Đáp an và đề thi toán vào THPT

cTìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol P và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng t

Đề 1

Bài 1: (8 điểm) Cho parabol

2 1 ( ) :

3

P y= x

.a)Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(2;1).b)Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(2;1)và có hệ số góc m Với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của

đoạn thẳng MN khi m thay đổi

c)Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

Bài 2: (4điểm) Giải hệ phơng trình:

Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn

ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn

1 Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác

2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho

3 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 ý Nội dung Điểm

Phơng trình đờng thẳng d 1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a +

b, suy ra b = 1 - 2a, do đó d 1 : y = ax - 2a+1. 0,50 Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d 1 và (P) là:

Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:

 =  < > ⇔ < >  +

1.3 (2,0 điểm)

Gọi M x y là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P) Ph-0 ( ; ) 0 0

ơng trình đờng thẳng d' qua M 0 và có hệ số góc k là: y kx b= + , đờng thẳng này đi qua M 0 nên y0 =kx0 + ⇔ =b b y0 −kx0, suy ra pt của d':

Giải các hệ phơng trình tích, tổng: 1

6

x y xy

x y xy

+ Vậy khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O) thì

dờng thẳng ED đi qua điểm I cố định và đờng thẳng GF đi qua điểm K cố định 3,0 3.2 Suy ra quĩ tích của I là nửa đờng tròn đờng kính BI (bên phải By,

EBI IBD KBD IBD EBI KBD

BEI BDK BDK BEI

:

+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK.

+ Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng tròn đờng kính AI 3,0

Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là

điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N

1 Chứng minh rằng tích OM ON

AM DNì là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng

OM ON

AM +DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?

2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí của K

để chu vi của tam giác GHK lớn nhất

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bµi ý Néi dung §iÓm

2. 6,0

2.1 (3,0 ®iÓm)

2 2

1

x x y

x y

x y xy

Trên tia đối của tia KG lấy

điểm N sao cho KN = KH

định), do đó ãGNH không

đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới góc

ã 1

4GOH

α = không đổi.

1,5

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính

của cung tròn, suy ra ∆GHK vuông tại H, do đó ãKGH =ãKHG (vì lần lợt

phụ với hai góc bằng nhau) Khi đó, K là trung điểm của cung lớn ẳGH

Vậy: Chu vi của ∆GKH lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn ẳGH 1,5

Đề 3

Bài 1: (8 điểm)

Cho phơng trình 2x2 − 2mx m+ 2 − = 2 0 (1).

1 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt

2 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức 3 3

5 2

x +x =

3 Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị của m để nghiệm

d-ơng của phd-ơng trình đạt giá trị lớn nhất

1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

2 Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa Tính diện tích của hình vuông đó

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 ý Nội dung Điểm

Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ là:

2 2

2 0 2 0

m m P

2

2 0

m m

Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:

2 2

3 0 3

1

1 13

0 2

t = − − < (loại);

2

1 13

0 2

2

9 13 2

2

x = ± −

1,0

0,5

3.2 + Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác

ABC Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'.

vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC tại F Dựng

hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta

có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông 1,0 + Ta có: ' cot 600 1

Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở

trên cạnh BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.

Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.

Bài 1: (7 điểm)

3 Giải hệ phơng trình:

4 4

4 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và ngời song sinh của C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏi trong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?

Bài 3: (7 điểm)

Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau

Đờng tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và

OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính của các

đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bµi ý Néi dung §iÓm

4 4

x y

(v× x y, ≥34> 0 nªn (x y x+ ) ( 2 +y2)+ > 4 0). 1,0 Thay vµo (a): x4 + = 3 4y⇔x4 − 4x+ = ⇔ 3 0 x4 − − 1 4(x− = 1) 0

Nếu y lẻ: y= 1;3;5;7;9 ⇒ y2 = 1;9; 25; 49;81 ⇒ =b 1;5;9 Khi đó 2xy có chữ

số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k phải là số chẵn khác 2

với 1; 5; 9, do đó S không thể là abbb 1,0 Nếu y chẵn: y= 0; 2; 4;6;8 ⇒y2 = 0;4;16;36;64 ⇒ =b 0; 4;6

Với y = 0: k chỉ có thể là 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả 2

điều kiện bài toán.

