1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

khtn tpLesbesgue

29 107 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 29
Dung lượng 1,06 MB

Nội dung

Tích phân Lesbesgue 1) Định lý hội tụ đơn điệu : Giả sử : + ( ) m m f là dãy hàm khả tích trên n ¡ . + ( ) n m m f x dx    ÷  ÷   ∫ ¡ bị chận trên . Khi đó : tồn tại một hàm f khả tích trên n ¡ sao cho : + m m f f →∞ → h.h + ( ) ( ) n n m m f x dx f x dx →∞ → ∫ ∫ ¡ ¡ . HỆ QUẢ : ( ) n f 0 f 0 f x dx 0 ≥   ⇒ =  =   ∫ ¡ h.h 2) Định lý hội tụ bị chận : Giả sử : + ( ) m m f là dãy hàm khả tích trên n ¡ . + Tồn tại hàm g khả tích trên n ¡ sao cho : ( ) ( ) f x g x ≤ h.h Khi đó : + f khả tích trên n ¡ . + ( ) ( ) n m m lim f x f x dx 0 →∞ − = ∫ ¡ . + ( ) ( ) n n m m lim f x dx f x dx →∞ = ∫ ∫ ¡ ¡ . HỆ QUẢ : Giả sử : + f là hàm đo được trên n ¡ . + g là hàm khả tích trên n ¡ sao cho : ( ) ( ) f x g x ≤ h.h Khi đó : f khả tích trên n ¡ . BÀI TẬP ( Tích phân phụ thuộc tham số ) Bài 1 : Cho hàm số ( ) n f : x a,b → ¡ ¡ ( ) ( ) x, t f x, ta Giả sử : + Với mỗi ( ) t a, b ∈ , hàm ( ) x f x, ta khả tích . + Có hàm khả tích n h : →¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) t b f x, t h x → → . + ( ) ( ) n M : t a,b , f x, t dx M∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ∫ ¡ ¡ . + ( ) ( ) t s f x,t f x,s ≤ ⇒ ≤ . Khi đó : + f khả tích . + ( ) ( ) n n t b lim f x,t dx h x dx → = ∫ ∫ ¡ ¡ . GIẢI Ta phải chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k k t a,b ,t b k f x, t dx h x dx →∞ ∀ ⊂ ↑ → ∞ ⇒ → ∫ ∫ ¡ ¡ Thật vậy , cho một dãy ( ) ( ) ( ) k k k t a,b , t b k⊂ ↑ → ∞ , ta định nghĩa hàm : n k f : →¡ ¡ ( ) ( ) k k x f x f x, t = a Theo giả thiết , ( ) k k f là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ từng điểm về hàm h và : ( ) n k f x dx M, k 1,2, ≤ ∀ = ∫ ¡ Vậy , theo định lý hội tụ đơn điệu , ta có : + f khả tích . + ( ) ( ) n n k t b k lim f x, t dx lim f x, t dx → →∞ = ∫ ∫ ¡ ¡ ( ) ( ) n n k k lim f x dx h x dx →∞ = = ∫ ∫ ¡ ¡ . Bài 2 : Cho hàm số ( ) ( ) ( ) n f : x a,b , x, t f x, t → ¡ ¡ a và ( ) 0 t a, b ∈ . Giả sử : + Với mỗi ( ) t a,b ∈ , hàm số : ( ) x f x, ta đo được . + Có hàm khả tích n g : → ¡ ¡ sao cho với mọi ( ) t a, b ∈ , ta có : ( ) ( ) n f x, t g x , x ≤ ∀ ∈ ¡ . + Có hàm số n h : →¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) 0 t t lim f x, t h x → = . Khi đó : + h khả tích . + ( ) ( ) 0 n t t lim f x, t dx h x → = ∫ ¡ . GIẢI Điều phải chứng minh tương đương với : ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k 0 k k t a,b ,t t f x, t dx h x dx →∞ →∞ ∀ ⊂ → ⇒ → ∫ ∫ ¡ ¡ . Cho một dãy ( ) ( ) k k t a,b ⊂ sao cho : k k 0 t t →∞ → . Định nghĩa : n k f : →¡ ¡ ( ) ( ) k k x f x f x, t = a Theo giả thiết , ta có : + ( ) k k f là dãy hàm đo được trên n ¡ . (1) + ( ) ( ) n k k 1, 2, , f x g x , x ∀ = ≤ ∀ ∈ ¡ . (2) + ( ) ( ) n k k lim f x h x , x →∞ = ∀ ∈¡ . Từ (1)(2) suy ra : ( ) k k f là dãy hàm khả tích trên n ¡ . Vậy , theo định lý hội tụ bị chận , ta có : + h khả tích . + ( ) ( ) 0 n n k t t k lim f x, t dx lim f x, t dx → →∞ = ∫ ∫ ¡ ¡ ( ) ( ) n n k k lim f x dx h x dx →∞ = = ∫ ∫ ¡ ¡ . Bài 3 : Cho hàm số ( ) ( ) ( ) n f : x a,b , x, t f x, t → ¡ ¡ a . Giả sử : + Với mỗi ( ) t a,b ∈ , hàm : ( ) x f x, ta khả tích trên n ¡ . + Với mỗi n x ∈ ¡ , hàm : ( ) t f x, ta khả vi trên (a,b) . + Có hàm khả tích n g : → ¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) n f x, t g x , x, t x a, b t ∂ ≤ ∀ ∈ ∂ ¡ . Khi đó : + Hàm số : ( ) n t f x, t dx ∫ ¡ a khả vi trên (a,b) . + ( ) ( ) n n d f x, t dx f x, t dx dt t ∂ = ∂ ∫ ∫ ¡ ¡ . GIẢI Điều phải chứng minh tương đương với : Với mọi dãy số ( ) k k h sao cho : ( ) ( ) ( ) k k k h 0 t h a,b t a, b →∞   →   + ∈ ∈  thì ta phải có : ( ) ( ) ( ) n n k k k f x, t h f x,t dx f x,t dt h t →∞ + − ∂ → ∂ ∫ ∫ ¡ ¡ . Cho dãy số ( ) k k h sao cho : ( ) ( ) ( ) k k k h 0 t h a,b t a, b →∞   →   + ∈ ∈  . Định nghĩa hàm số : ( ) ( ) ( ) kn k k k f x, t h f x, t f : ,f x h + − → =¡ ¡ Theo công thức Lagrange : ( ) ( ) ( ) k k k f x, t h f x,t f x h + − = ( ) ( ) ( ) n k x, t h g x 0 1 , x , k t ∗ ∂ = + θ ≤ < θ < ∀ ∈ ∀ ∈ ∂ ¥¡ . Vậy , ta có dãy hàm khả tích trên n ¡ là ( ) ( ) ( ) k k k f x f x, t t →∞ ∂ → ∂ Theo định lý hội tụ bị chận , ta có hàm ( ) f x, t t ∂ ∂ khả tích trên n ¡ . ( ) ( ) ( ) n n n k k k f x, t h dx f x, t dx d f x, t dt lim dt h →∞ + − = ∫ ∫ ∫ ¡ ¡ ¡ ( ) ( ) n k k k f x,t h f x, t lim dx h →∞ + − = ∫ ¡ . ( ) ( ) n n k k lim f x dx f x, t dx t →∞ ∂ = = ∂ ∫ ∫ ¡ ¡ . Bài 4 : ( Định lý Leibnitz) Cho các hàm số ( ) f : x a, b → ¡ ¡ và ( ) v : a,b → ¡ . Giả sử : + Hàm v khả vi trên (a,b) . + Với mỗi ( ) t a, b ∈ , hàm số : ( ) x f x, ta liên tục trên ¡ . + Tồn tại ( ) f x, t t ∂ ∂ , với mỗi x ∈ ¡ . + Tồn tại hàm khả tích g : → ¡ ¡ sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) f x, t g x , x, t x a,b t ∂ ≤ ∀ ∈ ∂ ¡ . Khi đó : + Hàm số : ( ) ( ) v t 0 t f x, t dx ∫ a khả vi trên (a,b) . + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) v t v t 0 0 d f x, t dx f v t ,t v' t f x,t dx dt t ∂ = +    ∂ ∫ ∫ . Giải Vì v khả vi trên (a,b) nên để chứng minh hàm : ( ) ( ) v t 0 t f x, t dt ∫ a khả vi trên (a,b) ta chỉ cần chứng minh hàm ( ) ( ) ( ) y 0 F: x a,b ,F y, t f x, t dx → = ∫ ¡ ¡ khả vi trên (a,b) . Xét một dãy ( ) k k k h 0 →∞ → . Định nghĩa hàm số : k f : →¡ ¡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k f x, t h f x, t f x f x, t h ; 0,1 h t + − ∂ = = + θ θ∈ ∂ Ta có : ( ) ( ) k k F y,t h F y,t h + − ( ) ( ) y y k 0 0 k f x, t h dx f x, t dx h + − = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) y y k k k 0 0 f x, t h f x, t dx f x dx h + − = = ∫ ∫ . Ta có : + ( ) k k f là dãy hàm đo được trên ¡ . + ( ) ( ) ( ) k f x x h g x , x t ∂ = +θ ≤ ∀ ∈ ∂ ¡ . + ( ) ( ) k k f x f x, t t →∞ ∂ → ∂ Vậy , theo định lý hội tụ bị chặn , ta có : + Hàm ( ) f x, t t ∂ ∂ khả tích trên ¡ . + ( ) ( ) ( ) ( ) y h 0 0 F y,t h F y,t f x, t dx F y,t lim t t h → + − ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) y y k k k k k 0 0 F y, t h F y, t lim lim f x dx f x, t dx h t →∞ →∞ + − ∂ = = = ∂ ∫ ∫ Vậy , hàm F(y,t) khả vi trên (a,b) . Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp : ( ) ( ) ( ) v t 0 d d f x, t dx F v t , t dt dt =     ∫ ( ) ( ) ( ) F v t , t v t F v t , t t y t t t ∂ ∂ ∂ ∂ = +        ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) v t 0 f v t ,t v' t f x, t dx t ∂ = +    ∂ ∫ . Bài 5 : Cho f là hàm số đo được trên ¡ .Giả sử có M > 0 và 1 α > sao cho : ( ) M f x 1 x α ≤ + h.h. Chứng minh f khả tích . Giải Theo hệ quả của định lý hội tụ bị chặn , ta chỉ cần chứng minh hàm số ( ) 1 g x 1 x α = + khả tích . Với mỗi n = 1 , 2 , … , đặt : ( ) ( ) ( ) ( ) n g x x n g x 0 x n  ≤  =  >   . Ta có : + Hàm n g khả tích Riemann nên khả tích Lebesgue . + ( ) n n g là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ về g h.h. + ( ) n 1 1 n n n 1 n 1 dx dx dx dx g x dx 1 x 1 x 1 x 1 x − α α α α − − − = = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ¡ 1 1 n n 1 1 n 1 1 dx dx dx 2n 2 dx 2 2 2 1 1 x x x − −α+ α α α − − ≤ + + = + = + − −α + −α + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) n 2 g x dx , n 1 1 α ⇒ ≤ ∀ ≥ α − ∫ ¡ . Vậy,dãy ( ) n g x dx ∫ ¡ bị chặn trên Theo Định lý hội tụ đơn điệu, ta có g khả tích , suy ra f khả tích . Bài 6 : Cho : ( ) ( ) 0 M 0;x a,b ; 0,1 > ∈ α∈ và hàm số f đo được trên [a,b] sao cho : ( ) 0 M f x x x α ≤ − h.h. Chứng minh f khả tích Lebesgue . Giải Theo hệ quả của Định Lý Hội Tụ Bị Chặn , ta chỉ cần chứng minh hàm số : ( ) 0 1 g x x x α = − khả tích trên [a,b] . Chọn số dương δ khá nhỏ sao cho : [ ] ( ) 0 0 x , x a,b − δ +δ ⊂ . Đặt : ( ) n n 1 n δ δ = ≥ và hàm số : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n 0 n g x x x g x 0 x x  − ≥ δ  =  − < δ   . Ta có : + Hàm số n g liên tục h.h trên [a,b] nên khả tích Riemann , do đó khả tích Lebesgue . + ( ) n n g là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ h.h về hàm g . + ( ) ( ) ( ) 0 n 0 n 0 n 0 n x x b b n a a x x g x dx g x dx 0.dx g x dx −δ +δ −δ +δ = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 n 0 n x b a x 0 0 dx dx x x x x −δ α α +δ = + − − ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 n n x a b x 1 1 1 1 −α −α −α −α − − δ δ = − − + −α −α − α −α ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 x a b x 2 b a 1 1 1 −α −α −α − − = − ≤ − −α −α −α . ( ) b n a n g x dx    ÷ ⇒  ÷   ∫ bị chặn . Theo Định Lý Hội Tụ Đơn Điệu , ta có g khả tích . Vậy , theo Định Lý Hội Tụ Bị Chặn , ta có f khả tích . Bài 7 : Cho M 0; 1 > α ≥ và hàm số f đo được trên [a,b] sao cho : ( ) 0 M f x x x α ≥ − h.h trên [a,b] . Chứng minh f không khả tích . Giải Theo Định Lý Hội Tụ Bị Chặn , ta chỉ cần chứng minh hàm số ( ) 0 1 g x x x α = − không khả tích trên [a,b] . Giả sử g khả tích . Chọn 0 δ > đủ bé sao cho : [ ] ( ) 0 0 x , x a,b − δ + δ ⊂ . Đặt : ( ) n n 1 n δ δ = ≥ . Xét dãy hàm số : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n 0 n g x x x g x 0 x x  − ≥ δ  =  − < δ   . Vì hàm số n g khả tích Riemann trên [a,b] nên khả tích Lebesgue trên [a,b] . Vậy , ( ) n n g là dãy tăng các hàm khả tích hội tụ h.h về hàm g . (*) a/ Trường hợp 1 α > : ( ) ( ) ( ) 0 n 0 n 0 n 0 n x x b b n a a x x 0 dx g x dx 0.dx g x dx x x −δ +δ α −δ +δ = + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) n 1 1 1 n 0 0 1 1 1 2 1 1 1 x a b x →∞ α− α− α−     = − + + → ∞ α − α −   δ − −   ( ) b n a n g x dx    ÷ ⇒  ÷   ∫ không bị chặn trên . (**) Vậy , g không khả tích vì nếu g khả tích thì do (*) ta suy ra : ( ) ( ) b b n a a g x g x dx↑ < ∞ ∫ ∫ .Điều này trái với (**) . Vậy , f không khả tích . b/ Trường hợp 1 α = :

Ngày đăng: 08/07/2014, 03:00

Xem thêm

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w