các phép tính trong phân thức đại số A. Lý thuyết I. Định nghĩa Phân thức đại số là một biểu thức có dạng B A , trong đó A, B là các đa thức , B là đa thức khác 0. A là tử thức, B là mẫu thức. Ví dụ: II. Hai phân thức bằng nhau Cho hai phân thức B A và D C . Khi đó : B A = D C nếu AD = BC Ví dụ: a. 1 1 1 1 23 ++ = xxx x vì (x 1) ( x 2 + x+ 1) = x 3 1 b. 1 1 1 1 23 + = + + xxx x vì (x +1) ( x 2 - x+ 1) = x 3 + 1 III. Tính chất cơ bản của phân thức 1. M.B M.A B A = ( A, B, M là các đa thức và M 0 ) Ví dụ: 32 32 33 32 3 2 yx.z yx.xy z xy = 2. N:B N:A B A = ( A, B là các đa thức và N là nhân tử chung của A và B) Ví dụ: 3. Quy tắc đổi dấu B A B A = B A B A = B A B A = Ví dụ: a) 2 1 2 1 2 1 = = xxx b) 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = xxxx IV. Rút gọn biểu thức Các bớc rút gọn biểu thức Bớc 1: Phân tích tử và mẫu thức của phân thức thành nhân tử. Bớc 2: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung. Ví dụ: Rút gọn các phân thức sau: A = )2)(3( 62 + + xx x B = 96 9 2 2 + xx x C = xx x 43 169 2 2 D = 42 44 2 + ++ x xx E = 4 2 2 2 x xx F = 8 1263 3 2 ++ x xx V. Quy đồng mẫu nhiều phân thức 1. Tìm mẫu chung của nhiều phân thức Muốn tìm mẫu thức chung của những phân thức đã cho ta phải : - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử - Lấy tích của BCNN của các hệ số với các luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức , số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ cao nhất của nó trong các mẫu thức. 1 2. Cách quy đồng mẫu thức: B1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung. B2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. B3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng. Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau: a. yx x 2 , yx x 2+ , 22 4 4 xy xy c. 62 3 +x , xx x 62 6 2 + b. 62 1 + + x x , xx x 3 32 2 + + d. 23 1 x , 2 94 63 23 1 x x , x + VI. Cộng trừ các phân thức 1. Phép cộng các phân thức a. Cộng các phân thức cùng mẫu Ví dụ: a) 9 56 9 53 + + xx b) 3232 11 76 11 75 yx yxy yx yxy + + c) 9 83 9 166 9 5 + + + x x x x x x d) 9 83 8 166 8 5 + + + x x x x x x b. Cộng các phân thức khác mẫu a) 2 4 25 2 3 2 4 x x xx + + + + b) 2 42 1 12 2 2 21 xxx x x x + + c) 22 12 31 yxyx yx x xy yx ++ + + d) 222222 5 2 4 2 3 yxyxyxyxyx + + + ++ 2. Phép trừ các phân thức a. Trừ các phân thức cùng mẫu a) 9 56 9 53 + xx b) 3232 11 75 11 75 yx yxy yx yxy + c) 9 83 9 166 9 5 + x x x x x x d) x x x x x x + 8 83 8 166 8 5 b. Trừ các phân thức không cùng mẫu a) x 2 + 1 - 1 1 2 4 + + x x ` b) x + y - yx yx + + 224 c) 2 9 1 3 21 3 1 x )x(x x x x x + + d) 12 23 1 6 12 23 222 ++ + + xx x xxx x VII. Nhân chia các phân thức 1. Phép nhân phân thức đại số Quy tắc: BD AC D C . B A = Ví dụ: a) 22 