Với y = 2: k2 = 100x2 + 40x+ 4 Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng chục của k 2 mới là 4, suy ra k2 = 3600 244 3844 + = ≠abbb.

Với y = 4; 6: y2 = 16;36, khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k 2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là k2 ≠abbb.

Với y = 8: y 2 = 64; k2 = 100x2 + 160x+ 64, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì chữ số hàng chục của k 2 mới bằng 4, suy ra k2 = 38 2 = 1444 hoặc

2 88 2 7744

k = = (không thoả điều kiện bài toán).

Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh

Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C:

+ Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu nh thế thì C là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể

là C nên phải là A, do đó A là phái nữ Vậy B khác giới tính với hai ngời còn lại là A và C (cùng là phái nữ) 1,0

+ Nếu C là cha của A thì C chỉ có thể là song sinh với B, theo giả

thiết B phải là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể là C (gt) nên phải là A, suy ra C và B là vợ chồng chứ không phải là

Vậy chỉ có duy nhất trờng hợp B là cha của A và B khác giới tính với hai ngời còn lại là A và C (cùng là phái nữ) 0,5

⇔ =

+ Đờng tròn (O 2 ) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O 2 ở trên tia phân giác

của góc ãBOD , (O2 ) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở trên đờng thẳng nối 2 tâm O và O 2 , chính là giao điểm của tia phân giác

góc ãBOD với (O).

+ Đờng thẳng qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B' và D' là tiếp tuyến chung của (O) và (O 2 ) Do đó (O 2 ) là đờng tròn nội tiếp

+ §êng trßn (O 4 ) cã hai trêng hîp:

2

4 2 2 1 1

22 30 '

R

O O KF

b) Tr ờng hợp 2: (O' 4 ) ở bên phải (O 1 ):

Khi đó: K' là tiếp điểm của 2 đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD

tại E' và F', CD tiếp xúc với (O' 4 ) tại H.

4 2 2 1 4 2 2 '

§Ò 5

Câu 1: (1,5 điểm) So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).

3 2 và 2 3

Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x2 − −1 x2 + =1 0

Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

x 1A

x 1

−

=+

Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

2x2 + 3y = 1 3x2 - 2y = 2

Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự kiến

chia lớp thành các tổ học tập:

- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ

- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ

- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín người

Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?

Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau

Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0 Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) CM.CN = 2R2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn (O,

R) Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

Hết Câu Nội dung – yêu cầu Điểm

Hệ PT có 2 nghiệm là:

0,25 0,75

(4đ) * Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,

số bạn nam được chia vào tổ là y,

0,5

0,75

0,5 0,25 0,5 0,5

· ·

NMP NCD= (hai góc đồng vị)

ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC)

NMP NOP· =· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra MNO NOP· =· ; do đó, OP//MC.

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.

c) ∆CND: ∆COM g g( )

Nên OC CM

CN = CD hay CM.CN = OC.CD = 2R 2

d) Vì MP = OC = R không đổi.

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy

trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song

nói trên.

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5

D C

O

Cho hàm số y = - 2x + 2 có đồ thị (D) và hàm số y = -4x có đồ thị (H)

a) Tìm toạ độ giao điểm của (D) và (H)

b) Tìm trên (H) điểm A(xA , yA) và trên (D) điểm B(xB , yB) thoả mãn các điều kiện: xA+ xB = 0 và 2yA - yB = 15

a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R

b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại M Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM và OFM.

đường thẳng AC, EF và QM đồng qui

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2007-2008

Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)

x A = −12 ; x A = -8

Veỵ hçnh chênh xạc (0,25 â)

a) (1,25 đ)

Ta có AE = AF (t/c tiếp tuyến) và OE = OF = R nên OA là đường trung trực của đoạn

mà OAE = OAM· · Do đó MOA = OAM· ·

OAM

OFM

S = AM OM=

S FM FM = cos OMF·1

mà OMF = EAF = 2EAO· · ·

1 2 1 2

=

c) (1,25 đ)

Suy ra: QD = OM

- Chứng minh QDMO là hình bình hành

Suy ra QM và DO giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

nên I là trung điểm của QM

Vậy AC, EF và QM đồng quy tại I.

