Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Khái niệm: Là phương trình có dạng ( ) log ( ) log ( ), 1 . = a a f x g x trong đ ó f(x) và g(x) là các hàm s ố ch ứ a ẩ n x c ầ n gi ả i. Cách gi ả i: - Đặ t đ i ề u ki ệ n cho ph ươ ng trình có ngh ĩ a 0; 1 ( ) 0 ( ) 0 > ≠ > > a a f x g x - Bi ế n đổ i (1) v ề các d ạ ng sau: ( ) ( ) ( ) 1 1 = ⇔ = f x g x a Chú ý: - V ớ i d ạ ng ph ươ ng trình log ( ) ( ) = ⇔ = b a f x b f x a - Đẩ y l ũ y th ừ a b ậ c ch ẵ n: 2 log 2 log= n a a x n x , n ế u x > 0 thì log log= n a a n x x - Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng [ ] 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ≥ = ⇔ = g x f x g x f x g x - Các công th ứ c Logarith th ườ ng s ử d ụ ng: ( ) log log ; log log log ; log log log 1 log log ; log log = = = + = − = = a n x x a a a a a a a m a a a b a x a x x xy x y x y y m x x b n a Ví dụ 1. Gi ả i ph ươ ng trình a) log 5 (x 2 – 11x + 43) = 2 b) log 3 (2x + 1) + log 3 (x – 3) = 2 c) ( ) 2 log 2 3 4 2 − − = x x x d) ( ) 2 1 log 3 1 1 + − + = x x x Ví dụ 2. Gi ả i ph ươ ng trình a) ( ) ( ) 4 4 4 log 3 log 1 2 log 8 + − − = −x x b) ( ) lg 9 2lg 2 1 2 − + − = x x c) 2 2 1 log log ( 1)( 4) 2 4 − + − + = + x x x x d) 2 8 8 4 2log (2 ) log ( 2 1) 3 + − + = x x x Ví dụ 3. Gi ả i ph ươ ng trình a) 2 3 4 8 2 log ( 1) 2 log 4 log (4 ) + + = − + + x x x b) 2 2 4 4 4 log ( 1) log ( 1) log 2 − − − = − x x x c) ( ) 2 9 3 3 2log log .log 2 1 1 = + − x x x d) 1 1 5 log (6 36 ) 2 + − = − x x Ví dụ 4. Gi ả i ph ươ ng trình Tài liệu bài giảng: 05. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn a) 4 2 2 4 log (log ) log (log ) = x x b) 2 3 4 20 log log log log+ + = x x x x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 log ( 1) 1 x x − = b) 2 2 log log ( 1) 1 x x + − = c) − − − = 2 1 8 log ( 2) 6.log 3 5 2 x x d) 2 2 log ( 3) log ( 1) 3 x x − + − = Bài 2. Giải các phương trình sau: a) lg( 2) lg( 3) 1 lg5 x x − + − = − b) 8 8 2 2log ( 2) log ( 3) 3 x x − − − = c) lg 5 4 lg 1 2 lg0,18 x x − + + = + d) 2 3 3 log ( 6) log ( 2) 1 x x − = − + Bài 3. Giải các phương trình sau: a) + + − = 2 2 5 1 log ( 3) log ( 1) log 2 x x b) 4 4 log log (10 ) 2 x x + − = c) − − + = 5 1 5 log ( 1) log ( 2) 0 x x d) 2 2 2 log ( 1) log ( 3) log 10 1 x x − + + = − Bài 4. Giải các phương trình sau: a) 9 3 log ( 8) log ( 26) 2 0 x x + − + + = b) + + = 3 1 3 3 log log log 6 x x x c) 2 2 1 lg( 2 1) lg( 1) 2lg(1 ) x x x x + − + − + = − d) + + = 4 1 8 16 log log log 5 x x x Bài 5. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 lg(4 4 1) lg( 19) 2lg(1 2 ) x x x x + − + − + = − b) 2 4 8 log log log 11 x x x + + = c) − + + = + − 1 1 1 2 2 2 log ( 1) log ( 1) 1 log (7 ) x x x d) 1 1 6 log (5 25 ) 2 x x+ − = − Bài 6. Giải các phương trình sau: a) 2 log (2 7 12) 2 x x x − + = b) 2 log (2 3 4) 2 x x x − − = c) 2 2 log ( 5 6) 2 x x x − + = d) 2 log ( 2) 1 x x − = Bài 7. Giải các phương trình sau: a) 2 3 5 log (9 8 2) 2 x x x + + + = b) 2 2 4 log ( 1) 1 x x + + = c) 