47 de thi vao cac truong chuyen QG

Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 1992 – 1993 (150 phút) Bài 1 (2,5đ): Xét biểu thức: P = 3 2 1 2 )1(2 1 )1(2 1 a a aa − + − − + + 1, Rút gọn P. 2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2 (2,5đ): Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB. Bài 3 (4đ): Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB lấy điểm O sao cho OA < OB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P; đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM, E là giao điểm của OQ và BM. 1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được. 2, Chứng minh: AB // DE. 3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng. 4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm chung nào nữa không ? Tại sao ? Bài 4 (1đ): Giải phương trình: 2x 4 – x 3 – 5x 2 + x + 2 = 0 Huỳnh Mạnh Dũng 1 Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 1994 – 1995 (150 phút) Bài 1 (2 , 5đ): Cho biểu thức: P =         − + +         ++ − − + a a a aa a a a 1 1 1 1 12 3 3 1, Rút gọn P. 2, Xét dấu của biểu thức: P. a−1 Bài 2 (2,5đ): Hai ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1 giờ 20 phút. Tìm khoảng cách giữa hai bến A, B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bằng nhau. Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 o ). Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC và IH. 1, Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được. 2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK. 3, Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ // BC. 4, Gọi (O 1 ) là đường tròn đi qua M, P, K; (O 2 ) là đường tròn đi qua M, Q, H. Gọi N là giao điểm thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng. Bài 4 (1đ): Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau: 01)2.(25 2 =+++− yyxx Huỳnh Mạnh Dũng 2 Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 1995 – 1996 (150 phút) Bài 1 (2đ): Cho các biểu thức: A = 2 232 − −− x xx ; B = 2 22 3 + −+− x xxx 1, Rút gọn A và B. 2, Tìm giá trị của x để A = B. Bài 2 (3đ): Cho phương trình: x 2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn) 1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại. 2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi giá trị của m. 3, Với giá trị nào của m thì x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 3 (4đ): Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC và BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q. 1, Chứng minh: Tam giác ABN cân. 2, Tứ giác APNO là hình gì ? Tại sao ? 3, Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C. Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ? Bài 4 (1đ): Giải phương trình: )( 2 1 199619952 zyxzyx ++=−+++− Huỳnh Mạnh Dũng 3 Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 1996 – 1997 (150 phút) Bài 1 (2đ): Xét biểu thức: P = 1 2 1 1 2 2 393 − + + − − − −+ −+ aa a aa aa 1, Rút gọn P. 2, Tìm a để 1=P 3, Tìm các giá trị của a ∈ N sao cho P ∈ N Bài 2 (2đ): Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng, Nhưng do mỗi tuân trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ? Bài 3 (4đ): Cho đoạn thẳng AB và điểm N nằm giữa A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD và MBEF. Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N. 1, Chứng minh: AF ⊥ BC. Suy ra điểm N nằm trên hai đường ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF. 2, Chứng minh: Ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc DE tại N. 3, Cho A, B cố định, M di động trên đoạn AB. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định. 4, Tìm vị trí điểm M sao cho MN có độ dài lớn nhất. Bài 4 (2đ): Cho hai phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (1) cx 2 + bx + a = 0 (2) Với ac < 0. Gọi m và n tương ứnh là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2), chứng minh rằng: m + n ≥ 2 Huỳnh Mạnh Dũng 4 Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 1997 – 1998 (150 phút) Bài 1 (2,5đ): Cho biểu thức: P = 1 2 2 3 2 )3(3 − − − + + + −+ −+ x x x x xx xx 1, Rút gọn P. 2, Tìm x để P < 4 15 . Bài 2 (2,5đ): Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nước có thể tích 60m 3 với thời gian dự định trước. Khi đã bơm được 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút. Đến khi có điện trở lại người ta sử dụng thêm một máy bơm có công suất 10m 3 /h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể trong đúng thời gian dự kiến. Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian hoạt động của máy bơm đó. Bài 3 (4đ): Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đường tròn tại D, tia phân giác của góc C cắt đường tròn tại E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC. 1, Chứng minh ∆EBF và ∆DAF cân. 2, Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB. 3, Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ? 4, Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp ba lần diện tích tứ giác AIFK. Bài 4 (1đ): Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức: ( ) ( )( ) ( ) 3243234732 −=+−+− xx Huỳnh Mạnh Dũng 5 Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học 1998 – 1999 (120 phút) Bài 1 (3đ): Cho biểu thức: P =         + + − − + −         + − + + + + 1 1 1 1:1 11 1 xy x xy xxy xy xxy xy x 1, Rút gọn P. 2, Cho 6 11 =+ yx . Hãy tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 2 (3đ): Cho phương trình: (x + 1) 4 – (m – 1)(x + 1) 2 – m 2 + m – 1 = 0 (*) 1, Giải phương trình với m = – 1. 2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi giá trị của tham số m. 3, Tìm các giá trị của m để 2 21 =+ xx Bài 3 (4đ): Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M 1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ? 2, Cho AP = R 3 . Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn (O; R). 3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác PAM chạy tren một cung tròn cố định. 4, Dựng hình chữ nhật PACN. Chứng minh B, M, N thẳng hàng. Huỳnh Mạnh Dũng 6 Đề thi vào các trường THPT THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN) Năm học 1998 – 1999 (120 phút) Bài 1 (2,5đ): Cho biểu thức: A =         + + +         + + + xyy xy xyx xy yx yxyxxy 22 : 22 1 1, Rút gọn A. 2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn 6=+ yx Bài 2 (2,5đ): 1, Tìm m để phương trình sau: x 2 – (2m + 1)x + m 2 – 1 = 0 Có nghiệm x 1 , x 2 sao cho: x 1 2 + x 2 2 = 5 2, Cho hàm số: y = x 2 – (2m + 1)x + m 2 – 1 = 0. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 < 0; x 2 > 0 và x 1 > ׀ ׀ 2 x Bài 3 (4đ): Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Hai điểm B và C chuyển động trên đường tròn (O) sao cho góc BAC = ∝ không đổi ( ∝ > 90 o ). Qua B dựng một tia song song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 1, Độ dài dây BC không đổi. 2, Điểm E cố định. 3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng. 4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định. Bài 4 (1đ): Cho các số dương x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1. Chứng minh: 1 333 ≥++ x z z y y x Huỳnh Mạnh Dũng 7 Đề thi vào các trường THPT THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN) Năm học 1999 – 2000 (150 phút) Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: P = 2 1 : 1 xxxxxx x −++ + 1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P. 2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q = 1 2 2 + + x xP cũng là số nguyên. Bài 2 (2đ): Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m + 2 = 0 (m là tham số) 1, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc và m. 2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức: 06 1 2 2 1 =++ x x x x Bài 3 (2đ): Cho hàm số: y = mx 2 + 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l ) 1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C). 2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m. Bài 4 (3đ): Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy. 1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn. 2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD. Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành. 3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chúng minh H thuộc một đường tròn cố định. Bài 5 (1đ): Huỳnh Mạnh Dũng 8 Đề thi vào các trường THPT Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = ( ) 2 2 4 1 1 + + x x Huỳnh Mạnh Dũng 9 Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 1999 – 2000 (150 phút) Bài 1 (2đ): Giải phương trình: 19991999 24 =++ xx Bài 2 (2đ): Tìm tham số m để hai bất phương trình sau không có nghiệm chung: mx + 1 > 4m (1) ; x 2 – 9 < 2 (2) Bài 3 (3đ): Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Gọi d, d, d lần lượt là khoảng cách từ O đến 3 cạnh BC, CA, AB. 1, Chứng minh: HA + HB + HC = 2(d + d + d) 2, Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*) 3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ? Bài 4 (1,5đ): Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau. Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác nhau. Bài 5 (1,5đ): Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3 đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi S n là số miền con tìm được từ n đường thẳng đó. 1, Tìm S 3 , S 4 . 2, Chứng minh: S n = S n – 1 + n 3, Chứng minh: S n = 2 2 2 ++ nn Huỳnh Mạnh Dũng 10 BTT 8 BYTE [...]