Ôn tập lượng giác

Trng THPT Bch ng-B6 Chơng I: Hàm số lợng giác A. Các công thức cần nhớ 1. Công thức cơ bản 1 sin 1x 1 cos 1x sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos; tan( +k) = tan; cot( + k) = cot * Hàm số siny x= có TXĐ: D = Ă ; TGT: [ ] 1;1 ; Tuần hoàn với chu kì: 2T = là hàm số lẻ * Hàm số cosy x= có TXĐ: D = Ă ; TGT: [ ] 1;1 ; Tuần hoàn với chu kì: 2T = ; là hàm số chẵn * Hàm số tany x= có TXĐ: \ ; 2 D k k = + ÂĂ ; TGT: Ă ; Tuần hoàn với chu kì: T = ; là hàm số lẻ * Hàm số cosy x= có TXĐ: { } \ ;D k k = ÂĂ ; TGT: Ă ; Tuần hoàn với chu kì: T = ; là hàm số lẻ Giá trị lợng giác của các cung đặc biệt ( ) 0 0 o ( ) 30 6 o ( ) 45 4 o ( ) 60 3 o ( ) 90 2 o ( ) 2 120 3 o ( ) 3 135 4 o ( ) 5 150 6 o ( ) 180 o sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 -1 tan 0 1 3 1 3 3 -1 1 3 0 cot 3 1 1 3 0 1 3 -1 3 2. Các hằng đẳng thức lợng giác cơ bản 2 2 sin cos 1 + = tan .cot 1 = 2 2 1 1 tan cos = + 2 2 1 1 cot sin = + 3. Các công thức có liên quan đặc biệt a. Cung đối nhau sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan cot(-) = -cot b. Cung bù nhau sin( - ) = sin cos( - ) = - cos tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot c. Cung phụ nhau sin cos 2 = ữ cos sin 2 = ữ 1 Góc Hàm Trường THPT Bạch Đằng-B6 tan cot 2 π α α   − =  ÷   cot tan 2 π α α   − =  ÷   d. Cung h¬n kÐm π ( ) sin sin π α α + = − ( ) cos cos π α α + = − ( ) tan tan π α α + = ( ) cot cot π α α + = e. Cung h¬n kÐm 2 π sin cos 2 π α α   + =  ÷   cos sin 2 π α α   + = −  ÷   tan cot 2 π α α   + = −  ÷   cot tan 2 π α α   + = −  ÷   3. C«ng thøc céng ( ) cos cos cos sin sina b a b a b+ = − ( ) cos cos cos sin sina b a b a b− = + ( ) sin sin cos cos sina b a b a b+ = + ( ) sin sin cos cos sina b a b a b− = − 4. C«ng thøc nh©n ®«i sin 2 2sin cosx x x= 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x= − = − = − 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = − 5. C«ng thøc h¹ bËc 2 1 cos2 sin 2 x x − = 2 1 cos2 cos 2 x x + = 6. C«ng thøc nh©n ba 3 sin 3 3sin 4sinx x x= − 3 cos3 4cos 3cosx x x= − ( ) 2 2 3 tan tan tan3 1 3tan x x x x − = − 7. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng ( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 x y x y x y= − + +    ( ) ( ) 1 sin .sin cos cos 2 x y x y x y= − − +    ( ) ( ) 1 sin .cos sin sin 2 x y x y x y= − + +    8. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch cos cos 2cos .cos 2 2 x y x y x y + − + = ( ) sin tan tan cos cos x y x y x y + + = cos cos 2sin .sin 2 2 x y x y x y + − − = − ( ) sin tan tan cos cos x y x y x y − − = sin sin 2sin .cos 2 2 x y x y x y + − + = ( ) sin cot t sin sin x y x co y x y − + = sin sin 2cos .sin 2 2 x y x y x y + − − = ( ) sin cot t sin sin y x x co y x y − − = 2 Trng THPT Bch ng-B6 9. Công thức rút gọn: asin x + bcos x ( ) ( ) 2 2 2 2 sin cos .sin .cosa x b x a b x a b x + = + + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 sin cos .sin .cosa x b x a b x a b x = + = + + Đặc biệt: sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x + = + = ữ ữ sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x = = + ữ ữ Mở rộng: 2 cot tan sin 2 x x x + = cot tan 2cot 2x x x = 10. Công thức tình sin ; cos; tan theo tan 2 Đặt tan 2 t = ta có: 2 2 sin 1 t t = + 2 2 1 cos 1 t t = + 2 2 tan 1 t t = B phần bài tập 3 Trng THPT Bch ng-B6 I. Hàm số lợng giác: Các dạng bài tập cơ bản 1. Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số lợng giác * Phơng pháp giải: Sử dụng tính chất: - Các hàm số sin , cosy x y x= = xác định với mọi x Ă - Hàm số: tany x= xác định với mọi , 2 x k k +  - Hàm số: coty x= xác định với mọi ,x k k  Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số: 1 sin 4 y x = ữ Lời giải: Hàm số có nghĩa sin 0 , 4 4 4 x x k x k k + ữ  Vậy TXĐ của hàm số là: \ , 4 D k k = + ÂĂ Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số: sin cos cot 1 x x y x + = Lời giải: Hàm số xác định khi: , cot 1 4 x k x k k x x k +  Vậy TXĐ của hàm số là: \ | , 4 D x x k x k k = = + = ÂĂ và Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1) 1 2cos 1 y x = 2) tan 2 x y = 3) 2 sin 2 x y x = 4) cot 2y x= 5) 2 1 cos 1 y x = 6) cos 1y x= + 2.Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số ( ) y f x= : Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x= có TXD là: D * Hàm số ( ) f x chẵn ( ) ( ) x D x D f x = (D là tập đối xứng) f -x * Hàm số ( ) f x lẻ ( ) ( ) x D x D f x = (D là tập đối xứng) f -x * Ph ơng pháp giải: Bớc 1: Tìm TXĐ D của hàm số Nếu D không là tập đối xứng thì ta kết luận ngay hàm số ( ) y f x= không chẵn, không lẻ. Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện tiếp bớc 2: Bớc 2: Với mọi x D , nếu Nếu ( ) ( ) f x f x = thì hàm số ( ) y f x= là hàm chẵn. Nếu ( ) ( ) f x f x = thì hàm số ( ) y f x= là hàm lẻ. Nếu ( ) ( ) f x f x thì hàm số ( ) y f x= là hàm không chẵn, không lẻ. L u ý tính chất: 4 Trng THPT Bch ng-B6 * ( ) :sin sinx x x = Ă * ( ) : cos cosx x x =Ă * ( ) \ , : tan tan 2 x k k x x + = ÂĂ * { } ( ) \ , : cot cotx k k x x = ÂĂ Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: sin 3y x= Lời giải: TXĐ: D = Ă là tập đối xứng x x Ă Ă Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) sin 3 sin 3 sin 3f x x x x f x = = = = Vậy hàm số là hàm số lẻ. Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: 1) sin 2y x= 2) cos3y x= 3) tan 2y x= 4) siny x x= 5) 1 cosy x= 6) siny x x= 3. Dạng 3: Tìm chu kì của hàm số lợng giác: * Phơng pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lợng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lu ý rằng: 1) Hàm số sin , cosy x y x= = có chu kì 2T = 2) Hàm số tan , coty x y x= = có chu kì T = . 3) Hàm số ( ) ( ) sin , cosy ax b y ax b= + = + với 0a có chu kì 2 T a = 4) Hàm số ( ) ( ) tan , coty ax b y ax b= + = + với 0a có chu kì T a = 5) Hàm số 1 f có chu kì 1 T , hàm số 2 f có chu kì 2 T thì hàm số 1 2 f f f= + có chu kì ( ) 1 2 ,T BCNN T T= Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số 3 1 cos2 2 2 y x= + Lời giải Hàm số 3 1 cos2 2 2 y x= + có chu kì là 2 2 T = = Bài 3: Tìm chu kì của các hàm số sau: 1) 2cos2y x= 2) sin 2 2cos3y x x= + * Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Phơng pháp: Dựa vào TGT của các hàm số lợng giác Chú ý: * Hàm số sin , cosy x y x= = có TGT là: [ ] 1;1 * Hàm số tan , coty x y x= = có TGT là: Ă Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 3 1 cosy x= Lời giải: Ta có 1 cos 1 0 1 cos 2 0 1 cos 2 0 1 cos 2x x x x 3 3 1 cos 3 2x Vậy 3Maxy = đạt đợc cos 1 2 ,x x k k = =  Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1) 3 2 siny x= 2) cos cos 3 y x x = + ữ 5 Trng THPT Bch ng-B6 3) 2 cos 2cos 2y x x= + 3) 2cos 1y x= + 5) 2 siny x= II. Phơng trình lợng giác 1. Ph ơng trình l ợng giác cơ bản * Dạng 1: sin x a= ( ) 1a nghiệm tổng quát: arcsin 2 ; arcsin 2 x a k k x a k = + = +  Đặc biệt: 2 sin sin ; 2 x k x k x k = + = = +  Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin sin ; 2 f x g x k f x g x k f x g x k = + = = +  * Dạng 2: cos x a= ( ) 1a nghiệm tổng quát: arccos 2 ;x a k k = +  Đặc biệt: cos cos 2 ;x x k k = = +  Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos 2 ;f x g x f x g x k k = = +  * Dạng 3: tan x a= ; 2 x k k + ữ  nghiệm tổng quát: ;x k k = +  Đặc biệt: tan tan ;x x k k = = +  Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan ;f x g x f x g x k k = = +  * Dạng 4: cot x a= ( ) ;x k k  nghiệm tổng quát: ;x k k = +  Đặc biệt: cot cot ;x x k k = = +  Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) cot cot ;f x g x f x g x k k = = +  Ví dụ minh hoạ: Giải các phơng trình sau: 1) 1 cos2 2 x = 2) sin 3 cos 2x x= 3) cos 2 sin 0 4 4 x x + + = ữ ữ 4) tan3 cotx x= 5) 1 cot 4 3 x = ữ 6) cos 3 sinx x= Lời giải 1) Ta có 2 2 1 3 6 cos2 cos 2 cos , 2 3 2 2 3 6 x k x k x x k x k x k = + = + = = = + = +  Vậy phơng trình có hai họ nghiệm. 2) Ta có: 3 2 2 2 sin 3 cos 2 sin3 sin 2 2 3 2 2 2 x x k x x x x x x k = + = = ữ = + ữ 2 10 5 , 2 2 k x k x k = + = +  3) Ta có: cos 2 sin 0 cos 2 sin 4 4 4 4 x x x x + + = = + ữ ữ ữ ữ 6 Trng THPT Bch ng-B6 2 2 4 4 cos 2 cos 4 4 2 2 2 4 4 x x k x x x x k 3 = + + = + + ữ ữ 3 = + 2 , 2 6 3 x k k k x = + = +  4) Điều kiện: cos3 0 3 , 6 3 2 sin 0 k x x x k k x x k x k + +  Ta có: tan3 cot tan 3 tan 3 , 2 2 8 4 k x x x x x x k x k = = = + = + ữ  Ta thấy nghiệm trên thoả mãn điều kiện. Vậy phơng trình có một họ nghiệm. 5) Điều kiện: sin 0 , 4 4 4 x x k x k k ữ  (*) Ta có: 1 cot cot cot , 4 4 3 4 3 12 3 x x x k x k k = = = + = ữ ữ  thoả mãn điều kiện (*). Vậy phơng trình có một họ nghiệm. 6) Ta có: cos 3 sin cot 3 cot , 6 6 x x x x k k = = = = +  Vậy phơng trình có một họ nghiệm Bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau: 1) 2 cos 2 1 0x = 2) sin cos3x x= 3) cos sin 3 0 3 4 x x + + + = ữ ữ 4) tan 2 cot 4 x x = + ữ 5) sin 3 cosx x= 6) 2 tan 2 3 0 3 x = ữ 2. Ph ơng trình bậc hai đối với một hàm số l ợng giác. * Định nghĩa: Là phơng trình có dạng ( ) 2 0 0at bt c a+ + = trong đó t là một trong bốn hàm số lợng giác: sin ,cos ,tan ,cotx x x x * Cách giải: Bớc 1: Đặt t bằng hàm số lợng giác có trong phơng trình; Bớc 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t; Bớc 3: Giải phơng trình tìm t (thoả mãn điều kiện); Bớc 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phơng trình lợng giác cơ bản nghiệm x Ví dụ minh hoạ: Giải các phơng trình sau: 1) 2 2cos 5cos 3 0x x + = 2) 2 1 5sin 2cos 0x x + = 3) 2 3 cot 4cot 3 0x x + = 4) 2 3 4 tan 2 0 cos x x = Lời giải 1) Đặt cost x= , điều kiện: 1t 7 