15 log 2 1 2 x x = − − d) 2 log (3 2 ) 1 x x − = e) 2 3 log ( 3) 1 x x x + + = f) 2 log (2 5 4) 2 x x x − + = Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (tiếp theo) Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 13log2)5(log 3 1 82 =−+− xx b) 2 2 log (4.3 6) log (9 6) 1 − − − = x x c) 1 3 )29(log 2 = − − x x d) 1lg 2 lg 1lg lg2 − +−= − x x x x Ví dụ 2. Giải các phương trình sau a) 4 2 1 2log (10 ) log + − = x x x b) −=+ x x x x 11 4 75 log 2 log 1 3 2 32 c) 2 3 lg( 2 3) lg 0 1 + + − + = − x x x x d) ( ) 9 3 log log 4 5 + = x x Ví dụ 3. Gi ả i các ph ươ ng trình sau a) [ ] { } 4 3 2 2 log 2log 1 log (1 3log ) 1 x + + = b) 4 8 2 log 4log log 13 x x x + + = c) 3 9 81 7 log log log 2 x x x + + = d) x x xx 2log log log.log 125 5 25 5 = Ví dụ 4. Giải các phương trình sau a) 2 2 9 3 3 1 1 log ( 5 6) log log 3 2 2 − − + = + − x x x x b) 8 4 2 2 1 1 log ( 3) log ( 1) log 4 2 4 + + − = x x x c) ( ) 4 1 lg 3 2 2 lg16 lg4 4 2 − − = + − x x x d) 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) + + + − + = + + + − + x x x x x x x x e) 2 1 1 lg( 5) lg5 lg 2 5 + − = +x x x x II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM LOGARITH Ví dụ 1. Gi ả i ph ươ ng trình sau a) 2 2 2 2log 14log 3 0 − + = x x b) 2 3 2 2 log log 4 0 + − = x x c) 3 2 2 2 log (2 ) 2log 9 = − x x d) 3 3 1 log log 3 log log 3 2 + = + + x x x x BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) ( ) ( ) 2 1 1 3 3 log 3 4 log 2 2 x x x + − = + b) ( ) 1 lg lg 1 2 x x = + Tài liệu bài giảng: 05. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn c) 2 1 2 8 1 log log 4 2 x x − = d) ( ) 2 5 log 2 65 2 x x x − − + = Bài 2: Giải các phương trình sau: a) ( ) ( ) lg 3 2lg 2 lg0,4 x x+ − − = b) ( ) ( ) 5 5 5 1 1 log 5 log 3 log 2 1 2 2 x x x + + − = + c) ( ) 2 1 2 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 x x x + + − = − Bài 3: Giải các phương trình sau: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 1 5 log 1 x x − = + − b) ( ) ( ) 2 2 1 4 log 2 8log 2 5 x x − − − = c) 1 1 3 3 log 3. log 2 0 x x − + = d) 2 2 1 2 2 log (4 ) log 8 8 + = x x Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2 2 3 3 log log 1 5 0 x x + + − = b) + + = 2 2 1 2 2 log 3log log 2 x x x c) 5 1 log log 2 5 x x − = d) 7 1 log log 2 7 x x − = e) − − − = 2 2 1 4 log (2 ) 8log (2 ) 5 x x f) 2 5 25 log 4log 5 5 0 x x + − = HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1. Giải các phương trình sau: a) ( ) ( ) 2 1 1 3 3 log 3 4 log 2 2 x x x + − = + b) ( ) 1 lg lg 1 2 x x = + c) 2 1 2 8 1 log log 4 2 x x − = d) ( ) 2 5 log 2 65 2 x x x − − + = a) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 3 2 2 1 4 1 3 4 0 log 3 4 log 2 2 2 2 0 1 2. 2 3 3 4 2 2 6 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x > < − > + − > + − = + ⇔ + > ⇔ > − ⇔ → = = = − + − = + + − = V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x = 2. b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 1 5 0 0 1 1 5 lg lg 1 1 0 2 lg lg 1 2 2 1 2lg lg 1 1 5 2 x x x x x x x x x x x x x x x x > > + > > + = = + ⇔ + > ⇔ ⇔ ⇔ → = = + = + = + − = V ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m 1 5 . 