mot so bai toan tinh thu vi

Một số bài tập tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính P ( ) ( ) 2 2003 .2013 31.2004 1 2003.2008 4 2004.2005.2006.2007.2008 + + = HD: đặt 2003 = x Tử thức A = [x 2 (x + 10) + 31(x + 1) 1][x(x+5) + 4] A = (x 3 + 10x 2 + 31x + 30)(x + 1)(x + 4) A = (x 3 + 2x 2 + 8x 2 + 16x + 15x + 30)(x + 1)(x + 4) A = (x + 2) (x + 3) (x + 1) (x + 4) (x + 5) Mẫu thức B = (x + 1)(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) Suy ra P = 1 A B = Bài 2: Tính A = Sin 2 1 0 + Sin 2 2 0 + . + Sin 2 89 0 HD: A = (Sin 2 1 0 + Sin 2 89 0 ) + (Sin 2 2 0 + Sin 2 88 0 ) + .+ (Sin 2 44 0 + Sin 2 46 0 ) + Sin 2 45 0 A = (Sin 2 1 0 + Cos 2 1 0 ) + (Sin 2 2 0 + Cos 2 2 0 ) + . + (Sin 2 44 0 + Cos 2 44 0 ) + Sin 2 45 0 A = 44,5 Bài 3: Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 + 2005x + 1 = 0 và x 3 ; x 4 là hai nghiệm của phơng trình x 2 + 2006x + 1 = 0 Tính B = (x 1 + x 3 )(x 2 + x 4 )(x 1 + x 4 )(x 2 + x 3 ) HD: Xét phơng trình x 2 + 2005x + 1 = 0 => 1 2 1 2 2005 . 1 x x x x + = = và phơng trình x 2 + 2006x + 1 = 0 => 3 4 3 4 2006 . 1 x x x x + = = B = (x 1 2 + x 1 x 4 + x 1 x 3 + x 3 x 4 )( x 2 2 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 ) B = [x 1 2 + x 1 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 ] [ x 2 2 + x 2 ( x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 ] B = (x 1 2 + 1 2006x 1 )( x 2 2 2006x 2 + 1) B = x 1 2 x 2 2 - 2006x 1 2 x 2 + x 1 2 + x 2 2 2006x 2 + 1 2006x 1 x 2 2 + 2006 2 x 1 x 2 2006x 1 B = 16088121 Bài 4: Cho các số không âm thoả mãn: a 2005 + b 2005 = a 2006 + b 2006 = a 2007 + b 2007 . Tính giá trị của biểu thức P = a + b HD: ( ) ( ) ( ) ( ) 2005 2005 2005 2005 2006 2006 2005 2005 2007 2007 2006 2006 1 1 0 1 1 0 a a b b a b a b a b a b a a b b + = + = + + = + + = nhân 2 vế với a ( ) ( ) ( ) ( ) 2006 2005 2006 2006 1 1 0(1) 1 1 0(2) a a ab b a a b b + = + = Từ (1) và (2) => b 2005 [a(b 1) b(b 1)] = 0 b 2005 ( b 1)( a b) = 0 (*) Vì a, b 0 Nên (*) 1b a b = = Với b = 1 => a = 1 => P = 2 Với a = b => a = b = 1 => P = 2 Thật vậy a = b. Thay vào ta có a 2005 + b 2005 = a 2006 + b 2006 2a 2005 (1 a) = 0 a = 1 => b = 1 Bài 5: Tính a) A = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x a x b x b x c x c x b c a c b a b a c a b c b + + + + + + + + b) B = ( )( )( ) ( )( )( ) x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z x z + + + + + + + + + (Với a, b, c đôi một khác nhau cho trớc) HD: a) Xét đa thức A là đa thức bậc 2 đối với biến x => A có nhiều nhất 2 nghiệm + Với x = - a => A = 1 + Với x = - b => A = 1 b) Tơng tự B là đa thức bậc 3 đối với biến x hoặc biến y hoặc biến z => B có nhiều nhất 3 nghiệm + Với x = y => B = 0 + Với x = z => B = 0 + Với y = z => B = 0 Bài 6: Tính a) A = 1999 1999 1999 1 1 1 1 2 1000 1000 1000 1000 1 1 1 1 2 1999 + + + ữ ữ ữ + + + ữ ữ ữ => A = 1 với mọi x => B = 0 với mọi x, y , z b) ( ) 2 4 4 4 4 1 1 1 1 1 9 25 2 1n        ÷ − − − −  ÷ ÷ ÷  ÷     −   HD: a) A 1 = 1999 1999 1999 1 1 1 1 2 1000      + + +  ÷ ÷  ÷      = 2000.2001 2999 1000! A 2 = 1000 1000 1000 1 1 1 1 2 1999      + + +  ÷ ÷  ÷      = 1001.1002 2999 1999! => A = 1 2 2999! 