Trng THPT Bch ng-B6 Ta có phơng trình trở thành: 2 1 2 5 3 0 3 1 2 t t t t = + = = > (loại) Vậy t = 1 cos 1 2 ,x x k k = =  Phơng trình có một họ nghiệm 2) Ta có: ( ) 2 2 2 1 5sin 2cos 0 1 5sin 2 1 sin 0 2sin 5sin 3 0x x x x x x + = + = + = sin 3 2 1 6 sin , 1 5 2 sin 2 2 6 x x k x k x x k = = + = = = +  (loại) (Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lợng giác nh là một ẩn nh ví dụ này) 3) Điều kiện: sin 0 ,x x k k  Đặt cot x t= , khi đó phơng trình trở thành: 2 3 cot 3 6 3 4 3 0 , 1 1 cot 3 3 3 t x x k t t k t x x k = = = + + = = = = +  Ta thấy hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện. Vậy phơng trình có hai họ nghiệm 4) Điều kiện: cos 0 , 2 x x k k +  Ta có: ( ) 2 2 2 3 4 tan 2 0 3 1 tan 4 tan 2 0 3tan 4 tan 1 0 cos x x x x x x = + = + = tan 1 tan tan 4 , 4 1 1 tan tan tan (tan ) 3 3 x x k x k x x x k = = + = = = = + =  Ta thấy cả hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện. Vậy phơng trình có 2 họ nghiệm. Bài 1: Giải các phơng trình sau 1) 2 cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + = 2) cos 2 5sin 2 0x x+ + = Bài 2: (Các phơng trình đa về phơng trình bậc nhất, bậc hai). Giải các phơng trình 1) cos cos 2 1 sin sin 2x x x x = + 2) 4sin cos cos 2 1x x x = 3) sin 7 sin3 cos5x x x = 4) 2 2 cos sin sin 3 cos4x x x x = + 5) 2 3 cos2 cos 2sin 2 x x x = 6) 1 sin sin 2 sin 3 sin 4 4 x x x x= 7) 4 4 2 1 sin cos cos 2 2 x x x+ = 8) 2 3cos 2sin 2 0x x + = 9) 6 6 2 sin cos 4cos 2x x x+ = 10) 2 tan 3cot 2 0x x = 11) cos3 cos 2 cos sin 3 sin 2 sinx x x x x x+ + = + + 3. Ph ơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x: * Dạng phơng trình: sin cos ( , , 0)a x b x c a b c+ = (*) * Cách giải: Cách 1: Chia hai vế của phơng trình cho 2 2 a b+ ta đợc phơng trình: 8 Trng THPT Bch ng-B6 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + (**) Vì: 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b + = ữ ữ + + Nên ta đặt 2 2 2 2 cos sin a a b b a b = + = + Khi đó phơng trình (**) trở thành: 2 2 sin cos cos sin c x x a b + = + ( ) 2 2 sin c x a b + = + là phơng trình lợng giác cơ bản đã biết cách giải! Chú ý: Điều kiện đề phơng trình có nghiệm là: 2 2 2 a b c+ Cách 2: Chia hai vế cho a và đặt tan b a = (Tự làm) Cách 3: Sử dụng công thức tính sin ,cosx x theo tan 2 x t = (tự làm) Ví dụ: Giải các phơng trình sau: 1) sin 3 cos 1x x+ = 2) 5cos 2 12sin 2 13x x = Lời giải: 1) Ta có: ( ) 2 2 2 2 1 3 2a b+ = + = . Chia hai vế của phơng trình cho 2 ta đợc phơng trình: 1 3 1 1 sin cos sin cos cos sin sin sin 2 2 2 3 3 2 3 6 x x x x x + = + = + = ữ 2 2 3 6 6 , 2 2 3 6 2 x k x k k x k x k + = + = + + = + = +  Vậy phơng trình có hai họ nghiệm. 2) Ta có: 5cos 2 12sin 2 13 12sin 2 5cos2 13x x x x = + = Có: ( ) 2 2 2 2 12 5 169 13a b+ = + = = . Chia hai vế phơng trình cho 13 ta đợc ph- ơng trình : 12 5 sin cos 1 13 13 x x + = Vì 2 2 12 5 1 13 13 + = ữ ữ . Đặt 12 5 cos ; sin 13 13 = = ta đợc phơng trình: ( ) sin cos cos sin 1 sin 1 2 2 x x x x k + = + = + = + 2 , 2 x k k = +  Vậy phơng trình có một họ nghiệm. Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau: 1) 3sin 4cos 1x x = 2) 2sin 2cos 2x x = 3) 3sin 4cos 5x x+ = 4) 3 sin 3 cos3 2x x+ = 9 Trng THPT Bch ng-B6 4. Ph ơng trình thuần nhất đối với sin x và cos x: * Dạng phơng trình: 2 2 sin sin cos .cos 0a x b x x c x+ + = (*) * Cách giải: Cách 1: Bớc 1: Nhận xét cos 0x = hay , 2 x k k = +  không là nghiệm của phơng trình; Bớc 2: Chia cả hai vế của phơng trình cho 2 cos 0x ta đợc phơng trình 2 tan tan 0a x b x c+ + = Bớc 3: Giải phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đa về phơng trình trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x. (Học sinh tự giải cách này) Chú ý: Nếu phơng trình có dạng tổng quát: 2 2 sin sin cos .cos ( 0)a x b x x c x d d+ + = (**) Ta biến đổi nh sau: (**) 2 2 2 2 sin sin cos .cos (sin cos )a x b x x c x d x x + + = + ( ) ( ) 2 2 sin sin cos cos 0a d x b x x c d x + + = . Đây là phơng trình có dạng (*) Ví dụ: Giải các phơng trình: 1) 2 2 2sin 5sin cos 3cos 0x x x x + = 2) 2 2 2sin 5sin cos cos 2x x x x = Lời giải 1) 2 2 2sin 5sin cos 3cos 0x x x x + = Nhận xét: nếu 2 cos 0 0 Vt x Vp = = = cos x = 0 không thoả mãn phơng trình . Chia cả hai vế cho 2 cos 0x ta đợc phơng trình: 2 tan 1 4 2 tan 5 tan 3 0 , 3 3 tan arctan 2 2 x x k x x k x x k = = + + = = = +  Vậy phơng trình có hai họ nghiệm. 2) ( ) 2 2 2 2 2 2 2sin 5sin cos cos 2 2sin 5sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x x x x = = + 2 2 4sin 5sin cos cos 0x x x x + = (*) Nhận xét: 4 cos 0 cos 0 0 Vt x x Vp = = = = không thoả mãn phơng trình. Chia cả hai vế cho 2 cos 0x ta đợc phơng trình: 2 tan 1 4 4 tan 5 tan 1 0 , 1 1 tan arctan 4 4 x x k x x k x x k = = + + = = = +  Vậy phơng trình có hai họ nghiệm. Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau 1) 2 2 4sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ = 2) 2 2 2sin 3cos 5sin cosx x x x+ = 3) 2 sin 3sin cos 1x x x = 4) 2 2 cos 2sin cos 5sin 2x x x x+ + = 5) 2 2 2cos 3sin 2 sin 1x x x + = 10 [...]... 4 2 2 1 1 x + 4 = arcsin x = 4 + arcsin ữ+ k 2 ữ+ k 2 2 2 2 2 ,k  1 3 1 arcsin x + = arcsin x = ữ+ k 2 ữ+ k 2 4 4 2 2 2 2 Vậy phơng trình có 4 họ nghiệm Bài tập tự giải: 1) sin x + cos x 2sin x cos x + 1 = 0 2) 3 ( sin x + cos x ) 4sin x cos x = 0 6 Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx * Dạng phơng trình: a ( sin x cos x ) + b sin x cos x = c * Cách... sin x cos x = 1 t2 2 1 t 2 = c bt 2 2at ( b 2c ) = 0 2 Giải phơng trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phơng trình : t 2 sin x ữ = t sin x ữ = đã biết cách giải 4 4 2 Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau: 1) 6 ( sin x cos x ) + sin x cos x + 6 = 0 Phơng trình trở thành: at + b 2) sin 3 x cos3 x = 1 3) 3 ( sin x cos x ) 4sin x cos x + 3 = 0 4) sin x cos x + 4sin . = (D là tập đối xứng) f -x * Hàm số ( ) f x lẻ ( ) ( ) x D x D f x = (D là tập đối xứng) f -x * Ph ơng pháp giải: Bớc 1: Tìm TXĐ D của hàm số Nếu D không là tập đối xứng. = 10. Công thức tình sin ; cos; tan theo tan 2 Đặt tan 2 t = ta có: 2 2 sin 1 t t = + 2 2 1 cos 1 t t = + 2 2 tan 1 t t = B phần bài tập 3 Trng THPT Bch ng-B6 I. Hàm số lợng giác: Các. Trng THPT Bch ng-B6 Chơng I: Hàm số lợng giác A. Các công thức cần nhớ 1. Công thức cơ bản 1 sin 1x 1 cos 1x sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos; tan(