 ) 1 cos 2 1 sin 2 1 4 4 2 4 x x x x π   ⇔ − + + + = ⇔ − + − =  ÷   . 2 cos 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sin 2 4 4 2 2 2 4 4 ( ) 3 2 2 4 4 4 x x x x x k x k k Z x k x k π π π π π π π π π π π     ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =  ÷  ÷      = + = +    ⇔ ⇔ ∈   = +  + = +    Vậy phương trình có 2 họ nghiệm ( ) 4 x k k Z x k π π π =   ∈  = +  Bài toán 3: Biến đổi phương trình lượng giác đã cho thành phương trình tích Phương pháp chung : Việc biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích cần lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1 : Biến đổi tổng, hiệu thành tích. Cách 2 : Lựa chọn phép biến đổi cos2x . Cách 3 : Phương pháp luận hệ số. Cách 4 ; Sử dụng phép biến đổi hỗn hợp. Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 7 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số 0 . 0 0 A A B B =  = ⇔  =  trong đó các phương trình A=0, B=0 là các phương trình dạng chuẩn CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ Dạng 1: Biến đổi tổng, hiệu thành tích Ví dụ 1 Giải phương trình : 1+ cosx + cos2x + cos3x = 0 (4) Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1 : (4) <=>( 1 + cos2x ) + ( cos3x + cosx ) = 0 ⇔ 2cos 2 x + 2cos2x.cosx = 0 ⇔ 2cosx ( cosx + cos2x) = 0 3 2cos .cos .cos 0 2 2 cos 0 cos 0 2 2 2 cos 0 ( ) 3 23 cos 0 3 2 cos 0 3 3 2 2 2 x x x x x x k x k x k Z x kx x k x π π π π π ππ π ⇔ =  =    = = + = +      ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ ∈     =    = + = +    =     Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2 ( ) 2 3 3 x k k Z k x π π π π  = +  ∈   = +   Cách 2 : Biến đổi về phương trình chứa một hàm lượng giác rồi biến đổi thành tích (4) ⇔ 2 3 1 cosx 2cos x – 1 4 cos x – cos3x 0+ + + = 3 2 4cos x 2cos x 2 cosx 0⇔ + − = ( ) 2 2cos x cosx – 1 cosx 0⇔ + = ⇔ 1 2(cos 1)(cos ) cos 0 2 x x x+ − = cos 0 2 2 cos 1 2 ( ) 2 1 cos 2 3 3 2 3 x k x x k x x k k Z k x x x k π π π π π π π π π π   = +    = = +    ⇔ = − ⇔ = + ⇔ ∈       = +  = = ± +      Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2 ( ) 2 3 3 x k k Z k x π π π π  = +  ∈   = +   Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 8 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số Nhận xét: Cách 1 tỏ ra đơn giản hơn nhưng ta thấy nếu VP là hằng số khác 0 hoặc chứa tham số thì cách 2 là sự lựa chọn đúng đắn. Ví dụ 2: Giải phương trình ; ( ) 1 sinx cos3x cosx sin2x cos2x 5+ + = + + Giải : ( ) ( ) ( ) 5 1 cos2x sinx cos3x cosx sin2x 0⇔ − + + − − = 2 2sin x sinx 2sin2x.sinx 2sinx.cosx 0⇔ + − − = ( ) 2sinx 1 4sinxcosx 2cosx sinx 0⇔ + − − = ( ) ( ) 2sinx 1 1 2cosx sinx 0⇔ + − = 2 1 3 cos 2 sin 0 ( ) 2 1 6 sin 7 2 2 6 x k x x k x k Z x k x x k π π π π π π π  = ± +   =   =    ⇔ = ⇔ ∈  = − +    = −    = +   Vậy phương trình có 5 họ nghiệm 2 3 ( ) 2 6 7 2 6 x k x k k Z x k x k π π π π π π π  = ± +   =   ∈ = − +    = +   Nhận xét : Trong lời giải trên sở dĩ ta lựa chọn cách gom như vậy bởi nhận thấy rằng chúng đều có chung nhân tử sinx. Dạng 2: Lựa chọn phép biến đổi cos2x . Ví dụ : Giải phương trình ( ) 3 2cos x cos2x sinx 0 6+ + = Giải: ( 3 2 6) 2cos x 2cos x 1 sinx 0⇔ + − + = ( ) 2 2 cosx 1 cos x sinx 1 0⇔ + + − = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 cosx 1 1 – sin x sinx 1 0 + + − = ⇔ ( ) 1 sinx− [ ( ) ( ) 2 cosx 1 1 sinx 1+ + − ] = 0 ⇔ ( ) 1 sinx− [ ( ) 1 2 sinx.cosx 2 sinx cosx+ + + ] = 0 ⇔ ( ) 1 sinx− [ ( ) ( ) 2 sinx cosx 2 sinx cosx+ + + ] = 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) 1 sinx sinx cosx sinx cosx 2 0− + + + = Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 9 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa tham số ⇔ 1 sin 0 sin 1 sin cos 0 sin 0 sin cos 2 0( ) 4 x x x x x x x vn π − = =     + = ⇔     + =  ÷   + + =     ⇔ 2 2 2 2 ( ) 4 4 x k x k k Z x k x k π π π π π π π π   = + = +   ⇔ ∈     + = = − +     Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 2 2 ( ) 4 x k k Z x k π π π π  = +  ∈   = − +   Nhận xét: Trong cách giải trên ta lựa chọn phép biến đổi cos2x = 2cos 2 x – 1 bởi hai hạng tử còn lại là 2cos 3 x ( cos có hệ số 2 ) và sinx ( sin có hệ số 1 ) . Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi cos2x = 1 – 2sin 2 x Cụ thể ta xét ví dụ sau Giải phương trình : 2sin 3 x - cos2x + cosx = 0 (7) Giải (7) ⇔ 2sin 3 x - 1 + 2 sin 2 x + cosx = 0 ⇔ 2 ( sinx + 1 )sin 2 x + cosx - 1 = 0 ⇔ 2(sinx + 1) ( 1 - cos 2 x) + cosx - 1 = 0 ⇔ (1- cosx) (2(sinx + 1)( 1 + cosx) - 1) = 0 ⇔ (1- cosx) (1+2sinx.cosx + 2( sinx + cosx) ) = 0 ⇔ ( 1- cosx) (sinx + cosx) 2 +2(sinx + cosx)) = 0 ⇔ ( 1- cosx) (sinx + cosx)(sinx + cosx+2) = 0 1 os 0 os 1 sin cos 0 sin 0 sin cos 2 0( ) 4 2 ( ) 4 c x c x x x x x x vn x k k Z x k π π π π − = =     ⇔ + = ⇔     + =  ÷  + + =      =   ⇔ ∈  = − +  Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 2 ( ) 4 x k k Z x k π π π =   ∈  = − +  - Nhận xét: Như vậy chúng ta đã có được phương pháp suy luận trong lựa chọn hai hướng biến đổi cho cos2x. Trong trường hợp có hệ số đối xứng ta sẽ lựa chọn phép biến đổi Cos2x = cos 2 x - sin 2 x. Cụ thể ta xét ví dụ sau Giải phương trình : sin 3 x+cos 3 x = cos2x (8) Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 10 [...]... : trong li gii trờn khi chuyn phng trỡnh v dng n ta la chn phộp bin i cos2x = 1 2sin2x bi khi ú s kh c s hng t do v cựng vi nhn xột cỏc phn t cũn li u cha sinx Ngi thc hin : Li Th Thanh Tr 11 Trng THPT Lờ Hng Phong Sỏng kin kinh nghim Mt s phng phỏp gii phng trỡnh lng giỏc khụng cha tham s Dng 3: Phng phỏp lun h s Vớ d 1 Gii phng trỡnh : cosx + cos3x + 2 cos5x = 0 (10) Gii : (10) ( cos5x + cosx )... x cos2 x 2).s inx = 0 cos2 x = 1 cos2 x = 1 2 x = 2 + k 2 2 2 cos2 x = cos2 x = = cos2 3 3 x = k s inx = 0 s inx = 0 x = + k (k Z ) x = k Ngi thc hin : Li Th Thanh Tr 12 Trng THPT Lờ Hng Phong Sỏng kin kinh nghim Mt s phng phỏp gii phng trỡnh lng giỏc khụng cha tham s x = + k Vy phng trỡnh cú 2 h nghim x = k (k Z ) Nhn xột : Chỳng ta cng cú th gii vớ d trờn theo phng phỏp... dn n h n 2 cos x = cos x ( *) Cú 4 kh nng sau: 1) Nu m,n cựng chn khi ú s inx = 0; s inx = 1 k x= 2 cos x = 0; cos x = 1 ( *) (k Z ) 2) Nu m,n cựng l Khi ú Ngi thc hin : Li Th Thanh Tr 13 Trng THPT Lờ Hng Phong Sỏng kin kinh nghim Mt s phng phỏp gii phng trỡnh lng giỏc khụng cha tham s s inx = 0; s inx = 1 x = k 2 , x = + 2k 2 cos x = 0; cos x = 1 ( *) (k Z ) 3) Nu m chn, n l Khi ú s inx... phng trỡnh ó cho tng ng vi h sau: 1 2 2 sin x = cos x = 2 8 2 sin x = sin x cos8 x = cos 2 x (I) 2 2 Do sin x = cos x = Ngi thc hin : Li Th Thanh Tr 14 1 sin 8 x < sin 2 x v cos8x < cos2x 2 Trng THPT Lờ Hng Phong Sỏng kin kinh nghim Mt s phng phỏp gii phng trỡnh lng giỏc khụng cha tham s ( I ) vụ nghim, tc l phng trỡnh ó cho vụ nghim Phần iii : một số bài tập áp dụng Gii cỏc phng trỡnh sau: 3 2... tt vo gii bi tp C th: S HS bit ỏp dng gii bi Nm hc 2007 - 2008 2008 2009 S HS bit ỏp dng gii bi tp khi cha thc hin ti 15% 13% tp sau khi thc hin ti 50% 55% Ngi thc hin : Li Th Thanh Tr 15 Trng THPT Lờ Hng Phong Sỏng kin kinh nghim Mt s phng phỏp gii phng trỡnh lng giỏc khụng cha tham s Mc dự ó c gng bng vic tham kho rt nhiu cỏc ti liu vit v xin ý kin úng gúp ca cỏc ng nghip v a vo ging dy cho... nghip tụi cú nhn thc hon thin hn, y hn v cú tỏc dng trong thc t ging dy Tụi xin chõn thnh cm n! Hà Giang, ngày 25 tháng 04 năm 2009 Ngời viết Lại Thị Thanh Trà Ngi thc hin : Li Th Thanh Tr 16 Trng THPT Lờ Hng Phong . dụng………………………………………… 15 Phần IV : Kết luận…………………………………………………………… 15 Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 1 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa. việc định hướng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp với các bài toán trong chương trình toán THPT ( chương trình chuẩn), tôi đã nghiên cứu đề tài : “Một số phương pháp giải phương trình lượng. trình giảng dạy. - Trao đổi cùng các đồng nghiệp. Người thực hiện : Lại Thị Thanh Trà Trường THPT Lê Hồng Phong 2 Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không chứa