Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ Các dạng toán về Phơng trình bậc hai+hệ thức vi-ét I. Tóm tắt lí thuyết: 1. Dng ca phng trỡnh: ax 2 + bx + c = 0 (a 0). 2. Gii v bin lun: = b 2 4ac ( Hoc = b 2 ac, vi b = b/2) +) Nu > 0 ( Hoc > 0): Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: 1,2 2 b x a = (Hoc 1,2 ' 'b x a = ) +) Nu = 0 ( Hoc = 0): Phng trỡnh cú nghim kộp: 1 2 b x x a = = ( Hoc 1 2 'b x x a = = ) +) Nu < 0 ( Hoc < 0): Phng trỡnh vụ nghim. 3. H thỳc Vi-ột: Nu phng trỡnh bc hai: ax 2 + bx + c = 0 cú hai nghim x 1 , x 2 thỡ: 1 2 1 2 . b x x a c x x a + = = Chú ý 1: Nếu a và c khác dấu (tức a.c<0) thì pt luôn có 2 nghiệm phân biệt Chú ý 2:* Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 1 và x 2 = c a Chú ý 3: Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = -1 và x 2 = c a Chú ý 4:* Hệ thức viét trong trờng hợp phơng trình có nghiệm 1 2 1 2 -b x x = a c x .x a + = Bài tập 1Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải a) 10x 2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) 15 b) x 2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 c) 2x 2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x 2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x 2 Bài tập 2: Cho phơng trình: x 2 - 2(3m + 2)x + 2m 2 - 3m + 5 = 0 a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị: m = -5; m = 3; m = 7; b) Tìm các giá trị của m để pt có một nghiệm x lần lợt bằng:x = 3; x = -3; x = 2; c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép. Bài tập 3: Cho phơng trình: x 2 - 2(m + 3)x + m 2 + 3 = 0 a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3 b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4 c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x 1 = x 2 Bài 4 Cho phơng trình : 2x 2 - 6x + (m +7) = 0 a) Giải phơng trình với m = -3 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4 c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x 1 = - 2x 2 Bài tập 5:Biết rằng phơng trình : x 2 - 2(m + 1 )x + m 2 + 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại Bài 6:Biết rằng phơng trình : x 2 - 2(3m + 1 )x + 2m 2 - 2m - 5 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại GV: Nguyễn Văn Trọng 1 Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ Bài tập 7: Cho phơng trình: x 2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 5 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập 8: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x 2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Giải phơng trình với m = 3 b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2 c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài tập 9:Cho phơng trình: x 2 - 2(m- 1)x + m 2 - 3m = 0 a) Giải phơng trình với m = - 2 b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thảo mãn: x 1 2 + x 2 2 = 8 e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 1 2 + x 2 2 Bài tập 10: Cho phơng trình: x 2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x 1 2 + x 2 2 Bài tập 11: Cho phơng trình: x 2 - (2m- 6)x + m -13 = 0 a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 1 . x 2 - x 1 2 - x 2 2 Bài tập 12: Cho phơng trình: ( m - 1) x 2 + 2mx + m + 1 = 0 a) Giải phơng trình với m = 4 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn: A = x 1 2 x 2 + x 2 2 x 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài tập 13: Tìm giá trị của m để các nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình mx 2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 1 2 2 2 1 =+ xx Bài tập 14:Cho phơng trình x 2 - 2(m - 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thoả mãn 5 11 21 21 xx xx + =+ Bài tập 15:Cho phơng trình: mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn x 1 + 4x 2 = 3 b) Tìm một hệ thức giữa x 1 ; x 2 mà không phụ thuộc vào m Bài tập 16: Cho phơng trình mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn: x 1 + 4x 2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 mà không phụ thuộc vào m. Bài tập 17: Gọi x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình: 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x 1 x 2 - 2x 1 - 2x 2 Bài tập 18: Cho phơng trình: x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x 1 ; x 2 của pt thoả mãn 10x 1 x 2 + 2 2 2 1 xx + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Bài 19: Cho phơng trình : ( ) 0224 2 =+ mmxxm (x là ẩn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm 2=x .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt GV: Nguyễn Văn Trọng 2 Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ c) Tính 2 2 2 1 xx + theo m Bài 20: Cho phơng trình : ( ) 0412 2 =++ mxmx (x là ẩn ) a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M= ( ) ( ) 1221 11 xxxx + không phụ thuộc vào m. Bài 21:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: ( ) ( ) )2(036294 )1(012232 2 2 =+ =++ xmx xmx Bài 22: Cho phơng trình bậc hai tham số m : 014 2 =+++ mxx a.Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm b.Tìm m sao cho pt có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn điều kiện 10 2 2 2 1 =+ xx Bài 23: Cho phơng trình ( ) 010212 2 =+++ mxmx (với m là tham số ) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là 21 ; xx ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa 21 ; xx mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị của m để 2 2 2 121 10 xxxx ++ đạt giá trị nhỏ nhất Bài 24: Cho phơng trình ( ) 0121 2 =++ mmxxm với m là tham số a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1m b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơng trình c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm 21 ; xx thoả mãn hệ thức: 0 2 5 1 2 2 1 =++ x x x x Bài 25: Cho phơng trình : ( ) 05412 22 =+++ mmxmx a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng c) Xác định m để pt có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau d) Gọi 21 ; xx là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính 2 2 2 1 xx + theo m Bài 26: Cho phơng trình: ( ) 05222 2 = kxkx ( k là tham số) a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Gọi 21 ; xx là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho 18 2 2 2 1 =+ xx Bài 27:Cho phơng trình : ( ) 0332 22 =+ mmxmx a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm 21 , xx thoả mãn 61 21 <<< xx Bi 28: Cho phng trỡnh: x 2 2mx + m + 2 = 0. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim x 1 = 2. Tỡm nghim x 2 . HD: m = 2, x 2 = 2 Bi 29: Cho phng trỡnh x 2 + 2(m + 1)x + m 2 = 0 (1) a) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit v trong hai nghim ú cú mt nghim bng 2 Bi 30: Cho phng trỡnh 2 x 3x 5 0+ = v gi hai nghim ca phng trỡnh l x 1 , x 2 . Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: a) 1 2 1 1 x x + b) 2 2 1 2 x x+ c) 2 2 1 2 1 1 x x + d) 3 3 1 2 x x+ GV: Nguyễn Văn Trọng 3 Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ HD: a cỏc biu thc v dng x 1 + x 2 v x 1 x 2 ri s dng h thc Viột Bi 31: Cho phng trỡnh (m + 1)x 2 2(m 1)x + m 3 = 0 (1) a) Chng minh rng m 1 phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit b) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim cựng du HD: a) Chng minh ' > 0 b) Phng trỡnh (1) cú hai nghim cựng du m < 1 hoc m > 3 Bi 32: Cho phng trỡnh x 2 2(m + 1)x + m 4 = 0 (1) a) Gii phng trỡnh (1) khi m = 1 b) Chng minh rng phng trỡnh (1) luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m c) gi x 1 , x 2 l hai nghim ca phng trỡnh (1). Chng minh rng A = x 1 (1 x 2 ) + x 2 (1 x 1 ) khụng ph thuc vo giỏ tr ca m Bi 33: Gi x 1 , x 2 l cỏc nghim ca phng trỡnh x 2 2(m 1)x + m 3 = 0 a) Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc P = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 theo m b) Tỡm m P nh nht Bi 34: Cho phng trỡnh x 2 6x + m = 0 (m l tham s) (1) a) Gii phng trỡnh (1) vi m = 5 b) Tỡm giỏ tr ca m pt (1) cú 2 nghim phõn bit x 1 v x 2 tha món 3x 1 + 2x 2 = 20 Bi 35: Cho phng trỡnh x 2 4x + k = 0 a) Gii phng trỡnh vi k = 3 b) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng k phng trỡnh cú hai nghim phõn bit HD: a) Vi m = 3: x 1 = 1, x 2 = 3;b) ' = 4 k > 0 k < 4. S: k {1 ; 2 ; 3} Bi 36: Cho phng trỡnh : x 2 (m + 5)x m + 6 = 0 (1) a) Gii phng trỡnh vi m = 1. b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú mt nghim x = 2. HD: a) S: x 1 = 1, x 2 = 5 b) S: m = 20 B i 37 ) Cho phơng trình bậc 2: x 2 (a 2 +3)x+ a 2 +2 = 0 a) Chứng minh phơng trình đã cho có 2 nghiệm (x 1 , x 2 ) dơng. b) Tìm a để 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn 1 2 2x x a+ = + B i 38( 2,0 điểm) Cho phơng trình bậc hai: x 2 + kx + k2 = 0 Câu a) Giải phơng trình với k = 5 Câu b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của k. Câu c) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn 3x 1 + x 2 = 5 Bi 39(2,0 im) Cho phng trỡnh 2 x 2(m-1)x + m - 5 0 = vi m l tham s. 1/ Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim bng -1. Tỡm nghim cũn li. 2/ Gi 1 2 x , x l hai nghim ca phng trỡnh trờn. Vi giỏ tr no ca m thỡ biu thc A = 2 2 1 2 x x+ t giỏ tr nh nht. Tỡm giỏ tr ú. Bi 40:(2,0im) Cho phng trỡnh x 2 mx + m 1 = 0 1/ Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú nghim vi mi m. 2/ Gi x 1 , x 2 l hai nghim ca phng trỡnh. Tỡm giỏ tr nh nht v ln nht ca biu thc: 1 2 2 2 1 2 1 2 2x x 3 P x x 2(x x 1) + = + + + Bi 41:(2,0im) Cho phng trỡnh 2 x 2(m-1)x - (m+1) = 0+ . 1/ Chng minh rng: phng trỡnh luụn luụn cú hai nghim vi mi m. 2/ Tỡm cỏc giỏ tr ca m pt trờn cú hai nghim 1 2 x , x tho iu kin 2 1 x 1 x< < . GV: Nguyễn Văn Trọng 4 Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ Bi 42 (2,0 im):1/ Cho phng trỡnh bc hai : x 2 2(m 1)x + 2m 2 3m + 1 = 0 a/ Chng minh phng trỡnh cú nghim khi v ch khi 0 m 1 . b/ Gi x 1 , x 2 l hai nghim ca phng trỡnh. Chng minh 1 2 1 2 9 x x x x 8 + + . Bi 43: Cho phng trỡnh 2 x 2(m-1)x + m - 5 0 = vi m l tham s. 1/ Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim bng -1. Tỡm nghim cũn li. 2/ Gi 1 2 x , x l hai nghim ca phng trỡnh trờn. Vi giỏ tr no ca m thỡ biu thc A = 2 2 1 2 x x+ t giỏ tr nh nht. Tỡm giỏ tr ú. B i 44 ( 3 điểm ) Cho phơng trình x 2 -2 (m + 1 )x + m 2 - 2m + 3 = 0 (1). a) Giải phơng trình với m = 1 . b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu . c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm kia . B i 45 ( 3 điểm ) Cho phơng trình x 2 -( m+1)x + m 2 -2m + 2 = 0 (1) a) Giải phơng trình với m = 2 . b) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép . Tìm nghiệm kép đó . c) Với giá trị nào của m thì 2 2 2 1 xx + đạt giá trị bé nhất , lớn nhất . B i 46 ( 2 điểm ) Cho phơng trình : 3x 2 + 7x + 4 = 0 . Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 , x 2 không giải phơng trình lập pt bậc hai mà có hai nghiệm là : 1 2 1 x x và 1 1 2 x x . B i 47 ( 2 điểm ) Cho 32 1 ; 32 1 + = = ba Lập một pt bậc hai có các hệ số bằng số và có các nghiệm là x 1 = 1 ; 1 2 + = + a b x b a B i 48 : ( 2 điểm ) Cho phơng trình : 2x 2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 3x 1 - 4x 2 = 11 . 2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc vào m . 3) Với giá trị nào của m thì x 1 và x 2 cùng dơng. GV: Nguyễn Văn Trọng 5 . Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ Các dạng toán về Phơng trình bậc hai+hệ thức vi-ét I. Tóm tắt lí. tham số ) có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại GV: Nguyễn Văn Trọng 1 Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ Bài tập 7: Cho phơng trình: x 2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Giải phơng. lại b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt GV: Nguyễn Văn Trọng 2 Các dạng to án ôn thi vào lớp 10 Tr - ờng THCS Tề Lỗ c) Tính 2 2 2 1 xx + theo m Bài 20: Cho phơng trình : ( ) 0412 2 =++