THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 ĐỀ SỐ 09 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = –x 3 +3x 2 +1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 2. Tìm m để phương trình x 3 –3x 2 = m 3 –3m 2 có ba nghiệm phân biệt. Câu II (2,0 điểm ). 1. Giải bất phương trình: 2 4 4 16 6 2 x x x x + + − ≤ + − − 2.Giải phương trình: 2 1 3 sin sin 2 tan 2 x x x+ = Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân: ln3 2 ln2 1 2 x x x e dx I e e = − + − ∫ Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= 2a . Đáy là tam giác ABC cân · 0 120BAC = , cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). Câu V (1,0 điểm). Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + ≥ + + ÷ ÷ II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B). A. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a(2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 2 1 0x y x y+ − − + = và điểm A(4;5). Chứng minh A nằm ngoài đường tròn (C) . Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T 1 , T 2 , viết phương trình đường thẳng T 1 T 2 . 2. Trong không gian Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+y–2z+4=0 và mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;–1;1) và song song với mặt phẳng (P). Câu VII.a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: 2 3z i z i− = − − . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. B. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b(2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2 2 2 2 0x y− − = và B, C thuộc trục Ox . Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;–2;3), B(2;1;0), C(0;– 1;–2). Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC. Câu VII.b(1,0 điểm). Cho hàm số (C m ): 2 1 x x m y x − + = − (m là tham số). Tìm m để (C m ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại A, B vuông góc nhau. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN Câu I: 2) m ∈ (–1;3)\ { } 0;2 . Câu II: 1) ĐK: x ≥ 4. Đặt t = 4 4x x+ + − (t ≥ 0) ⇒ t ≥ 3 ⇔ 2 2 16x − ≥ 9 – 2x ⇒ S = 145 ; 36 +∞ ÷ 2) Đk: cosx ≠ 0. PT: sinx ( 3 sinx + cosx – 1 cos x ) = 0 . ĐS: x = k π , x = 3 k π π + Câu III: Đặt t = 2 x e − . I = 2 1 2 2 0 ( 2) 1 t tdt t t + + + ∫ = 2 1 2 0 2 1 ( 1 ) 1 t t dt t t + − + + + ∫ = 2ln3 – 1 Câu IV: * Định lý cosin: AB = AC = 2 3 a ⇒ ( )dt ABC∆ = 2 3 3 a . Gọi H là hcvg của S lên mp (ABC) ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. * Định lí sin : sin BC A = 2R ⇒ R = 2 3 a = HA ⇒ SH = 2 2 SA HA− = 6 3 a ⇒ .S ABC V = 2 2 9 a * h M = d(M;(SBC)) 1 ( ; ( )) 2 d A mp SBC= = 2 6 a Câu V: Ta chứng minh với a , b > 0 có a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 (*). Đẳng thức xảy ra khi a = b. ⇒ a 3 + b 3 ≥ ab(a + b); b 3 + c 3 ≥ bc(b + c); c 3 + a 3 ≥ ca(c + a) ⇒ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1) * BĐT Cô –si : 3 1 a + 3 1 a + 3 1 a ≥ 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c = 3 abc (2) * Nhân vế với vế của (1) và (2) ⇒ ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Câu VIa: 1) IA = 2 5 > R ⇒ A nằm ngoài đường tròn (C). Phương trình (T 1 T 2 ): x + 2y – 6 = 0 2) ∆ đi qua A, có VTCP 0 u ur = [ IA uur , P n ur ] = (–4;6;1) ⇒ ptts ( ∆ ): 3 4 1 6 1 x t y t z t = − = − + = + Câu VIIa: Đặt z = x + yi (x; y ∈ ¡ ); |z – i| = | z – 2 – 3i| ⇔ 2 3 0x y− − = ; |z| nhỏ nhất ⇔ z = 3 5 – 6 5 i Câu VIb: 1) A(3;4 2 ), B(1;0), C(5;0) ⇒ G( 3 ; 4 2 3 ) hoặc A(–1;–4 2 ), B(1;0), C(–3;0) ⇒ G( 1− ; 4 2 3 − ) 2) d: 1 2 4 3 5 x t y t z t = + = − + = − Câu VIIb: (C m ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A, B ⇔ 1 4 m < và 0m ≠ (*) . Hệ số góc tiếp tuyến của (C m ) tại A và B lần lượt là: k 1 = 1 1 2 1 x x − ; k 2 = y'(x 2 ) = 2 2 2 1 x x − Theo gt: k 1 k 2 = – 1 ⇔ 1 1 2 1 x x − . 2 2 2 1 x x − = – 1 ⇔ m = 1 5 ( thoả mãn (*)) . a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 (*). Đẳng thức xảy ra khi a = b. ⇒ a 3 + b 3 ≥ ab(a + b); b 3 + c 3 ≥ bc(b + c); c 3 + a 3 ≥ ca(c + a) ⇒ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b +. số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + ≥ + + ÷ ÷ II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần. cho mặt phẳng (P): x+y–2z+4=0 và mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;–1;1) và song song với mặt phẳng (P). Câu