1999!.1000! . 1 1999!.1000! 2999! A A = = b) B = 2 2 2 2 2 5 2 1 2 3 2 1 3 1 1 1 1 3 3 5 5 2 3 2 3 2 1 2 1 n n n n n n n n − − − +        − − + − +  ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ − − − −        B = 1 5 3 7 2 3 2 1 3. . . . . 3 3 5 5 2 1 2 1 n n n n − + − − − B = 2 1 2 1 n n + − − Bµi 7: TÝnh Cho x > 0 tho¶ m·n x 2 + 2 1 x = 7. TÝnh N = x 5 + 5 1 x HD: * x 2 + 2 1 x = 7 ⇔ 2 1 1 9 3( 0)x x x x x   + = ⇔ + = >  ÷   * (x 2 + 2 1 x )( 1 x x + ) = 21 ⇔ x 3 + x + 1 x + 3 1 x = 21 * x 3 + 3 1 x = 18 * (x 3 + 3 1 x )( x 2 + 2 1 x ) = 126 ⇔ x 5 + 5 1 x = 123 Bµi 8: Cho a, b, c ≠ 0. TÝnh T = x 2007 + y 2007 + z 2007 BiÕt x, y, z tho¶ m·n: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c + + = + + + + HD: Tõ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c + + = + + + + ⇔ 2 2 x a - 2 2 2 2 x a b c+ + + 2 2 y b - 2 2 2 2 y a b c+ + + 2 2 z c - 2 2 2 2 z a b c+ + = 0 ⇔ x 2 . 2 2 2 2 2 b c a b c + + + + y 2 . 2 2 2 2 2 a c a b c + + + + z 2 . 2 2 2 2 2 a b a b c + + + = 0 Do a, b, c ≠ 0 => x = y = z = 0 => T = x 2007 + y 2007 + z 2007 = 0. Bµi 9: Chøng tá x = 3 3 9 4 5 9 4 5+ + − lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 3 – 3x – 18 = 0 TÝnh x = ? HD: Tõ x = 3 3 9 4 5 9 4 5+ + − ⇔ x 3 = 9 + 4 5 + 9 - 4 5 + 3 ( ) ( ) 2 3 9 4 5 9 4 5+ − + 3 ( ) ( ) 2 3 9 4 5 9 4 5+ − ⇔ x 3 = 18 + 3 3 3 9 4 5 3 9 4 5+ + − ⇔ x 3 – 3x – 18 = 0 *) TÝnh x nh sau x 3 – 3x – 18 = 0 ⇔ x 3 – 27 – 3x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)(x 2 – 3x + 6) = 0 (x 2 – 3x + 6 ≠ 0) ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 Bµi 10: Cho (x + 2 3x + )( 2 3y y+ + ) = 3. TÝnh x + y HD: Ta cã (x + 2 3x + )( 2 3y y+ + ) = 3. Nh©n liªn hîp ta cã (x - 2 3x + ) (x + 2 3x + )( 2 3y y+ + ) = 3(x - 2 3x + ) (x + 2 3x + ) (y + 2 3y + )( 2 3y y− + ) = 3(y - 2 3y + ) ⇔ 2 2 2 2 3 3 3 3 y y x x x x y y  − − + = − +   − − + = − +   ⇔ 2 2 2 2 3 3(1) 3 3(2) x y x y x y y x  + = + − +   + = + − +   Tõ (1) vµ (2) => x + y = 0 Bµi 11: Cho a, b, c tho¶ m·n 2 2 2 0 14 a b c a b c + + =   + + =  TÝnh Q = 99 + a 4 + b 4 + c 4 HD: * Tõ a + b + c = 0 => a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) = 0 => ab + ac + bc = - 7 => a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 +2(a 2 bc + b 2 ac + abc 2 ) = 49 => a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 + 2abc(a+ b + c) = 49 => a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 = 49 * a 2 + b 2 + c 2 = 14 => a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) = 196 => a 4 + b 4 + c 4 = 98 * Q = 99 + a 4 + b 4 + c 4 = 197 Bµi 12: Cho a lµ sè tù nhiªn ®îc viÕt b»ng 222 ch÷ sè 9. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña N mµ N = a 2 + 3 HD: * Cã a = 999 9 = 10… 222 – 1 * a 2 + 3 = (10 222 – 1) 2 + 3 = 10 444 – 2.10 222 + 1 + 3 = 10 222 .98 + 4 * Tæng c¸c ch÷ sè cña sè N lµ: 9 + 8 + 4 = 21 Bµi 13: TÝnh S = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2006 2007 + + + + + + + + + HD: C¸ch 1* TQ ( ) 2 2 1 1 1 1 n n + + + = ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 n n n n n + + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 n n n n + + + + = ( ) 2 1 1 1n n   +  ÷  ÷ +   = 1 1 1 1n n + − + C¸ch 2 *) NÕu a, b, c lµ ba sè bÊt k× tho¶ m·n a + b + c = 0 Ta lu«n cã 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c   + + = + +  ÷   Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c ab ac bc a b c abc a b c + + + + = + + + + + = + + + = + + ữ => 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Bài 14: Tính S = 2 2 2 2007 1 2007 2008 + + HD: S = 2 2 2 1 1 2007 1 2007 2008 + + ữ = 2007 2 2 1 1 1 2007 2008 + + ữ Bài 15: Cho x, y thoả mãn 3 2 2 2 2 2 4 3 0(1) 2 0(2) x y y x x y y + + = + = Tính Q = x 2 + y 2 HD: * Từ (1) có : x 3 = - 2y 2 + 4y 3 = -2(y 2 2y + 1) 1 x 3 = - 2(y 1) 2 1 -1 x -1 (3) * Từ (2) ta có: x 2 + x 2 y 2 = 2y (1 + y 2 ) = 2y x 2 = 2 2 1 y y+ 0 * Do (y 1) 2 = y 2 2y + 1 => y 2 + 1 2y => x 2 = 2 2 1 y y+ 2 2 y y = 1( y 0) => - 1 x 1 (4) * Kết hợp (3) và (4) => x = -1. Thay vào (1) hoặc (2) => y = 1 Vậy Q = 2 Bài 16: Tính tổng a) S = 2 + 2.3 + 3.4 + + 2008.2009 b) S = a + a(a + 1) + + (a + n 1)(a + n) (a, n Z) HD: a) S = 2 + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + + 2008(2008 + 1) S = 2 + 2 2 + 2 + 3 2 + 3 + + 2008 2 + 2008 S = (1 2 + 2 2 + 3 2 + + 2008 2 ) + ( 1+ 2+ 3 + + 2008) S= 2008.(2008 1)(2.2008 1) 2009.1004 6 + + + b) ý b tơng tự Chú ý: S = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 ( n N) S = .( 1)(2. 1) 6 n n n+ + Chứng minh bằng quy nạp * n = 1 => S = 1 đúng * n = 2 => S = 5 = 1 + 2 2 đúng * n = 3 => S = 14 = 1+ 2 2 + 3 2 đúng * Giả sử đúng với n = k tức là ta có S = 1 + 2 2 + + k 2 = .( 1)(2. 1) 6 k k k+ + Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1 Bài 17: Tính S = 1.3 2.4 + 5.7 6.8 + + 1997.1999 1998.2000 HD: S = - 5 13 21 29 - - 3997 S = - 4002.400 800400 2 = Chú ý dãy S = - 5 13 21 29 - - 3997 các số hạng của tổng lập thành cấp số cộng công sai d = - 8 Bài 18: Tính S = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 b c a a + + + + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 c a b b + + + + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 a b a c + + + Trong đó a, b, c > 0 và thoả mãn ab + bc + ca = 1 HD: * ab + bc + ca = 1 (a + c)b = 1 ac b = 1 ac a c + * 1 + b 2 = 1 + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) ac a c a ac c ac a c a c a c + + + + + = + + => 1 + b 2 = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1a