Bài 1 :Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn .C là một điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB .Trên cung AC lấy điểm D tuỳ ý (D khác A và C).các tia BC,BD cắt Axx lần lượt tại E và F. a/ C.m ∆BAE vuông cân b/C/m tứ giác ECDF nội tiếp c/ Cho C đi động trên nửa đường tròn (C khác A và B ) và D di động trên cung AC (D khác A và C) C/m BC.BE+BD.BF có giá trò không đổi Bai2 Cho ∆ABC có 3 góc nhọn .Vẽ (O) đường kính BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. a/BF,CE và đường cao AK của tam giác ABC đồng quy tại H b/C/m : BH.HF=HC.HE c/Chứng tỏ 4 điểm : B;K;H;E cùng nằm trên một đường tròn từ đó suy ra EC là phân giác của · KEF Bài 3 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2a và một điểm A nằm trên nửa đường tròn sao cho AB=a, M là điểm trên cung nhỏ AC ,BM cắt AC tại I.Tia BA cắt CM tại D. a/ C/m ∆AOB đều b/Tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn, xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó c/ Tính · ADI d/ Cho · ABM = 45 0 . Tính độ dài cung AI và diện tích hình quạt AKI của đường tròn tâm K theo a 4 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O,R), c¹nh AB cè ®Þnh. M lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB(Kh«ng chøa D,C).Tia CM c¾t AB t¹i K vµ c¾t tia DA t¹i E. Tia DM c¾t AB t¹i Q vµ c¾t tia CB t¹i F. a) Chøng minh: tø gi¸c DQKC néi tiÕp b) Chøng minh: hƯ thøc: MB 2 =MK.MC c) Chøng minh: EF // AB d) Chøng minh: Khi ®iĨm C di ®éng trªn cung AB (kh«ng chøa M) th× t©m cđa hai ®êng trßn ngo¹i tiÕp 2 tam gi¸c ABC vµ BKC ch¹y trªn 2 ®o¹n th¼ng cè ®Þnh. ____________________________________________ 5 Cho đường tròn (C ) tâm O đường kính AB = 2R . Trên đường tròn (C ) lấy điểm C sao cho AC = R. Vẽ OH ⊥ AC ( H∈ AC ) .Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Tia AE cắt OH tại F . Tia CF cắt đường tròn (C ) tại N ( N khác C ) a) Tính theo R diện tích hình quạt tròn OCEB 1 b) C/minh FN A F =OA c) C/minh t giỏc AFON ni tip c trong 1 ng trũn . d) C/minh 3 im N,O,F thng hng 6 Cho ng trũn (0) bỏn kớnh R v hai ng kớnh AB, CD vuụng gúc nhau. Gi I l trung im ca OC ; tia AI ct ng trũn (0) ti M, tip tuyn ca (0) ti C ct ng thng AM ti E . a) Chng minh t giỏc IOBM ni tip. b) Chng minh CE = R c) Chng minh EB l tip tuyn ca (0) d) Tớnh din tớch tam giỏc BME theo R . :7Cho na ng trũn tõm O , ng kớnh AB. C l mt im thuc na ng trũn cú hỡnh chiu xung AB l H thuc on OB . D l mt im trờn on AH. ng vuụng gúc vi AB ti D ct AC E ct tia CB F v ct tia tip tuyn ti C vi na ng trũn K. a. Chng minh cỏc t giỏc ADCF v BCED ni tip .Xỏc nh tõm I v J ca hai ng trũn ú. b. Chng minh BE vuụng gúc vi AF. c. Chng minh IJ l trung trc ca CD. d. Chng minh KCE cõn. 8 Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R, hai im C v D thuc ng trũn, B l trung im ca cung nh CD. K ng kớnh BA ; trờn tia i ca tia AB ly im S, ni S vi C ct (O) ti M ; MD ct AB ti K ; MB ct AC ti H. a) Chng minh : ã ã =BMD BAC , t ú suy ra t giỏc AMHK ni tip. b) Chng minh : HK // CD. c) Chng minh : OK.OS = R 2 . 9 Cho đờng tròn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm giữa hai điểm A và O . Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N . Gọi S là giao điểm của hai đờng thẳng BM và AN . Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H . Hãy chứng minh : a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM . b) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R). c) Ba điểm H , N, B thẳng hàng. Bi 10 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. Gọi C là điểm trên nửa đờng tròn sao cho cung CB bằng cung CA, D là một điểm tuỳ ý trên cung CB ( D khác C và B ). Các tia AC, AD cắt tia Bx theo thứ tự ở E và F . a, Chứng minh tam giác ABE vuông cân. 2 b, Chøng minh = 2 FB FD.FA c, Chøng minh tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn. a, Ta cã » » CA CB = (gt) nªn s® » CA = s® » CB = 0 0 180 : 2 90= · 1 CAB 2 = s® » 0 0 1 CB .90 45 2 = = ( · CAB lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung CB) µ E 45 ⇒ = 0 Tam gi¸c ABE cã · 0 ABE 90 = ( tÝnh chÊt tiÕp tun) vµ · µ 0 CAB E 45 = = nªn tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i B (1®) b, ABFvµ DBF ∆ ∆ lµ hai tam gi¸c vu«ng ( · 0 ABF 90 = theo CM trªn, · 0 ADB 90 = do lµ gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn nªn · 0 BDF 90 = ) cã chung gãc AFB nªn ABF ∆ : BDF ∆ (0,75®) suy ra FA FB FB FD = hay 2 FB FD.FA = (0,25®) c, Ta cã · 1 CDA 2 = s® » 0 0 1 CA .90 45 2 = = · · 0 CDF CDA 180 + = ( 2 gãc kỊ bï) do ®ã · · 0 0 0 0 CDF 180 CDA 180 45 135 = − = − = (0,25®) Tø gi¸c CDFE cã · · 0 0 0 CDF CEF 135 45 180 + = + = nªn tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc (0,25®) Bài 11 Cho tam giác ABC có A = 90 0 ; AB = 3 cm ; AC = 4 cm . Vẽ đường cao AH ; hai tia Hx ; Hy vuông góc với nhau và cắt các cạnh AB ; AC lần lượt tại M ; N . a. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp . Xác đònh tâm O của đường tròn này . b. Đường tròn ( O ) cắt BC tại điểm thứ hai là D . Chứng minh 3 điểm A ; O ; D thẳng hàng . c. Tính thể tích của hình sinh ra khi cho tam giác ABC quay một vòng quanh BC . Bài 12 ( 3,5 điểm ) : Hình vẽ đúng yêu cầu câu 1 ( 0,5 đ ) a. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp ( 1,25 đ ) MAN + MHN = 1 V + 1 V = 2 V Suy ra : Tứ giác AMHN nội tiếp Trung điểm của MN là tâm của đt ngoại tiếp tứ giác b. Chứng minh 3 điểm A ; O ; D thẳng hàng . ( 0,75 đ ) AHD = 1 V à AD là đường kính đt ( O ) vậy A ; O ; D thẳng hàng 3 O x E F D C B A c. Tính thể tích của hình sinh ra khi cho tam giác ABC quay một vòng quanh BC : ( 1 đ ) Khi cho tam giác ABC quay quanh BC một vòng thì hình sinh ra là hai hình nón chung đáy ( AH là bán kính đáy chung ) V = BCAHCHAHBHAH . 3 1 . 3 1 . 3 1 222 πππ =+ ( 0,5 đ ) BC = )(543 2222 cmACAB =+=+ AH . BC = AB . AC ó AH = )(4,2 5 4.3 cm = V = ππ 6,954,2 3 1 2 =×× ( cm 3 ) ( Bài 13 : Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC bằng 2a và góc B bằng 60 0 . Trên cạnh AC lấy một điểm M ( M khác A;C) . Vẽ đường tròn tâm I đường kính MC . Đường tròn này cắt tia BM tại D và cắt cạnh BC tại điểm thứ hai là N . a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh DB là tia phân giác của góc ADN . c. Khi tứ giác ABCD là hình thang , tính diện tích hình tròn tâm I theo a . Hình vẽ đúng đến yêu cầu câu a cho (0,5điểm) a. Cm tứ giác ABCD nội tiếp : (1điểm) BAC = 90 0 ( gt) (0,25điểm) BDC = 90 0 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn (I) ) (0,5điểm) Suy ra : Tứ giác ABCD nội tiếp (0,25điểm) b. Cm tia DB là tia phân giác của góc ADN : ( 0,75 điểm ) Xét đường tròn (I) ta có : BDN = ACB ( cùng chắn cung MN) (0,25điểm) Xét dường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD có : BDA = ACB ( cùng chắn cung AB ) (0,25điểm) Suy ra : BDN = BDA Vậy DB là tia phân giác của góc ADN . (0,25điểm) c. Tính