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.

b) ∆ABC ~ ∆AEF

c) B DˆF=C DˆE

d) H cách đều các cạnh của tam giác ∆DEF

Bài 5 (1đ) Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Bài 6 (1đ) Giải bất phương trình 2007 < 2008

−x

HẾT

Bài 1b)

x2+7x+10 =x2+5x+2x+10

=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ) (1đ)

Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là

x ≠5và x ≠2

2 2

sông song nên nó là hình bình hành Do đó hai

đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm

của mỗi đường Vậy GH đi qua trung điểm M

của BC

(2đ)

4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác

ABE và ACF vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên

Suy ra DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia

phân giác góc EFD Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam

giác DEF Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF

Gợi ý đáp án Điểm

Hoặc biểu diễn trên trục số :

Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp

logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng

HẾT

Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J

đối xứng nhau qua O M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI,

MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C Đường thẳng đi qua F song song AB cắt

MO, MJ lần lượt tại D và K Gọi H là trung điểm của FG

a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được

b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

ĐÁP ÁN Bài 1: a) x4- x3+ x2- 11x+10=0.

x y

ì =ïï

Û íï =ïî

K D

H C

G E

F

B O

b) Từ câu a suy raDEH· =DFH·

mà DFH· =OCH· Þ OHEC nội tiếp được

Þ OEC· =OHC· =900 Vậy CE là tiếp tuyến của (O).

De 9Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức A =3y3 −10 3x.y2 +31xy−10x 3x

Cho hàm số f(x) =

2 x 2 x

1 x 2 x

b) Với giá trị nào của x thì

4

3 ) x ( 2

Bài 4 (4 điểm):

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy 2 điểm M và E sao cho ME = 12 BC (BM < BE) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH tại N

a) Chứng minh: BM BH = MD HN

b) Chứng tỏ N là một điểm cố định

c) Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006-2007

Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)

a) (1 điểm)

x x 10 xy 10 xy 21 y x 7 y x 3 y

b) (1 điểm)

x y

0

3

x 2

3

x 5

4

3 x 3

2

3 x

x 2

2

0 12 3

x 5

12

16 3

2

5 x

4

3 x

3 2

9

3 2

4

3 x

3(x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 4t 2 ) = 198 + 7t 2

3M = 198 + 7t 2

7 66

1 x x

1 1

1 x

f

− +

=

Với 1 < x 1 < x 2 thì 0 < x 1 - 1 < x 2 - 1 nên: ( )2

1 1 x

1

2 1 x

1 1

1 1

1 x 2 x

4

3

⇔

2 x 2 x

1 x 2 x

⇔ x 2 - 2x - 2 < 0 ⇔ (x - 1) 2 - 3 < 0 ⇔ (x -1 + 3 ) (x - 1 - 3 ) < 0

Từ (1) và (2) suy ra

2

1 < f(x) <

4

3

⇔ 1 - 3 < x < 0 hoặc 2 < x < 1 + 3 Bài 4 (4 điểm)

HN

ME HE

BH

AH BM

AH

BH HN

Do đó:

5

3 BA

BH KA

8

4 8

KA KH 5

KA 3

= ⇒cos(PAI· ) 0,8=

K I

∆ API ( Pˆ = 90 0 ) cọ cos (·PAI)

AI

AP

0,8 cos( )

AP AI

a Xác định m để phương trình sau vơ nghiệm

Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị Biết rằng :

a Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt

b Người 1 biết tiếng Nga, khơng biết tiếng Pháp

c Người 2 biết tiếng Anh, khơng biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người 1 và người 3

d Người 4 khơng biết tiếng Nga, khơng biết tiếng Việt nhưng nĩi chuyện trực tiếp được với người 1

Hỏi mỗi người biết các thứ tiếng nào ?

Bài 4: (4 điểm)

a Cho a ≥ b, x ≥ y Chứng minh (a + b) (x + y) ≤ 2(ax + by) (1)

b Cho a + b ≥ 2 Chứng minh a2006 + b2006 ≤ a2007 + b2007 (2)

Bài 5: (8 điểm)

a Nêu cách dựng và dựng ∆ABC sao cho ·BAC 60= 0và trực tâm H của ∆ABC là

b Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC

c Chứng minh AOH∆ cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A

b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K )

c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = 3

2AK Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?

Đáp án và biểu điểm chấm Toán 9