c a c + + + * Tơng tự 1 + a 2 = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1b c b c + + + ; 1 + c 2 = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1a b a b + + + * S = a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = ab + ac + ab + bc + ac + bc S = 2 Bài 19: Tính tổng S = a 1 + a 2 + + a 99 với a n = 1 ( 1) 1n n n+ + + ( n = 1, 2, 3, , 99) HD: * Cách 1 a 1 = 1 2 2+ ; a 2 = 1 3 2 2 3+ ; .; a 99 = 1 100 99 99 100+ * Cách 2: Xét tổng quát * a n = 1 ( 1) ( 1)n n n n+ + + = ( 1) 1 ( 1) n n n n n n + + + = 1 1 1n n + * a 1 = 1 - 1 2 ; a 2 = 1 2 - 1 3 ; a 3 = 1 3 - 1 4 ; .; a 99 = 1 99 1 10 => S = a 1 + a 2 + + a 99 = 9 10 Bài 20: Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn hệ: 2 2 3 3 4 4 3 5 9 17 ax by ax by ax by ax by + = + = + = + = Tính giá trị của biểu thức A = ax 5 + by 5 B = ax 2009 + by 2009 HD: * C¸ch 1: ax 2 + by 2 = 5 => 3 2 2 3 5 5 ax by x x ax y by y  + =   + =   Céng vÕ víi vÕ => 9 + 3xy = 5(x + y) (1) * ax 3 + by 3 = 9 => 4 3 3 4 9 9 ax by x x ax y by y  + =   + =   Céng vÕ víi vÕ => 17 + 5xy = 9(x + y) (2) * Tõ (1) vµ (2) => 2 3 xy x y =   + =  * (x + y)(ax 4 + by 4 ) = 51 ⇔ ax 5 + by 5 = 33 * C¸ch 2: Ta cã 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 2 1 5 2 1 9 2 1 17 2 1 ax by ax by ax by ax by + = = + + = = + + = = + + = = + Suy ra ax 5 + by 5 = 2 5 + 1 ax 2009 + by 2009 = 2 2009 + 1 Tæng qu¸t: ax n + by n = 2 n + 1 Bµi 21: Cho a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1 (1). TÝnh S = a 2 + b 9 + c 1945 HD: + Ta cã a 2 + b 2 + c 2 = 1 => - 1 ≤ a, b, c ≤ 1. Tõ (1) => a 3 + b 3 + c 3 = 1 ⇔ a 2 (a – 1) + b 2 (b – 1) + c 2 (c – 1) = 0 Do – 1≤ a, b, c ≤ 1 => a 2 (a – 1) + b 2 (b – 1) + c 2 (c – 1) ≤ 0 => a, b, c ∈ (0;1) => b 2 ≈ b 9 ; c 2 ≈ c 1945 => S = 1 Bµi 22: Gi¶ x, y, z lµ c¸c sè thùc kh¸c 0 tho¶ m·n: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2(1) 1(2) x y z y z z x x y x y z        + + + + + = −   ÷  ÷  ÷         + + =  TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = 1 1 1 x y z + + HD: Tõ (1) cã : 2 x x y y z z y z z x x y + + + + + = − ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 x z x y xy y z yz xz xyz + + + + + = − ⇔ ( 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0x z xz xy y z x y xyz yz xyz + + + + + + + = ⇔ xz(x + z) + y 2 (x + z) + xy( x+ z) + yz(x + z) = 0 ⇔ (x + z)[x(y + z) + y(y + z)] = 0 ⇔ (x + z)(y + z)(x + y) = 0 ⇔ x z y z x y = −   = −   = −  KÕt hîp víi (2), Ta cã: + Víi x = - z => y = 1 => x = z = 0 + Víi y = - z => x = 1 => y = z = 0 + Víi x = - y => z = 1 => x = y = 0  P = 1. Trªn ®©y lµ mét sè bµi to¸n hay, mong c¸c b¹n bæ sung thªm! . 196 => a 4 + b 4 + c 4 = 98 * Q = 99 + a 4 + b 4 + c 4 = 197 Bµi 12: Cho a lµ sè tù nhiªn ®îc vi t b»ng 222 ch÷ sè 9. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña N mµ N = a 2 + 3 HD: * Cã a = 999 9 = 10… 222