tuyen sinh 10 Ha Noi 2008

Đe luyen thi vao lop 10 THPT- Hµ Néi Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x(y + z + t). Ðẳng thức xảy ra khi nào? b) Chứng minh với mọi số thực a, b khác không ta luôn có bất dẳng thức sau: Câu 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình sau: x 2 – xy = 6x – 5y – 8. Câu 3: (4 điểm) x2 + y2 + 2x + 2y = 11 Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình khi m = 24. b) Tìm m dể phuong trình có nghiệm. Câu 4: (2 điểm) . Tính S = x + y. Câu 5: (2 điểm) Cho a, b là các số nguyên dương sao cho cũng là số nguyên. Gọi d là uớc số chung của a và b. Chứng minh . Câu 6: (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đuờng tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Ðuờng thẳng MN cắt đuờng tròn (O) tại M và P. a) Cho biết , tính độ dài đoạn BC. b) Chứng minh . c) Chứng minh BC, ON và AP đồng qui. GỢI Ý GIẢI ÐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Môn Toán Chuyên - Năm học 2007-2008 Câu 1: (4 điểm) a) Ta có: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x(y + z + t). (1) 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 + 4t 2 = 4x(y + z + t) (x 2 – 4xy + 4y 2 ) + (x 2 – 4xz + 4z 2 ) + (x 2 – 4xt + 4t 2 ) + x 2 = 0 (x – 2y) 2 + (x – 2z) 2 + (x – 2t) 2 + x 2 = 0 ( 2) Ta có (2) luôn đúng với mọi x, y, z và t. Vậy (1) đuợc chứng minh. Ðẳng thức xảy ra x – 2y = x – 2z = x – 2t = x = 0 x = y = z = t = 0. b) Ðặt . Ta có . (*) * Nếu thì T – 1 > 0 và nên (*) đúng. * Nếu thì T – 1 < 0 và T – 2 < 0 nên (*) đúng. Vậy với mọi số thực a, b khác không ta luôn có . Câu 2: (2 diểm) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình x 2 – xy = 6x – 5y – 8 (1) Ta có: (1) x 2 – 6x + 8 = y(x – 5) (2) (vì x = 5 không là nghiệm của (2)) . Vì x, y nguyên nên x – 5 {– 1; 1; 3; – 3} hay x {4; 6; 8; 2 } * Khi x = 2 thì y = 0 (thỏa) * Khi x = 4 thì y = 0 (thỏa) * Khi x = 6 thì y = 8 (thỏa) * Khi x = 8 thì y = 8 (thỏa). Vậy các nghiệm nguyên (x; y) của (1) là (2; 0), (4; 0), (6; 8) và (8; 8). Câu 3: (4 điểm) Cho hệ phương trình (A) a) Khi m = 24 thì (A) (B) Ðặt u = x 2 + 2x = (x + 1) 2 – 1 –1 và v = y 2 + 2y = (y + 1) 2 – 1 – 1. Ta duợc (B) Vậy khi m = 24 thì (A) có các nghiệm (x; y) là: (1; 2), (1; –4); (–3; 2); (– 3; – 4), (2; 1), (2; – 3), (– 4; 1) và (– 4; – 3). b) Tìm m dể phương trình có nghiệm. Ðặt u = x 2 + 2x + 1= (x + 1) 2 = 0 và v = y 2 + 2y +1 = (y + 1) 2 = 0. Ta duợc (A) trở thành u, v lần luợt là các nghiệm của phuong trình X 2 – 13X + m + 12 = 0 (C ) Do dó: (A) có nghiệm (C ) có 2 nghiệm X 1 , X 2 0. . Câu 4 (2 diểm) Cho ( . Tính S = x + y. Tính S = x + y. y2 +2007 (x+ )(-x+ ) Ta có: ( (a) ( (b) Nhân theo vế của (a) và (b) ta duợc và kết hợp với giả thiết ta duợc: (c) Giả thiết (d) Cộng theo vế (c) và (d) ta duợc: ( Câu 5: (2 điểm) Ta có = là số nguyên dương nguyên dương mà mà (ÐPCM) Câu 6: (6 diểm) a) Ta có: – NB = NC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) – OB = OC = R Do dó: ON là trung trực của BC. Gọi K là giao diểm của ON và BC thì K là trung diểm BC. Ta có: OBN vuông tại B có BK là duờng cao Kết hợp với giả thiết ta suy ra: BK 2 = 16 BK = 4 BC = 8. b) Ta có NBP dồng dạng NMB (g– g) Tuong tự NCP dồng dạng NMC( g– g) mà NC = NB (3) Từ (1), (2) và (3) Mặt khác AM // BC tứ giác AMCB là hình thang cân MC = AB và MB = AC (5) Từ (4) và (5) (ÐPCM) c) Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Ta chứng minh BQ = QC. Xét BQP dồng dạng với AQC (g– g) Tương tự CQP đồng dạng với AQB (g – g) Kết hợp (6), (7) và kết quả câu b) ta suy ra Q là trung diểm BC Q trùng K. Vậy BC, ON và AP dồng qui tại K. Nguời giải dề: Thạc sĩ NGUYỄN DUY HIẾU Tổ truởng tổ Toán Truờng THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 KHÓA NGÀY 20-6-2007 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1, 5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x 2 – 2 x + 4 = 0 b) x 4 – 29x 2 + 100 = 0 c) Câu 2: (1, 5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: a) b) Câu 3: (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m 2 và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình x 2 – 2mx + m 2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số. a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 . c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x 1 x 2 - x 1 - x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D. a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp. d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC. Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2007-2008 Câu 1: a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x 1 = 5 – 1 và x 2 = 5 + 1. b) Đặt t = x 2 ≥ 0, ta được phương trình trở thành t 2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2. * t = 25 x 2 = 25 x = ± 5. * t = 4 x 2 = 4 x = ± 2. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5. c) Câu 2: a) b) Câu 3: Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0). Theo đề bài ta có: Ta có: (*) x 2 – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15. Khi x = 45 thì y = 15 (nhận) Khi x = 15 thì y = 45 (loại) Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m) Câu 4: Cho phương trình x 2 – 2mx + m 2 – m + 1 = 0 (1) a) Khi m = 1 thì (1) trở thành: x 2 – 2x + 1 = 0 (x – 1) 2 = 0 x = 1. b) (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 Δ’ = m – 1 > 0 m > 1. Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 m > 1. c) Khi m > 1 ta có: S = x 1 + x 2 = 2m và P = x 1 x 2 = m 2 – m + 1 Do đó: A = P – S = m 2 – m + 1 – 2m = m 2 – 3m + 1 = − ≥ – . Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1) Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – . Câu 5: a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC. Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. * Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BF, CE là hai đường cao của ΔABC. H là trực tâm của Δ ABC. AH vuông góc với BC. b) Xét Δ AEC và Δ AFB có: chung và Δ AEC đồng dạng với Δ AFB c) Khi BHOC nội tiếp ta có: mà và (do AEHF nội tiếp) Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC ) Vậy mà BC = 2KC nên d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có: (đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12 HC(CE – HC) = 12 HC 2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6. * Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE) * Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE) Vậy HC = 6 (cm). Người giải đề: Thạc sĩ NGUYỄN DUY HIẾU (Tổ trưởng tổ Toán Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HÀ NỘI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 MÔN TOÁN Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức 1. Rút gọn biểu thức P 2. Tìm x để P < Bài 2: (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 3: (1 điểm) Cho phương trình 1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2 2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H) 1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R . Bài 5: (0,5 điểm) Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất. Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội Năm học 2007-2008 Bài 1: P= 1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là 2. Yêu cầu . Đối chiếu với điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là Bài 2: Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình . Giải ra ta có nghiệm x=12(km/h) Bài 3: 1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x 2 -3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2 2. Điều kiện cần tìm là Bài 4: 1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng. 2. nên hay . Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE. 3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có đều cạnh R. Vậy AH= OM= Bài 5: Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1. . Chứng minh . c) Chứng minh BC, ON và AP đồng qui. GỢI Ý GIẢI ÐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Môn Toán Chuyên - Năm học 2007 -2008 Câu 1: (4 điểm) a) Ta có: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x(y + z + t) DUY HIẾU Tổ truởng tổ Toán Truờng THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007 -2008 KHÓA NGÀY 20-6-2007 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời. cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC. Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2007 -2008 Câu 1: a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x 1 = 5 –