diện tích hình tròn tâm I theo a : (0,75điểm) Khi tứ giác ABCD là hình thang ta có : AD // BC suy ra MBC = MCB (= ADB) ⇒ ∆ BMC cân tại M mà MN ⊥ BC nên N là trung điểm của BC ∆ MNC vuông tại N ⇒ MC = NC : cos C = a:cos 30 0 = 3 32a (0,5điểm) 4 S (O) = π (MC :2) 2 = π ( 3 3a ) 2 = 3 2 a π (đvdt) (0,25điểm) Bài 14 Cho C lµ mét ®iĨm chÝnh gi÷a cđa nưa ®êng trßn (O;R) ®êng kÝnh AB .LÊy D ∈ cung BC. Gäi H,K lÇn lỵt lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC ,AC vµ BD a.Chøng minh r»ng tø gi¸c HCKD néi tiÕp ®êng trßn b.Chøng minh r»ng KH ⊥ AB a. Chóng minh CK.DA= CA.DK b. BiÕt BAD=15 0 .TÝnh theo R diƯn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y CD vµ cung CD -VÏ h×nh chÝnh x¸c dïng cho c©u a . (0,5 ®iĨm) a.Chøng minh ®ỵc tø gi¸c néi tiÕp (1 ®iĨm) b. +Chøng minh H lµ trùc t©m cđa ∆ ABK (0,25 ®iĨm) +Chøng minh KH ⊥ AB (0,25 ®iĨm) c. Chøng minh ®ỵc DC lµ ph©n gi¸c cđa gãc ADK (0,25 ®iĨm) Tõ ®ã suy ra ®pcm (0,25 ®iĨm) d. TÝnh ®ỵc CAD = 30 0 (0,25 ®iĨm) TÝnh ®ỵc diƯn tÝch viªn ph©n (0,25 ®iĨm) Bài 15: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngồi đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) và cát tuyến ADE khơng đi qua tâm O. Gọi H là trung điểm của DE. a. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn và xác định tâm (O’) b. Chứng minh H thuộc đường tròn (O’) c. Chứng minh AH là tia phân giác của ∠BHC d. BH cắt đường tròn (O) ở K. Chứng minh AE // CK . Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC, D là một điểm nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E, AE và CD cắt đường tròn lần lượt tại G và F. Chứng minh: a. ∆EBD đồng dạng ∆ABC b. Các tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp. c. AC // FG d. D là tâm đường tròn nội tiếp ∆AEF. Bài 16: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi d là một tiếp tuyến của đường tròn tại A. Trên đường tròn lấy một điểm M khác A, B. Từ M kẻ MP vuông góc AB và MQ vuông góc với d. Vẽ tiếp tuyến tại M cắt d ở T. a. Tứ giác APMQ là hình gì ? 5 b. Gọi M là giao điểm của AM và PQ. Chứng minh O, I, T thẳng hàng và tứ giác MIQT nội tiếp c. Khi M di động trên đường tròn, tìm q tích điểm I d. Khi dây cung AM căng cung 3 1 đường tròn. Tính theo R thể tích hình sinh ra khi cho tứ giác APMT quay một vòng quanh cạnh AP. Bài 17: Cho đường tròn (O) đường kính BC. A là điểm nằm bên ngồi đường tròn. AB và AC cắt đường tròn lần lượt tại E và F ; BF cắt CE tại H. a. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn này. b. AH cắt BC tại K. Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp. Từ đó suy ra: ∠BEK = ∠BCA c. Chứng minh: FB là tia phân giác của ∠EFK d. Nếu ∠ABC = 60 0 , BC = 2a, hãy tính theo a diện tích quạt OBE và hình viên phân tạo bởi cung nhỏ EC và dây EC. 18. Cho ∆ABC cân ở A nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung AC. Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua AM a. Chứng minh: ∆ABC cân b. Chứng minh: ∠ACB = ∠AMD c. Khi M chuyển động trên cung AC thì điểm D chuyển động trên đường nào? d. Đường kính kẻ từ A của đường tròn (O) cắt BC tại H. Tính thể tích của hình sinh ra khi AB quay xung quanh trục AH. Biết BC = 6cm, AH = 8cm. 19) Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox (A nằm giữa O và B), điểm M bất kì trên cạnh Oy. Đường tròn (O’) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai là C và E. OE cắt (O’) tại F, CF cắt Ox tại H. Chứng minh: a. Tứ giác MOAE nội tiếp. b. OE.OF = OA.OB c. H là trung điểm của CF. d. Tìm vò trí điểm M để tứ giác OMFC là hình bình hành. Bài 20: Cho (O ; R) đường kính AB. Lấy C là điểm chính giữa của cung AB, M là điểm thuộc dây cung BC (M khác B và C). Đường thẳng AM cắt (O) tại N và cắt OC tại E. Từ C vẽ CK vng góc với AN tại K. a. Chứng minh các tứ giác OENB và OACK nội tiếp b. Chứng minh: ∠CAK = ∠KON c. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆KON Bài 21: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và điểm C bất kỳ (khác A và B) trên đường tròn. Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường thẳng BC tại D. Gọi I là trung điểm của AD. a. Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b. Chứng minh: b 1 . Tứ giác OAIC nội tiếp và xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OAIC. b 2 . ∠IKC = 2∠ABC 6 c. Gọi M là giao điểm của AC và OI Khi C di động trên (O) thì M chuyển động trên đường nào? d. Khi ∠ABC = 30 0 . Tính theo R diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đoạn thẳng AD, CD và cung nhỏ AC của (O). Bài 22: Trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy hai điểm M và E theo thứ tự A, M, E, B. Hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại C; AE và BM cắt nhau tại D. Chứng minh: a. Tứ giác MCED nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b. CD ⊥ AB c. IE là tiếp tuyến của (O ; R) d. Cho ∠BAM = 45 0 và ∠BAE = 30 0 . Tính độ dài đường tròn tâm I bán kính IC theo R 23) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Trên đường tròn lấy M (M khác A, B). Từ M kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với d. Vẽ tiếp tuyến Mx cắt d tại C. a. Chứng minh tứ giác AHMK là hình chữ nhật b. Gọi I là giao điểm của AM và HK. Chứng minh: O, I, C thẳng hàng và tứ giác MHOI nội tiếp. c. Khi M di động trên đường tròn (O) thì I di động trên đường nào? d. Giả sử số đo cung MB = 60 0 . Tính theo R diện tích xung quanh và thể tích của hình sinh ra khi cho tứ giác AHMC quay một vòng xung quanh cạnh AB. Bài 24) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = 2 1 R. Từ C vẽ đường thẳng d ⊥ BC. Gọi M là điểm tuỳ ý trên d (M khác C). Tia MB và MA cắt (O) theo thứ tự tại E và F (khác B và A). a. Chứng minh các tứ giác MFBC và MAEC nội tiếp b. Chứng minh: AM.AF = 5R 2 c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MFBC. Khi M di động trên d thì I di động trên đường nào? d. Cho = 30 0 . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AF và cung AF của (O). Bµi 25: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O;R), cã A ˆ = 60 o . Hai ®êng cao AE, BF c¾t nhau t¹i H. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHF néi tiÕp. 2. Chøng minh ∆ CAE ®ång d¹ng víi ∆ CBF. 3. KÐo dµi AE c¾t (O) t¹i K. Chøng minh ∆ BHK c©n. 7 . . 3 1 . 3 1 . 3 1 22 2 πππ =+ ( 0,5 đ ) BC = )(543 22 22 cmACAB =+=+ AH . BC = AB . AC ó AH = )(4 ,2 5 4.3 cm = V = ππ 6 ,95 4 ,2 3 1 2 =×× ( cm 3 ) ( Bài 13 : Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC bằng 2a. t©m cđa ∆ ABK (0 ,25 ®iĨm) +Chøng minh KH ⊥ AB (0 ,25 ®iĨm) c. Chøng minh ®ỵc DC lµ ph©n gi¸c cđa gãc ADK (0 ,25 ®iĨm) Tõ ®ã suy ra ®pcm (0 ,25 ®iĨm) d. TÝnh ®ỵc CAD = 30 0 (0 ,25 ®iĨm) TÝnh ®ỵc. vuông tại N ⇒ MC = NC : cos C = a:cos 30 0 = 3 32a (0,5điểm) 4 S (O) = π (MC :2) 2 = π ( 3 3a ) 2 = 3 2 a π (đvdt) (0 ,25 iểm) Bài 14 Cho C lµ mét ®iĨm chÝnh gi÷a cđa nưa ®êng trßn