K THI CHN HC SINH GII cấp tỉnh S GIO DC V O TO PH TH LP thcs NM HC 2009-2010 Mụn Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang CHNH THC Câu (4 im) a) Chứng minh A = (2n - 1)(2n + 1) chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm số số nguyên n cho B = n2 n + 13 số phơng ? Câu (5 im) a) Giải phơng trình x2 x + = 2 x2 x + b) Giải hệ phơng trình x y = xy 2 x + y = xy + 11 Câu (3 im) Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + z = 2010 1 + + = x y z 2010 2007 2007 2009 2009 2011 2011 Tính giá trị biểu thức: P = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Câu (6 im) Cho đờng tròn (O; R) dây cung AB cố định, AB = R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi (C; R1) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A, (D; R2) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt điểm thứ hai M a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD điểm C, D, O, M thuộc đờng tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đờng tròn cố định đờng thẳng MP qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Câu (2 im) Cho số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670 Chứng minh x y z + + x yz + 2010 y zx + 2010 z xy + 2010 x + y + z - Hết -Họ tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm S GIO DC V O TO PH TH HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH LP THCS NM HC 2009-2010 MễN TON (Hng dn chm thi chớnh thc cú trang) I Mt s chỳ ý chm bi Hng dn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch, chm thi giỏm kho cn bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit v hp logic Thớ sinh lm bi cỏch khỏc vi Hng dn chm m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im tng ng vi biu im ca Hng dn chm im bi thi l tng cỏc im thnh phn khụng lm trũn s II Đáp án biểu điểm Câu (4 im) a) Chứng minh A = (2n - 1)(2n + 1) chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm số số nguyên n cho B = n2 n + 13 số phơng ? P N BIU IM n n n a) Theo giả thiết n số tự nhiên nên: 1, , + số tự nhiên liên tiếp Vì tích số tự nhiên liên tiếp chia hết (2n - 1).2n.(2n + 1) chia hết cho n n Mặt khác (2n, 3) = nên ( 1) ( + 1) chia hết cho Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n b) Ta thấy B số phơng 4B số phơng Đặt 4B = k2 (k N) 4B = 4n2 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 0,5 im 0,5 im 0,5 im 1,0 im Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có hệ 2n + k = 2n + k = 2n + k = 51 2n + k = 17 (1) (2) (3) (4) 2n k = 51 2n k = 17 2n k = 2n k = Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4 Vậy số nguyên cần tìm n { 12; 3; 4;13} Câu (5 im) a) Giải phơng trình x2 x + = 2 x2 x + b) Giải hệ phơng trình Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 0,5 im 1,0 im x y = xy 2 x + y = xy + 11 P N BIU IM a) Ta có: x x + = ( x 1) + nên tập xác định phơng trình R 0,5 im Phơng trình cho tơng đơng với x2 x + x2 x + + = Đặt y = x x + phơng trình cho trở thành y2 y + = y =1 y = Với y = ta có 1,0 im (thoả mãn điều kiện) x2 x + = 2x2 4x + = x=1 Với y = ta có x x + = x x + = x = x=3 1,0 im Vậy phơng trình có nghiệm x1 = 1, x2 = -1, x3 =3 b) Hệ cho tơng đơng với x + xy y = 11( x + xy y ) = 11 2 2 2 x xy + y = 11 11( x + xy y ) = x 3xy + y x + xy y = (*) ( x + y ) ( x y ) = 1,0 im Từ hệ (*) ta suy x + xy y = x + xy y = (I) (II) x + 2y = 5x y = Giải hệ (I) ta tìm đợc (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) Hệ (II) vô nghiệm Vặy hệ có nghiệm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) 0,5 im 1,0 im Câu (3 im) Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + z = 2010 1 1 + + = x y z 2010 2007 2007 2009 2009 2011 2011 Tính giá trị biểu thức: P = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Đáp án biểu điểm Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 T giả thiết suy x, y, z khác 1 1 + + = x y z x+y+z 0,5 im 1 + ữ+ ữ= x y z x+y+z x+y x+y + =0 xy z( x + y + z) 0,5 điểm ( x + y) + =0 ữ xy xz + yz + z ( x + y ) ( xz + yz + z + xy ) = 0,5 im ( x + y ) ( xz + z ) + ( yz + xy ) = 0,5 im ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) = 0,5 im ( x + y ) z ( z + x ) + y ( z + x ) = x 2007 = y 2007 x 2007 + y 2007 = x + y = x = y z + y = y = z y 2009 = z 2009 y 2009 + z 2009 = z 2011 = x 2011 z 2011 + x 2011 = x + z = z = x nên P = 0,5 im Câu (6 im) Cho đờng tròn (O; R) dây cung AB cố định, AB = R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi (C; R 1) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A, (D; R2) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt điểm thứ hai M a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dâyAB, chứng minh OM//CD điểm C, D, O, M thuộc đờng tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động cung tròn cố định đờng thẳng MP qua điểm N cố định c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Đáp án biểu điểm Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 O M C A K H D B P N a) Nối CP, PD ta có ACP, OAB lần lợt cân C, O nên CPA = CAP = OBP CP//OD (1) Tơng tự DBP, OAB lần lợt cân D, O nên DPB = DBP = OAB nên OD//CP (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ODPC hình bình hành Gọi CD cắt MP H cắt OP K K trung điểm OP Theo tính chất đờng tròn cắt ta có CD MP H trung điểm MP Vậy HK//OM, CD//OM Ta phải xét trờng hợp AP < BP AP > BP, đáp án yêu cầu xét trờng hợp giả sử AP < BP Vì tứ giác CDOM hình bình hành nên OC = DP, DP = DM = R2 nên tứ giác CDOM hình thang cân điểm C, D, O, M thuộc đờng tròn b) Xét tam giác AOB có: OA2 + OB = R = AB nên tam giác AOB vuông cân O Vì điểm C, D, O, M thuộc đờng tròn (kể M trùng O) nên COB = CMD (1) Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im Xét MAB MCD có ằ (C)) sđ MP ằ D)) MBD = MDC ( sđ MP nên MAB đồng dạng với MCD (g.g) Vì MAB đồng dạng với MCD suy AMB = COD hay AMB = AOB = 900 MAB = MCD ( 0,5 im 0,5 im Do AB cố định nên điểm M thuộc đờng tròn tâm I đờng kính AB Ta có ACP = BDP = AOB = 900 nên ACP = 450 (góc nội tiếp góc tâm (C)) BMP = BDP = 450 (góc nội tiếp góc tâm (D)) Do MP phân giác AMB Mà AMB = AOB =900 nên M đờng tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB AMP = Giả sử MP cắt đờng tròn (I) N N trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định c) MAP BNP có MPA = BPN (đđ), AMP = PBN (góc nội tiếp chắn cung) nên MAP đồng dạng với BNP (g.g) 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im Do PA PM AB R PA + PB (không đổi) = PM PN = PA.PB = = ữ PN PB R2 Vậy PM.PN lớn PA = PB hay P trung điểm dây AB 0,5 im Vì tam giác AMB vuông M nên 1 AB R AM BM ( AM + BM ) = = 4 2 R Diện tích tam giác AMB lớn PA = PB hay P trung điểm S AMB = 0,5 im dây AB CU (2 im) Cho số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670 Chứng minh x y z + + x yz + 2010 y zx + 2010 z xy + 2010 x + y + z Đáp án biểu điểm Trớc tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R x, y, z > ta có ( a + b + c) a b c + + x y z x+ y+z a b c Dấu = xảy = = x y z Thật vậy, với a, b R x, y > ta có 2 a b2 ( a + b ) + x y x+ y (*) (**) Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 0,5 im (a y + b x ) ( x + y ) xy ( a + b ) ( bx ay ) (luôn đúng) a b = x y Dấu = xảy áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2 ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + + x y z x+ y z x+ y+z a b c Dấu = xảy = = x y z 2 áp dụng bất đẳng thức (*) ta có VT = x y z + + x yz + 2010 y zx + 2010 z xy + 2010 = x2 y2 z2 + + x ( x yz + 2010 ) y ( y zx + 2010 ) z ( z xy + 2010 ) ( x + y + z) 0,5 im (1) x + y + z xyz + 2010 ( x + y + z ) 2 Chú ý: x ( x yz + 2010 ) = x ( x + xy + zx + 1340 ) > , y ( y zx + 2010 ) > z ( z xy + 2010 ) > 3 2 Chứng minh: x + y + z 3xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z xy yz zx ) = ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) (2) 3 Do đó: x + y + z 3xyz + 2010 ( x + y + z ) = = ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) + 2010 = ( x + y + z ) 0,5 im (3) Từ (1) (3) ta suy ( x + y + z) VT ( x + y + z) Dấu = xảy x = y = z = = x+ y+z 0,5 im 2010 Ht Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 ... coi thi không giải thích thêm S GIO DC V O TO PH TH HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH LP THCS NM HC 2009-2010 MễN TON (Hng dn chm thi chớnh thc cú trang) I Mt s chỳ ý chm bi Hng dn chm thi. .. chm thi giỏm kho cn bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit v hp logic Thớ sinh lm bi cỏch khỏc vi Hng dn chm m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im tng ng vi biu im ca Hng dn chm im bi thi. .. giá trị biểu thức: P = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Đáp án biểu điểm Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 T giả thi t suy x, y, z khác 1 1 + + = x y z x+y+z 0,5 im 1 + ữ+ ữ= x y z x+y+z