khtn tpLesbesgue

Tích phân Lesbesgue 1) Định lý hội tụ đơn điệu : Giả sử : + ( ) m m f là dãy hàm khả tích trên n ¡ . + ( ) n m m f x dx    ÷  ÷   ∫ ¡ bị chận trên . Khi đó : tồn tại một hàm f khả tích trên n ¡ sao cho : + m m f f →∞ → h.h + ( ) ( ) n n m m f x dx f x dx →∞ → ∫ ∫ ¡ ¡ . HỆ QUẢ : ( ) n f 0 f 0 f x dx 0 ≥   ⇒ =  =   ∫ ¡ h.h 2) Định lý hội tụ bị chận : Giả sử : + ( ) m m f là dãy hàm khả tích trên n ¡ . + Tồn tại hàm g khả tích trên n ¡ sao cho : ( ) ( ) f x g x ≤ h.h Khi đó : + f khả tích trên n ¡ . + ( ) ( ) n m m lim f x f x dx 0 →∞ − = ∫ ¡ . + ( ) ( ) n n m m lim f x dx f x dx →∞ = ∫ ∫ ¡ ¡ . HỆ QUẢ : Giả sử : + f là hàm đo được trên n ¡ . + g là hàm khả tích trên n ¡ sao cho : ( ) ( ) f x g x ≤ h.h Khi đó : f khả tích trên n ¡ . BÀI TẬP ( Tích phân phụ thuộc tham số ) Bài 1 : Cho hàm số ( ) n f : x a,b → ¡ ¡ ( ) ( ) x, t f x, ta Giả sử : + Với mỗi ( ) t a, b ∈ , hàm ( ) x f x, ta khả tích . + Có hàm khả tích n h : →¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) t b f x, t h x → → . + ( ) ( ) n M : t a,b , f x, t dx M∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ∫ ¡ ¡ . + ( ) ( ) t s f x,t f x,s ≤ ⇒ ≤ . Khi đó : + f khả tích . + ( ) ( ) n n t b lim f x,t dx h x dx → = ∫ ∫ ¡ ¡ . GIẢI Ta phải chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k k t a,b ,t b k f x, t dx h x dx →∞ ∀ ⊂ ↑ → ∞ ⇒ → ∫ ∫ ¡ ¡ Thật vậy , cho một dãy ( ) ( ) ( ) k k k t a,b , t b k⊂ ↑ → ∞ , ta định nghĩa hàm : n k f : →¡ ¡ ( ) ( ) k k x f x f x, t = a Theo giả thiết , ( ) k k f là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ từng điểm về hàm h và : ( ) n k f x dx M, k 1,2, ≤ ∀ = ∫ ¡ Vậy , theo định lý hội tụ đơn điệu , ta có : + f khả tích . + ( ) ( ) n n k t b k lim f x, t dx lim f x, t dx → →∞ = ∫ ∫ ¡ ¡ ( ) ( ) n n k k lim f x dx h x dx →∞ = = ∫ ∫ ¡ ¡ . Bài 2 : Cho hàm số ( ) ( ) ( ) n f : x a,b , x, t f x, t → ¡ ¡ a và ( ) 0 t a, b ∈ . Giả sử : + Với mỗi ( ) t a,b ∈ , hàm số : ( ) x f x, ta đo được . + Có hàm khả tích n g : → ¡ ¡ sao cho với mọi ( ) t a, b ∈ , ta có : ( ) ( ) n f x, t g x , x ≤ ∀ ∈ ¡ . + Có hàm số n h : →¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) 0 t t lim f x, t h x → = . Khi đó : + h khả tích . + ( ) ( ) 0 n t t lim f x, t dx h x → = ∫ ¡ . GIẢI Điều phải chứng minh tương đương với : ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k 0 k k t a,b ,t t f x, t dx h x dx →∞ →∞ ∀ ⊂ → ⇒ → ∫ ∫ ¡ ¡ . Cho một dãy ( ) ( ) k k t a,b ⊂ sao cho : k k 0 t t →∞ → . Định nghĩa : n k f : →¡ ¡ ( ) ( ) k k x f x f x, t = a Theo giả thiết , ta có : + ( ) k k f là dãy hàm đo được trên n ¡ . (1) + ( ) ( ) n k k 1, 2, , f x g x , x ∀ = ≤ ∀ ∈ ¡ . (2) + ( ) ( ) n k k lim f x h x , x →∞ = ∀ ∈¡ . Từ (1)(2) suy ra : ( ) k k f là dãy hàm khả tích trên n ¡ . Vậy , theo định lý hội tụ bị chận , ta có : + h khả tích . + ( ) ( ) 0 n n k t t k lim f x, t dx lim f x, t dx → →∞ = ∫ ∫ ¡ ¡ ( ) ( ) n n k k lim f x dx h x dx →∞ = = ∫ ∫ ¡ ¡ . Bài 3 : Cho hàm số ( ) ( ) ( ) n f : x a,b , x, t f x, t → ¡ ¡ a . Giả sử : + Với mỗi ( ) t a,b ∈ , hàm : ( ) x f x, ta khả tích trên n ¡ . + Với mỗi n x ∈ ¡ , hàm : ( ) t f x, ta khả vi trên (a,b) . + Có hàm khả tích n g : → ¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) n f x, t g x , x, t x a, b t ∂ ≤ ∀ ∈ ∂ ¡ . Khi đó : + Hàm số : ( ) n t f x, t dx ∫ ¡ a khả vi trên (a,b) . + ( ) ( ) n n d f x, t dx f x, t dx dt t ∂ = ∂ ∫ ∫ ¡ ¡ . GIẢI Điều phải chứng minh tương đương với : Với mọi dãy số ( ) k k h sao cho : ( ) ( ) ( ) k k k h 0 t h a,b t a, b →∞   →   + ∈ ∈  thì ta phải có : ( ) ( ) ( ) n n k k k f x, t h f x,t dx f x,t dt h t →∞ + − ∂ → ∂ ∫ ∫ ¡ ¡ . Cho dãy số ( ) k k h sao cho : ( ) ( ) ( ) k k k h 0 t h a,b t a, b →∞   →   + ∈ ∈  . Định nghĩa hàm số : ( ) ( ) ( ) kn k k k f x, t h f x, t f : ,f x h + − → =¡ ¡ Theo công thức Lagrange : ( ) ( ) ( ) k k k f x, t h f x,t f x h + − = ( ) ( ) ( ) n k x, t h g x 0 1 , x , k t ∗ ∂ = + θ ≤ < θ < ∀ ∈ ∀ ∈ ∂ ¥¡ . Vậy , ta có dãy hàm khả tích trên n ¡ là ( ) ( ) ( ) k k k f x f x, t t →∞ ∂ → ∂ Theo định lý hội tụ bị chận , ta có hàm ( ) f x, t t ∂ ∂ khả tích trên n ¡ . ( ) ( ) ( ) n n n k k k f x, t h dx f x, t dx d f x, t dt lim dt h →∞ + − = ∫ ∫ ∫ ¡ ¡ ¡ ( ) ( ) n k k k f x,t h f x, t lim dx h →∞ + − = ∫ ¡ . ( ) ( ) n n k k lim f x dx f x, t dx t →∞ ∂ = = ∂ ∫ ∫ ¡ ¡ . Bài 4 : ( Định lý Leibnitz) Cho các hàm số ( ) f : x a, b → ¡ ¡ và ( ) v : a,b → ¡ . Giả sử : + Hàm v khả vi trên (a,b) . + Với mỗi ( ) t a, b ∈ , hàm số : ( ) x f x, ta liên tục trên ¡ . + Tồn tại ( ) f x, t t ∂ ∂ , với mỗi x ∈ ¡ . + Tồn tại hàm khả tích g : → ¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) f x, t g x , x, t x a,b t ∂ ≤ ∀ ∈ ∂ ¡ . Khi đó : + Hàm số : ( ) ( ) v t 0 t f x, t dx ∫ a khả vi trên (a,b) . + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) v t v t 0 0 d f x, t dx f v t ,t v' t f x,t dx dt t ∂ = +    ∂ ∫ ∫ . Giải Vì v khả vi trên (a,b) nên để chứng minh hàm : ( ) ( ) v t 0 t f x, t dt ∫ a khả vi trên (a,b) ta chỉ cần chứng minh hàm ( ) ( ) ( ) y 0 F: x a,b ,F y, t f x, t dx → = ∫ ¡ ¡ khả vi trên (a,b) . Xét một dãy ( ) k k k h 0 →∞ → . Định nghĩa hàm số : k f : →¡ ¡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k f x, t h f x, t f x f x, t h ; 0,1 h t + − ∂ = = + θ θ∈ ∂ Ta có : ( ) ( ) k k F y,t h F y,t h + − ( ) ( ) y y k 0 0 k f x, t h dx f x, t dx h + − = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) y y k k k 0 0 f x, t h f x, t dx f x dx h + − = = ∫ ∫ . Ta có : + ( ) k k f là dãy hàm đo được trên ¡ . + ( ) ( ) ( ) k f x x h g x , x t ∂ = +θ ≤ ∀ ∈ ∂ ¡ . + ( ) ( ) k k f x f x, t t →∞ ∂ → ∂ Vậy , theo định lý hội tụ bị chặn , ta có : + Hàm ( ) f x, t t ∂ ∂ khả tích trên ¡ . + ( ) ( ) ( ) ( ) y h 0 0 F y,t h F y,t f x, t dx F y,t lim t t h → + − ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) y y k k k k k 0 0 F y, t h F y, t lim lim f x dx f x, t dx h t →∞ →∞ + − ∂ = = = ∂ ∫ ∫ Vậy , hàm F(y,t) khả vi trên (a,b) . Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp : ( ) ( ) ( ) v t 0 d d f x, t dx F v t , t dt dt =     ∫ ( ) ( ) ( ) F v t , t v t F v t , t t y t t t ∂ ∂ ∂ ∂ = +        ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) v t 0 f v t ,t v' t f x, t dx t ∂ = +    ∂ ∫ . Bài 5 : Cho f là hàm số đo được trên ¡ .Giả sử có M > 0 và 1 α > sao cho : ( ) M f x 1 x α ≤ + h.h. Chứng minh f khả tích . Giải Theo hệ quả của định lý hội tụ bị chặn , ta chỉ cần chứng minh hàm số ( ) 1 g x 1 x α = + khả tích . Với mỗi n = 1 , 2 , … , đặt : ( ) ( ) ( ) ( ) n g x x n g x 0 x n  ≤  =  >   . Ta có : + Hàm n g khả tích Riemann nên khả tích Lebesgue . + ( ) n n g là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ về g h.h. + ( ) n 1 1 n n n 1 n 1 dx dx dx dx g x dx 1 x 1 x 1 x 1 x − α α α α − − − = = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ¡ 1 1 n n 1 1 n 1 1 dx dx dx 2n 2 dx 2 2 2 1 1 x x x − −α+ α α α − − ≤ + + = + = + − −α + −α + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) n 2 g x dx , n 1 1 α ⇒ ≤ ∀ ≥ α − ∫ ¡ . Vậy,dãy ( ) n g x dx ∫ ¡ bị chặn trên Theo Định lý hội tụ đơn điệu, ta có g khả tích , suy ra f khả tích . Bài 6 : Cho : ( ) ( ) 0 M 0;x a,b ; 0,1 > ∈ α∈ và hàm số f đo được trên [a,b] sao cho : ( ) 0 M f x x x α ≤ − h.h. Chứng minh f khả tích Lebesgue . Giải Theo hệ quả của Định Lý Hội Tụ Bị Chặn , ta chỉ cần chứng minh hàm số : ( ) 0 1 g x x x α = − khả tích trên [a,b] . Chọn số dương δ khá nhỏ sao cho : [ ] ( ) 0 0 x , x a,b − δ +δ ⊂ . Đặt : ( ) n n 1 n δ δ = ≥ và hàm số : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n 0 n g x x x g x 0 x x  − ≥ δ  =  − < δ   . Ta có : + Hàm số n g liên tục h.h trên [a,b] nên khả tích Riemann , do đó khả tích Lebesgue . + ( ) n n g là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ h.h về hàm g . + ( ) ( ) ( ) 0 n 0 n 0 n 0 n x x b b n a a x x g x dx g x dx 0.dx g x dx −δ +δ −δ +δ = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 n 0 n x b a x 0 0 dx dx x x x x −δ α α +δ = + − − ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 n n x a b x 1 1 1 1 −α −α −α −α − − δ δ = − − + −α −α − α −α ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 x a b x 2 b a 1 1 1 −α −α −α − − = − ≤ − −α −α −α . ( ) b n a n g x dx    ÷ ⇒  ÷   ∫ bị chặn . Theo Định Lý Hội Tụ Đơn Điệu , ta có g khả tích . Vậy , theo Định Lý Hội Tụ Bị Chặn , ta có f khả tích . Bài 7 : Cho M 0; 1 > α ≥ và hàm số f đo được trên [a,b] sao cho : ( ) 0 M f x x x α ≥ − h.h trên [a,b] . Chứng minh f không khả tích . Giải Theo Định Lý Hội Tụ Bị Chặn , ta chỉ cần chứng minh hàm số ( ) 0 1 g x x x α = − không khả tích trên [a,b] . Giả sử g khả tích . Chọn 0 δ > đủ bé sao cho : [ ] ( ) 0 0 x , x a,b − δ + δ ⊂ . Đặt : ( ) n n 1 n δ δ = ≥ . Xét dãy hàm số : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n 0 n g x x x g x 0 x x  − ≥ δ  =  − < δ   . Vì hàm số n g khả tích Riemann trên [a,b] nên khả tích Lebesgue trên [a,b] . Vậy , ( ) n n g là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ h.h về hàm g . (*) a/ Trường hợp 1 α > : ( ) ( ) ( ) 0 n 0 n 0 n 0 n x x b b n a a x x 0 dx g x dx 0.dx g x dx x x −δ +δ α −δ +δ = + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) n 1 1 1 n 0 0 1 1 1 2 1 1 1 x a b x →∞ α− α− α−     = − + + → ∞ α − α −   δ − −   ( ) b n a n g x dx    ÷ ⇒  ÷   ∫ không bị chặn trên . (**) Vậy , g không khả tích vì nếu g khả tích thì do (*) ta suy ra : ( ) ( ) b b n a a g x g x dx↑ < ∞ ∫ ∫ .Điều này trái với (**) . Vậy , f không khả tích . b/ Trường hợp 1 α = :