2 x + = c) ( ) 2 1 2 8 1 log log , 3 . 4 2 x x − = Đ i ề u ki ệ n: 8 0 0 8. 0 x x x − > ⇔ < < > Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khi đó ( ) ( ) 1 2 2 2 8 1 8 8 1 3 log log 8 4 4 2 4 4 x x x x x x x x − − − − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ( ) 2 2 8 16 4 0 4. x x x x ⇔ − + = ⇔ − = → = Nghi ệ m x = 4 th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n, v ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x = 4. d) ( ) ( ) 2 5 log 2 65 2, 4 x x x − − + = Điều kiện: ( ) 2 2 5 0 5 5 5 1 4 4 2 65 0 1 64 0, x x x x x x x x x x R − > < < − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ − + > − + > ∀ ∈ Khi đ ó ( ) ( ) 2 2 4 2 65 5 8 40 0 5. x x x x x ⇔ − + = − ⇔ + = → = − Nghi ệ m x = –5 th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n, v ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x = –5. Bình lu ậ n: Trong các ví d ụ 3 và 4 chúng ta c ầ n ph ả i tách riêng đ i ề u ki ệ n ra gi ả i tr ướ c r ồ i sau đ ó m ớ i gi ả i ph ươ ng trình. Ở ví d ụ 1 và 2 do các ph ươ ng trình t ươ ng đố i đơ n gi ả n nên ta m ớ i g ộ p đ i ề u ki ệ n vào vi ệ c gi ả i ph ươ ng trình ngay. Bài 2. Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) ( ) ( ) lg 3 2lg 2 lg0,4 x x+ − − = b) ( ) ( ) 5 5 5 1 1 log 5 log 3 log 2 1 2 2 x x x + + − = + c) ( ) 2 1 2 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 x x x + + − = − a) ( ) ( ) ( ) lg 3 2lg 2 lg0,4, 1 . x x+ − − = Điều kiện: 3 0 3 2. 2 0 2 x x x x x + > > − ⇔ ⇔ > − > > Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 1 lg 3 lg 2 lg0,4 lg lg0,4 0,4 2 2 5 3 0 5 2 2 x x x x x x x x + + ⇔ + − − = ⇔ = ⇔ = = ⇔ − − + = − − 2 7 2 13 7 0 1 2 x x x x = ⇔ − − = → = − Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x = 7. b) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 1 1 log 5 log 3 log 2 1 , 2 . 2 2 x x x+ + − = + Đ i ề u ki ệ n: 5 0 5 3 0 3 3. 2 1 0 1 2 x x x x x x x + > > − − > ⇔ > ⇔ > + > > − Khi đ ó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 5 5 5 5 5 1 1 1 2 log 5 log 3 log 2 1 log 5 3 log 2 1 2 2 2 x x x x x x ⇔ + + − = + ⇔ + − = + ( ) ( ) 2 2 5 3 2 1 2 15 2 1 16 4. x x x x x x x x ⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ = → = ± Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x = 4. c) ( ) ( ) 2 1 2 1 log 4 15.2 27 2log 0, 3 . 4.2 3 x x x + + − = − Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Điều kiện: 4 15.2 27 0, 4.2 3 0 x x x x R + + > ∀ ∈ − > Khi đ ó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 3 log 4 15.2 27 2log 0 log 4 15.2 27 0 4.2 3 4.2 3 x x x x x x ⇔ + + + = ⇔ + + = − − ( ) 2 2 2 2 2 3 1 2 15.2 27 4 15.2 27 1 1 15.2 39.2 18 0 2 4.2 3 16.2 24.2 9 2 0 5 x x x x x x x x x x x = + + ⇔ + + = ⇔ = ⇔ − − = → − − + = − < Giá tr ị 2 3 x = thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được 2 2 3 log 3 x x= ⇔ = là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình. Bài 3. Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 1 5 log 1 x x − = + − b) ( ) ( ) 2 2 1 4 log 2 8log 2 5 x x − − − = c) 1 1 3 3 log 3. log 2 0 x x − + = d) 2 2 1 2 2 log (4 ) log 8 8 + = x x a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 1 5 log 1 , 1 . x x− = + − Điều kiện: x > 1. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1 2log 1 4 t x x x x t = − → − = − = − = Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 2 4 4 1 3 log 1 1 1 1 2 2 1 4 5 0 5 5 log 1 4 4 1 2 1 2 x t x x t t t x x x − = − = − − = = ⇔ − − = ⇔ → ⇔ ⇔ = − = − = = + Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 5 4 3 ; 1 2 . 2 x x= = + b) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 log 2 8log 2 5, 2 . x x− − − = Điều kiện: x < 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log 2 1 8 2 log 2 log 2 5 log 2 4log 2 5 0 log 2 5 2 x x x x x x − = ⇔ − − − = ⇔ − + − − = ⇔ − = − − V ớ i ( ) 2 log 2 1 2 2 0. x x x − = ⇔ − = ⇔ = V ớ i ( ) 2 1 63 log 2 5 2 . 32 32 x x x− = − ⇔ − = ⇔ = C ả hai nghi ệ m đề u th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n, v ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có hai nghi ệ m là 63 0; . 32 x x= = c) ( ) 1 1 3 3 log 3. log 2 0, 3 . x x− + = Đ i ề u ki ệ n: 1 3 0 0 1. log 0 x x x > ⇔ < ≤ ≥ ( ) 2 1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 3 3 1 log 1 log 1 3 3 log 3. log 2 0 log 4 1 log 2 81 x x x x x x x x = = = ⇔ − + = ⇔ ⇔ → = = = C ả hai nghi ệ m đề u th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n, v ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có hai nghi ệ m là 1 1 ; . 3 81 x x= = Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn d) ( ) 2 2 1 2 2 log (4 ) log 8, 4 . 8 + = x x Điều kiện: x > 0. Ta có [ ] ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log (4 ) log (4 ) log (4 ) log 4 log log 2 log log log 8 2log 3 8 = = − = − + = + = − = − x x x x x x x x Khi đ ó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 log 1 4 log 2 2log 3 8 log 6log 7 0 1 log 7 2 128 x x x x x x x x − = = ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = − = = V ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có hai nghi ệ m 1 2; . 128 x x= = . Gi ả i ph ươ ng trình Tài liệu bài giảng: 05. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P1 Thầy Đặng Việt H ng Khóa h c LT H môn Toán – Thầy Đặng Việt H ng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 H c. C ả hai nghi ệ m đề u th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n, v ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có hai nghi ệ m là 1 1 ; . 3 81 x x= = Khóa h c LT H môn Toán – Thầy Đặng Việt H ng (0985.074.831). = Khóa h c LT H môn Toán – Thầy Đặng Việt H ng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 H c offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện H Y H Nội) H c online: www.moon.vn