3 30 16 4 15 y x . x y b) 2 3 5 3 12 5 13 4 y x . x y c) 2 4 2 22 )yx( x . x yx + 2 d) 22 33 22 22 2 66 2 yxyx yx . yxyx ayax + + ++ e) yx yx . yx yx 1515 88 22 33 + + f) 33 2222 4 1515 55 42 yx yx . yx yxyx + + g) 23 1 12 8 2 2 2 3 ++ + + xx x . xx x 2. Phân thức nghich đảo Cho 0 B A khi đó phân thức A B gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức B A A B B A = 1 Ví dụ: Tự lấy 3. Phép chia phân thức BC AD C D . B A D C : B A == Ví dụ: a) xy yx : yx yx 36 2 22 + b) ab bxax : ba ba 2 3294 22 22 + c) a a : )a( a 33 2020 1 55 2 2 + + d) ab bxax : ba ayax 2 32 42 22 + B. Bài tập: 1. Rút gọn các biểu thức sau: a. 12 1 1 1 2 2 ++ ++ + + xx xx x x :)( b. ( ) ( ) x yxyx yx yx yx 16 44 2 1 4 2 2 1 22 2 22 2 ++ + + + . c. ( ) 22 33 22 11211 yx yx yxyxyx + + + ++ : d. + + + + 1 4 4 2 2 4 3 2 1 22 22 22 yx yx : yxxy y yx g. + + + + x xx yxyxxyxy x 3 3 1 22 2 2 2 22 . h. ++ 2222 1 2 1 yxyxyx : 22 4 xy xy i. 1 36 6 16 6 16 2 2 22 + + + + x x . xx x xx x l. + + + 22 24 ba ab ab b ba a :b ba ab a k. 3 2. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến a) )yx)(xz()xz)(zy()zy)(yx( + + 111 b) 2 4 4 8 42 2 42 2 2 + + x : xx x x x c) )xz)(zy( z )zy)(yx( y )xz)(yx( x + + d) 15 1 1 22 3 22 1 2 2 + + + + xx x x x 3. Chứng minh các đẳng thức sau: a. + + 1 3 1 1 2 3 2 x x x xx : 1 21 = x x x x b. yx x x yx x y y x yxxy yx + = + : 2 2 22 1 c. xyx yx : yxxy y yx 4 1 1 4 4 2 2 4 3 2 1 22 22 22 = + + + + d. xy yy yxyyyxxy y 1 3 3 1 22 2 2 2 22 = + + + + e. yx x x yx : x y y x yxxy yx + = + 2222 1 4. Xác định các hệ số thoả mãn đẳng thức cho trớc. Ví dụ: Xác định các hệ số a, b sao cho ( ) 2 3 2 1 223 5 + + = + x b x a xx x , Với mọi x 2 và x -1 Giải: Ta có x 3 3x -2 = ( x 3 x) 2x -2 = x(x 2 1) 2(x +1) = (x +1) ( x 2 x) - 2(x+1) = (x+1) ( x 2 x 2) = (x+1) 2 ( x-2) Vậy MTC : (x+1) 2 ( x-2) ( ) ( ) ( ) ( ) )x(x bax)ba(ax )x(x )x(bxa x b x a 21 22 21 21 1 2 2 2 2 2 2 + +++ = + ++ = + + Đồng mhất hai tử thức : x 2 +5 = bax)ba(ax 22 2 +++ ta đợc = = = =+ = 2 1 52 02 1 b a ba ba a Bài tập: Xác định các hệ số a, b c, d sao cho 1. 224 410 3 + + += x c x b x a xx x với mọi x 2 , x 2 4 2. 111 1 23 ++ + + − = − xx cbx x a x víi mäi x ≠ 1 5 . b) 3232 11 75 11 75 yx yxy yx yxy + c) 9 83 9 166 9 5 + x x x x x x d) x x x x x x + 8 83 8 166 8 5 b. Trừ các phân thức không cùng mẫu a) x 2 + 1 - 1 1 2 4 + + x x `. a) 9 56 9 53 + + xx b) 3232 11 76 11 75 yx yxy yx yxy + + c) 9 83 9 166 9 5 + + + x x x x x x d) 9 83 8 166 8 5 + + + x x x x x x b. Cộng các phân thức khác mẫu a) 2 4 25 2 3 2 4 x x xx. 22 33 22 22 2 66 2 yxyx yx . yxyx ayax + + ++ e) yx yx . yx yx 1515 88 22 33 + + f) 33 2222 4 1515 55 42 yx yx . yx yxyx + + g) 23 1 12 8 2 2 2 3 ++ + + xx x . xx x 2. Phân thức nghich đảo Cho