MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN THI HKII . KHỐI 11 A.GIỚI HẠN ÔN TẬP : I. Đại Số : (7 điểm ) 1. Tính giới hạn của hàm số ( 2 điểm ) 2. Hàm số liên tục ( 1 điểm ) - Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . - Chứng minh rằng phương trình có nghiệm . 3. Tính đạo hàm của hàm số ( 3 điểm ) 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( 1 điểm ) II. Hình Học : ( 3 điểm ) 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( 1,5 điểm ) 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ( 1 điểm ) 3. Tính khoảng cách ( 0,5 điểm ) B. BÀI TẬP ÔN TẬP : I.Tính giới hạn của hàm số : Baøi 1: Tính các giới hạn sau : a) →− + + − 2 4 5 4 lim 4 x x x x b) → + − − + 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x c) 2 1 3 1 lim 1 x x x x →− + − − d) →− − + 2 1 1 lim 1 x x x e) → − − 3 2 2 8 lim 4 x x x f) →− − + 4 3 2 16 lim 8 x x x g) → − + − 2 2 1 3 2 lim 1 x x x x h) →− − + + + 2 3 2 6 lim 8 x x x x i) →− + + − − + 2 2 2 2 5 2 lim 3 5 2 x x x x x j) → − + − 2 2 lim 7 3 x x x k) →− − − − − − 2 3 1 2 lim 3 10 3 x x x x l) → + − − + 2 2 4 1 3 lim 5 6 x x x x *m) 2 0 1 1 lim x x x → + − *n) → + − + − 4 5 2 1 lim 4 x x x x *o) → − + − 3 3 1 1 lim 4 4 2 x x x Baøi 2: Tính các giới hạn sau : a) →−∞ − + − 3 lim 2 1 x x x b) 2 2 1 lim 2 1 x x x x →+∞ + − + c) →+∞ + − − − + 3 3 2 2 3 4 lim 3 2 x x x x x d) →−∞ + − + 2 3 2 2 1 lim 3 2 x x x x e) →−∞ + + − + 3 2 2 1 lim 3 2 x x x x x f) →+∞ + + − + 3 2 5 1 lim 3 2 x x x x x g) ( ) →−∞ − + + 3 2 lim 1 x x x h) ( ) →−∞ − − 4 2 lim 2 3 x x x i) →+∞ − + 2 lim 4 3 x x x j) ( ) →−∞ + + − 2 lim 2 3 x x x x k) 2 lim x x x x →+∞ + − ÷ l) ( ) →−∞ + + 2 lim 3 x x x x *m) 2 lim 2 1 4 4 3 x x x x →+∞ − − − − ÷ *n) 3 1 1 3 lim 1 1 x x x → − ÷ − − Baøi 3: Tính các giới hạn sau : a) 2 15 lim 2 x x x + → − − b) − → − − 3 1 2 lim 3 x x x c) + → − + − 2 2 3 3 lim 2 x x x x d) 2 2 4 lim 2 x x x + → − − e) 2 2 2 lim 2 5 2 x x x x + → − − + f) − → − − − 2 1 2 1 lim 1 x x x x *g) →0 sin3 lim x x x *h) → − 2 0 1 cos lim x x x *i) → − 0 sin sin3 lim x x x x Trang 1 II. Hm s liờn tc : Bi 1: Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau ti cỏc 0 x ch ra : a) ( ) 2 4 nờu 2 2 4 nờu 2 x x f x x x = + = ti 0 2x = b) ( ) 2 2 4 3 nờu 1 1 nờu 1 x x x f x x x x + = = ti 0 1x = c) ( ) 1 nờu 1 3 nờu 1 x x f x x x + > = ti 0 1x = b) ( ) 2 2 5 2 nờu 2 2 1 nờu 2 x x x x f x mx x + < = + ti 0 2x = Bi 2: Chng minh cỏc phng trỡnh sau cú nghim : a) 3 2 3 4 7 0x x x+ = trong khong ( ) 2;0 b) 3 2 5 0x x+ = trong khong ( ) 1;2 c) 5 1 0x x+ + = d) 3 2 10 7 0x = cú ớt nht 2 nghim . III. Tớnh o hm ca hm s : Cỏc quy tc tớnh o hm ( ) ' ' ' 'u v w u v w+ = + ( ) . ' .( )'k u k u= ( k l hng s ) ( ) . ' '. 'u v u v uv= + ' 2 ' 'u u v uv v v = ữ ( ) 0v ( ) ' 0k = ( k l hng s ) ( ) ' 1x = o hm cỏc hm s thng gp o hm hm hp cỏc hm s thng gp ( ) ' 1n n x nx = ' 2 k k x x = ữ ( ) ' 1 2 x x = ( ) ' sin cosx x= ( ) ' cos sinx x= ( ) ' 2 1 tan cos x x = ( ) ' 2 1 cot sin x x = ( ) ' 1 . ' n n u nu u = ' 2 . 