... Chứng minh EF //MN 2, Chứng minh OA ⊥ MN 3, Với góc BAC = 47o Xét vị trí tương đối của điểm O với đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC Huỳnh Mạnh Dũng 23 Đề thi vào các trường THPT 4, Cố định BC = a < 2R Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có bán kính không đổi khi A thay đổi trên cung lớn BC Huỳnh Mạnh Dũng 24 Đề thi vào các trường THPT Đề thi chung Năm 2005 – 2006 (150 phút) Bài 1 (2đ): Xét biểu... so với BC) sao cho tam giác BCD là tam giác đều Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm E khác A 1, Tam giác OCE là tam giác gì ? vì sao ? Huỳnh Mạnh Dũng 19 Đề thi vào các trường THPT 2, Biết rằng BC = 3R , hãy tính độ dài đoạn DE và DA theo R 2 Đề thi chung Năm 2000 – 2001 (150 phút) Bài 1 (2đ): Xét biểu thức : A= 1 a 3 + 2a 2 − a − 2 với a ≠ ± 1 và a ≠ 3 2 2 2a − a − 2a + 1 1, Rút gọn biểu thức A 2,... F 1, Cmr: Tứ giác AMEF là hình thang nhưng không thể là hình thang cân Huỳnh Mạnh Dũng 20 Đề thi vào các trường THPT 2, Cmr: ∆ABE đồng dạng với ∆FDM từ đó => hệ thức BE DF = AC 4 3, Đặt CE = x Hãy tính chu vi ∆CEF theo a và x, nhận xét về kết quả vừa tìm được Huỳnh Mạnh Dũng 21 Đề thi vào các trường THPT Đề thi chuyên toán + toán tin Năm 2000 – 2001 (150 phút) Bài 1 (2,5đ): Cho biểu thức: A = x − 1... giác ABKN là hình gì ? vì sao ? 3, Xác định vị trí điểm A để tứ giác ABKN là hình bình hành Huỳnh Mạnh Dũng 17 Đề thi vào các trường THPT 4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành đó và tính độ dài đoạn MN Huỳnh Mạnh Dũng 18 Đề thi vào các trường THPT Đề thi chuyên toán + toán tin Năm học 1999 – 2000 (150 phút) Bài 1 (2,5đ): 1, Chứng minh rằng ∀ x ≠ 0 thì ta có hằng... và cx2 + bx + a = 0 (2) với a c < 0 Huỳnh Mạnh Dũng 27 Đề thi vào các trường THPT Gọi m và n tương ứng là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2) Chứng minh rằng: m + n ≥ 2 Bài 5 (1,5đ): Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức sau: (2 − 3 ) x + (7 − 4 3 )(2 + 3 ) x = 4(2 − 3 ) Huỳnh Mạnh Dũng 28 Đề thi vào các trường THPT Đề thi chung Năm 2008 – 2009 (150 phút) Bài 1 (1,5đ): 2 x +... ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB Bài 5 (1đ): Huỳnh Mạnh Dũng 32 Đề thi vào các trường THPT Cho ∆ABC có BC < CA < AB Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE Huỳnh Mạnh Dũng 33 Đề thi vào các trường THPT Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM) Năm học 2004... 1, Chứng minh AN, BM vuông góc với nhau và tích OM ON không đổi khi M, N biến thi n Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua 2 điểm cố định Tìm toạ độ hai điểm cố định này 2, Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trí M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất Huỳnh Mạnh Dũng 12 Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 2000 – 2001... giá trị đó theo R Bài 4 (1đ): Cho biểu thức: A = – x2 – y2 + xy + 2x +2y Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó Huỳnh Mạnh Dũng 14 Đề thi vào các trường THPT THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN) Năm học 2001 – 2002 (150 phút) Bài 1 (2đ): Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: (y + 2)x2 + 1 = y2 Bài 2 (2đ): 1, Giải phương trình: x(3x + 1) − x( x − 1) = 2 x 2 2,... cùng nằm trên một đường tròn 2, Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆AEF 3, Đặt AD = x Hãy tính diện tích ∆AEF theo b, c và x Xác định vị trí điểm D để diện tích ∆AEF là nhỏ nhất Huỳnh Mạnh Dũng 22 Đề thi vào các trường THPT Đề thi chung Năm 2001 – 2002 (150 phút) Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: ( ) 2  x− y x x−y y x+ y  − A =  x− y x x+y y x− y   1, Rút gọn biểu thức A 2, So sánh A và A Bài 2 (2,5đ): 1, Cho... Hãy tính giá trị biểu thức: 1 1 1 P= x+ y+z Bài 5 (1đ): Với x, y, z là những số thực dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xyz M = ( x + y )( y + z )( z + x) Huỳnh Mạnh Dũng 15 Đề thi vào các trường THPT Đề thi chung Năm học 1998 – 1999 (150 phút) Bài 1 (1,5đ): Cho - 1 < x < 0 Hãy rút gọn biểu thức: A= x2 48  x 4 + 2 − 12 −  + 4 3 x 3 x Bài 2 (2,5đ): 1, Giải và biện luận theo a hệ phương . 17 Đề thi vào các trường THPT 4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành đó và tính độ dài đoạn MN. Huỳnh Mạnh Dũng 18 Đề thi vào các trường THPT Đề thi. là tam giác gì ? vì sao ? Huỳnh Mạnh Dũng 19 Đề thi vào các trường THPT 2, Biết rằng BC = 2 3R , hãy tính độ dài đoạn DE và DA theo R. Đề thi chung Năm 2000 – 2001 (150 phút) Bài 1 (2đ): Xét. ≥ 1. Chứng minh: 1 333 ≥++ x z z y y x Huỳnh Mạnh Dũng 7 Đề thi vào các trường THPT THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN) Năm học 1999 – 2000 (150 phút) Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: