Phòng GD&ĐT Lâm Thao Đề THI chọn hs năng khiếu cấp huyện Môn Toán lớp 8 - Năm học 2009 - 2010 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2 điểm) - Chọn một trong 3 câu sau: a/ Tìm các chữ số x, y sao cho 22 yyxxxxyy += b/ Chứng minh rằng nếu p và p 2 +2 là hai số nguyên tố thì p 3 + 2 cũng là số nguyên tố. c/ Tìm các cặp số nguyên dơng (x, y) thỏa mãn phơng trình: 7456 22 =+ yx Câu 2: (3 điểm). a/ Cho biểu thức: A = + + + 3 1 2 3 2 xx x : x xx x x 3 13 1 42 2 + + Rút gọn biểu thức A rồi tìm giá trị của x để A < 0. b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx Câu 3: ( 3 điểm). Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD. 1) Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ? 2) Chứng minh: AKADAHABAC 2 += Câu 4: ( 1 điểm). Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy. Hãy dựng qua M một đ- ờng thẳng cắt hai cạnh của góc đó ở A và B sao cho tổng MBMA 11 + là lớn nhất. Câu 5 (1 điểm). Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 121212 222 ++=++=++ xzzyyx = 0 Tính giá trị của biểu thức: 2010430 zyxA ++= Phòng GD&ĐT Lâm Thao Hớng dẫn chấm Môn Toán lớp 8 Năm học 2009 - 2010 Kỳ thi chọn HSNK cấp huyện Ngày thi 22/4/2010 - Thời gian làm bài: 120 phút Câu Nội dung chấm (Tóm tắt) Điểm Đề chính thức 1 (2 đ) 2 (3 đ) a/ Tìm các chữ số x, y sao cho 22 yyxxxxyy += HD: Ta có: 22 yyxxxxyy += )(11)99(11 222 yxyxx +=++ suy ra yx + chia hết cho 11, tức là yx + = 11. Suy ra: 22 9 yxx += và chỉ có một cặp duy nhất thỏa mãn, đó là: x = 8; y = 3. Thử lại: 8833 = 22 3388 + (đúng). b/ Chứng minh rằng nếu p và p 2 +2 là hai số nguyên tố thì p 3 + 2 cũng là số nguyên tố. HD: Nhận xét rằng: Mọi số nguyên tố khác 3 đều có dạng p = 3k 1 , trong đó k là số nguyên dơng nào đó. Nếu p = 3k +1 thì 3692 22 ++=+ kkp chia hết cho 3. Nếu p = 3k - 1 thì 3692 22 +=+ kkp cũng chia hết cho 3. Do 2p nên cả hai trờng hợp 2 2 +p đều là hợp số. Thành thử 2 2 +p là nguyên tố khi p = 3 khi đó 292 3 =+ p là số nguyên tố. (đpcm). c/ HD: Từ phơng trình đã cho suy ra: 2 y chẵn và 0 < 2 y 14 Suy ra 2 y = 4 2 x = 9 Do x, y nguyên dơng, nên x = 3, y = 2 thỏa mãn. a/ (2 điểm). Cho biểu thức: A = + + + 3 1 2 3 2 xx x : x xx x x 3 13 1 42 2 + + Rút gọn biểu thức A rồi tìm giá trị của x để A < 0. ĐK: x 0, x -1, x 2 1 , Ta có + + + 3 1 2 3 2 xx x = ( )( ) ( ) 13 21212 )1(3 )41(2 )1(3 28 )1(3 99623 2222 + + = + = + + = + +++ xx xx xx x xx x xx xxxxx do đó: x xx x x xx xx A 3 13 1 )21.(2 : )1(3 )21)(21(2 2 + + + + = = x xx x x xx xx 3 13 )21(2 1 . )1(3 )21)(21(2 2 + + + + 3 1 3 )1.( 33 13 3 21 22 = = = + + = x x xx x xx x xx x x Ta có: A < 0 0 3 1 < x x-1< 0 x < 1. Kết hợp với điều kiện ban đầu thì A< 0 khi và chỉ khi: 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 3 (3 đ) 4 (1 đ) x < 1; x 0; x -1, x 2 1 b/ ( 1 điểm): Ta có B = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx = 2)1( 1 3 32 1 3 22 ++ += ++ + xxx 5,3 2 1 3 =+ Dấu bằng xẩy ra khi x = -1. Vậy B max = 3,5, khi x = -1. Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD. a/ (1,5 đ). Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ? b/ (1,5). Chứng minh rằng AKADAHABAC 2 += HD: B C D A H K E F a) Ta có BE AC DF AC => BE //DF (1) ABE = CDF (ch, gn) , suy ra BE = DF (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác BEDF là hình bình hành. b/ Ta có : Tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACH (g, g) suy ra: AEACAHAB AH AE AC AB == (1) Tam giác ADF đồng dạng với tam giác ACK (g, g) suy ra: AFACAKAD AK AF AC AD == (2) Cộng vế của (1) và (2), ta đợc: AB. AH +AD. AK = AC. AE + AC. AF= AC.( AE + AF )= AC. AC= AC 2 (do AE = FC). ( đpcm) Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy. Hãy dựng qua M một đờng thẳng d cắt hai cạnh của góc đó ở A và B sao cho tổng MBMA 11 + là lớn nhất. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 x A PN 5 (1 đ) HD tóm tắt: Vẽ MN // Oy, ON // AB. Từ giao điểm P của MN với OA kẻ PQ // AB. Dễ dàng chứng minh đợc: PQONMA 111 =+ ; ON = MB. Vế trái đạt giá trị lớn nhất khi PQ nhỏ nhất. Vì OM cố định, P cố định nên PQ nhỏ nhất khi PQ vuông góc với OM, tức AB vuông góc với OM. Hay, đờng thẳng d vuông góc với OM tại M Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 121212 222 ++=++=++ xzzyyx Tính giá trị của biểu thức: 2010430 zyxA ++= HD: Từ giả thiết ta có : 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y y z z x + + = + + = + + = Cộng từng vế các đẳng thức ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0x y z + + + + + = (*) Do ( x+1) 2 0 ; ( y+1) 2 0 ; ( z+1) 2 0 nên: (*) xảy ra 1 0 1 0 1 0 x y z + = + = + = 1x y z = = = 3)1()1()1( 20104302010430 =++=++= zyxA Vậy A = 3. 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 B O M y Q d . Thao Hớng dẫn chấm Môn Toán lớp 8 Năm học 2009 - 2010 Kỳ thi chọn HSNK cấp huyện Ngày thi 22/4/2010 - Thời gian làm bài: 120 phút Câu Nội dung chấm (Tóm tắt) Điểm Đề chính thức 1 (2 đ) 2. đó là: x = 8; y = 3. Thử lại: 88 33 = 22 3 388 + (đúng). b/ Chứng minh rằng nếu p và p 2 +2 là hai số nguyên tố thì p 3 + 2 cũng là số nguyên tố. HD: Nhận xét rằng: Mọi số nguyên tố khác 3 đều có. Phòng GD&ĐT Lâm Thao Đề THI chọn hs năng khiếu cấp huyện Môn Toán lớp 8 - Năm học 2009 - 2010 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2 điểm)