'k k v v v = ữ ( ) ' ' 2 u u u = ( ) ' sin '.cosu u u= ( ) ' cos '.sinu u u= ( ) ' 2 ' tan cos u u u = ( ) ' 2 ' cot sin u u u = Baứi 1: Tớnh ủaùo haứm cuỷa caực haứm soỏ sau: 1) 2 7 10y x x= + + 2) 2 2 8 6y x x= + 3) 2 4 5 2 x y x= + + 4) = 2 3 x y x 2x 5 2 5) = + 3 2 x x y x 5 3 2 6) 3 2 2 3 2y x x= + + 7) 4 2 3 2y x x= + 8) 4 2 3 2y x x x= + + 9) 4 3 2 2 4 1 2 3 x x y x= + 10) = y (3x 2)(1 5x) 11) = + 2 y (2 x) x 1 12) ( ) ( ) 2 1 3 2y x x x= + 13) 3 y 2x 1 = + 14) 2x 1 y 1 3x + = 15) = + 3x 4 y 2x 2 16) 2 x 3x 3 y x 1 + = 17) 2 2x 4x 1 y x 3 + = 18) = + 2 3x 2 y x x 2 19) 1 1 y x x = + 20) 1 3 2 5 y x x = + + 21) ( ) 2 2 1 3 1 y x x = Trang 2 Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 4 y (x x 1)= + + b) 2 5 y (1 2x )= − c) 3 2x 1 y x 1 + = ÷ − d) 2 3 (x 1) y (x 1) + = − e) 2 2 1 y (x 2x 5) = − + f) ( ) 4 2 y 3 2x= − Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 y 2x 5x 2= − + b) = − + 2 y x 4x 3 c) y x x= + d) 2 y (x 2) x 3= − + e) 2 4x 1 y x 2 + = + f) 2 4 x y x + = *g) 3 x y x 1 = − *h) 3 y (x 2)= − *i) ( ) 3 y 1 1 2x= + − Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) = −y 3cosx 2sinx b) = + y tanx cot x c) π = − ÷ 2 y tan 2x 3 d) = − 1 1 y sinx cosx e) = + 2 y x sin 2x f) = −y sin2x cos2x g) = +y 1 2tanx h) = + 2 2 1 y sin 3x cos x Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 sinx y 1 cosx = ÷ + b) y x.cosx= c) 3 y sin (2x 1)= + d) ( ) = + 2 y 1 cot x e) π = + ÷ y sin x 4 f) y sinx 2x= + g) = + + 3 5 2 1 y tanx tan x tan x 3 5 h) 2 3 y 2sin 4x 3cos 5x= − * i) 2 3 y (2 sin 2x)= + *k) ( ) =y tan sinx *l) 2 x 1 y cos x 1 + = ÷ ÷ − Bài 6: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) =y cosx b) =y x.sinx c) π = + 3 y sin ( 2x) 6 d) ( ) = + + 2 2 y 1 x x e) = + + 2 y 5 4x x f) = + + 4 3 y x x 2x g) = + 2 2 y x x h) = − + + 4 2 x x y 2x 1 4 2 i) 3 2 3 4 3 x y x x= + + − Bài 7: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx= + . a) Tính f'(x),f''(x) b) Tính f''( ), f'' ,f''(1) 2 π π ÷ Bài 8: Giải các phương trình và các bất phương trình sau : a) 3 2 ' 0 cho 6 1 3 2 x x y y x= = − − + b) 5 3 ' 0 cho 12 5 3 x x y y x= = − − c) 3 2 ' 4 cho 2 3 3 2 x x y y x≤ = + − + d) 4 2 ' 0 cho 2y y x x≥ = − Trang 3 IV. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 , y 0 ) (C)∈ hoặc tại điểm 0 x : + Tính '( )f x và 0 '( )f x + Do 0 ?x = suy ra 0 y + Viết phương trình tiếp tuyến dạng: 0 0 0 y y f'(x )(x x )− = − (*) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại diểm có tung độ 0 y : + Ta có 0 0 ( )y f x= , giải phương trình tìm 0 x + Viết pptt với ( ) C tại các điểm 0 x 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x 0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: 0 f (x ) k′ = (ý nghóa hình học của đạo hàm) + Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm 0 0 y f(x ).= + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) Bài 1: Cho hàm số 4 3 1 x y x − = − có đồ thị ( ) C . a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có hồnh độ bằng 2 . b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có tung độ bằng 7 2 − . Bài 2: Cho hàm số (C): = = − + − 3 2 x y f(x) 2x 3x 1 3 Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm M(3 ; -1) . b) Tại điểm có hoành độ x 0 = -3. c) Tại điểm có tung độ bằng -1 . d) Song song với đường thẳng x – y + 10 = 0. e)Vuông góc với đường thẳng x + 2y -3 = 0. Bài 3: Cho hàm số (C): = = − + 3 2 y f(x) x 5x 2 Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm M(1 ; -2) . b) Tại điểm có hoành độ x 0 = -2 . c) Tại điểm có tung độ bằng 2 . Bài 4: Cho hàm số (C): 1 ( ) 1 x y f x x + = = − . Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm M(2 ; 3) . b) Tại điểm có hoành độ x 0 = -2 . c) Tại điểm có tung độ bằng 2 . Bài 5: Cho hàm số − + = = − 2 x x 2 y f(x) x 1 (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. Bài 6: Cho hàm số 3x 1 y f(x) 1 x + = = − (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: 1 y x 100 2 = + . Trang 4 Bài 7: Cho hàm số (C): 3 2 y x 3x .= − a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm I(1, –2). b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có hoành độ bằng 4 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có tung độ bằng 0 . V. PHẦN HÌNH HỌC Bài 1: Cho tứ diện đều có các cạnh đều bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a. Chứng minh ( ) AB MCD⊥ và ( ) ( ) ABN BCD⊥ . b. Gọi H là trực tâm tam giác BCD. Chứng minh ( ) AH BCD⊥ và tính chiều cao hình chóp. c. Tính khoảng cách giữa AB và CD . Bài 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vng cân tại C, ( ) AB BCD⊥ , BC a= và 6AD a= . Kẻ BH,BK lần lượt vng góc với AC,AD tại H và K . a. Chứng minh ( ) CD ABC⊥ và ( ) ( ) BHK ACD⊥ . b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) BCD và khoảng cách từ B đến ( ) ACD Bài 3: Cho tam giác ABD vng cân tại A và tam giác BCD vng tại D lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vng góc với nhau. Gọi M là trung điểm của BD, AN là đường cao của tam giác ABC và MH là đường cao của tam giác AMN. Cho biết 6AD CD a= = . a. Chứng minh ( ) AM BCD⊥ và ( ) MH ABC⊥ . b. Chứng minh ( ) ( ) ACD ABD⊥ . c. Tính khoảng cách từ AM đến BC và khoảng cách từ H đến ( ) mp BCD . Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, có các cạnh đều bằng a . a. Chứng minh ( ) ( ) SAC SBD⊥ . b. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,AB,BC. Chứng minh ( ) ( ) MNP ABCD⊥ . c. Tính khoảng cách S đến ( ) mp ABCD và khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) MNP và ( ) SAC . Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a , ( ) SA ABCD⊥ và góc hợp bởi SC với mặt đáy bằng 0 60 . Kẻ AM và AN lần lượt vng góc với SB và SD. a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vng. b. Gọi P là trung điểm SC. Chứng minh ( ) OP ABCD⊥ và ( ) ( ) AMN SAC⊥ . c. Tính khỏng cách từ A đến SC và khỏng cách từ OP đến AB . Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng đáy lớn AD và ( ) SA ABCD⊥ . Cho biết ; 2BC a AD a= = và · 0 90ACD = . Kẻ AH và AK lần lượt vng góc với SB và SC . a. Chứng minh ( ) AH SBC⊥ b. Chứng minh ( ) ( ) AHK SCD⊥ c. Biết góc hợp bởi SD với mặt đáy bằng 0 30 . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy . Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng đáy lớn AD và ( ) SA ABCD⊥ . Cho biết ; 2SA AB BC a AD a= = = = . Gọi M,H lần lượt là trung điểm của AD và SM . a. Chứng minh ( ) AH SCM⊥ b. Chứng minh ( ) ( ) SAB SBC⊥ c. Tính khoảng cách giữa AB và SC, AB và SD . Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên ( ) SA ABCD⊥ và ; 2AB a AD a= = . a. Chứng minh ( ) ( ) SAC SBD⊥ . Trang 5 b. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Chứng minh ( ) SC AHK⊥ . c. Biết góc giữa SB với mặt đáy bằng đáy bằng 0 60 . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC. Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB BC a = = ; 2AC a= và ' 2 3AA a= .M là trung điểm AA’. a. Chứng minh ( ) ' 'AB BB C C⊥ và ( ) ( ) ' 'MBC AA B B⊥ . b. Tính khoảng cách giữa AA' và BC. Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB BC a = = ; 2AC a= và M là trung điểm AC. b. Chứng minh 'AB BC ⊥ và ( ) ( ) ' ' 'BC M AA C C⊥ . c. Tính khoảng cách giữa AA' và BC. Bài 11: Cho hình lập phương ACBD.A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và A’B’ các cạnh đều bằng a. a. Chứng minh ( ) ( ) ' 'MAD CDD C⊥ và ( ) ' 'AC BB DD⊥ . b. Tính khoảng cách BD và B’C’ và khoảng cách giữa MN và CC’. Bài 12: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a= = = . a. Chứng minh các mặt phẳng ( ) ( ) ( ) , ,OBC OAC OAB đôi một vuông góc. b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ( ) ( ) ABC OAM⊥ . c. Tính khoảng cách giữa OA và BC và khoảng cách từ O đến ( ) mp ABC . Bài 13: Cho hình chóp OABC có OA OB OC a= = = và · · · 0 0 0 120 ; 60 ; 90AOC BOA BOC= = = . a. Chứng minh tam giác ABC vuông . b. Gọi M là trung điểm AC. Chứng minh tam giác BOM vuông. c. Chứng minh ( ) ( ) OAC ABC⊥ , tính khoảng cách từ O đến ( ) ABC . Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, 2CA CB a = = , hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAC vuông góc với mặt đáy và SA a = .Gọi D là trung điểm của AB. a. Chứng minh ( ) ( ) SCD SAB⊥ b. Tính khoảng cách từ A đến ( ) SBC . c. Tính khoảng cách giữa AB và SC . Bài 15: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a = = = và · · · 0 0 0 60 ; 60 ; 90AOC BOA BOC= = = . a. Chứng minh ABC là tam giác vuông. b. Chứng minh OA BC⊥ . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của OA và BC. Tính khoảng cách giữa OA và BC. Trang 6 . sau: a) = −y 3cosx 2sinx b) = + y tanx cot x c) π = − ÷ 2 y tan 2x 3 d) = − 1 1 y sinx cosx e) = + 2 y x sin 2x f) = −y sin2x cos2x g) = +y 1 2tanx h) = + 2 2 1 y sin 3x cos x Bài. nx = ' 2 k k x x = ữ ( ) ' 1 2 x x = ( ) ' sin cosx x= ( ) ' cos sinx x= ( ) ' 2 1 tan cos x x = ( ) ' 2 1 cot sin x x = ( ) ' 1 . ' n n u nu u = ' 2 ) ' ' 2 u u u = ( ) ' sin '.cosu u u= ( ) ' cos '.sinu u u= ( ) ' 2 ' tan cos u u u = ( ) ' 2 ' cot sin u u u = Baứi 1: Tớnh ủaùo haứm cuỷa caực