Chương IV: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE (Phần 2) pptx

CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE §3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ • Vị trí cân bằng của cơ hệ. • Nguyên lý di chuyển khả dĩ • Ví dụ §3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ 1. Vị trí cân bằng của cơ hệ. Vị trí cân bằng của cơ hệ là vị trí cơ hệ sẽ luôn luôn ở tại đó tại mọi thời điểm nếu tại thời điểm ban đầu nó chiếm vị trí đó và có vận tốc của mọi chất điểm bằng không 2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ. Để vị trí của hệ là vị trí cân bằng, điều kiện cần và đủ là tại vị trí đó tổng công của tất cả các lực hoạt động trên mọi di chuyển khả dĩ bằng không 3. Các ví dụ. , 0 kk rr  = 0 1 = ∑ = k N k k rF   δ 3. Các ví dụ Ví dụ 1. Xác định quan hệ giữa lực ép và lực quay của đòn trong máy ép. Biết - Cơ hệ khảo sát: máy ép - Các lực hoạt động - Áp dụng NLDCKD P  P  Q  Q  P  ha, ),,( 21 QPP   ∑ = ,0 kk rF   δ 02 =− sQPa δδϕ δϕ π δ 2 h s = 0 2 2 =− δϕ π δϕ h QPa Q a h P π 4 = 3. Các ví dụ Ví dụ 2. Tìm quan hệ giữa các lực trong hệ để hệ cân bằng Bai giai Cơ hệ khảo sát: ròng rọc mang các vật nặng A, B, C. Các lực hoạt động: Hệ có hai bậc tự do, các toạ độ suy rộng Các phương trình liên kết α β 1 P  2 P  Q  A B C D A s B s C s CB ys , ),,( 21 QPP   ,2 1 csss CBA =++ CC ycs =+ 2 0sinsin. 21 =++ CBA yQsPsP δβδαδ ,02 =++ CBA sss δδδ , CC ys δδ = ),( 2 1 BAC ssy δδδ +−= 0)( 2 1 sinsin. 21 =+−+ BABA ssQsPsP δδβδαδ ,0 2 sin 1 =− Q P α ,0 2 sin 2 =− Q P β , sin2 1 α Q P =⇒ . sin2 2 β Q P = 3. Các ví dụ Ví dụ 4. Xác định lực Q để hệ cân bằng và các phản lực liên kết trong cơ cấu culit Bài giải • Tính lực Q. - Cơ hệ khảo sát: culit. Hệ có một bậc tự do, toạ độ suy rộng - Các lực hoạt động - Áp dụng NLDCKD P  Q  δϕ K C ϕ ϕ .,QP   0 =+−= C yPQRA δδϕδ ϕϕ ltgtgOKy C == . δϕ ϕ δ 2 cos l y C = 0 cos 2 =+− δϕ ϕ δϕ l PQR P R l Q ϕ 2 cos = 3. Các ví dụ • Tính các phản lực tại K - Cơ hệ khảo sát: Cu lit đã giải phóng liên kết K • Hệ có 3 bậc tự do. Các toạ độ suy rộng • Các lực hoạt động • Áp dụng NLDCKD: – Các di chuyển khả dĩ độc lập A X  P  Q  K C ϕ K M ψ C s δ A O ),,( ψϕ A s MXQP A ,,,    ( ) 0,0,0 1 ==≠= C s δδψδϕδ ( ) 0,0,0 2 =≠== C s δδψδϕδ ( ) 0,0,0 2 ≠=== C s δδψδϕδ 0. 2 =+−= ϕδψδψδ tglXMA A ( ) 0sincos 3 =−= AA sPXA δϕϕδ , ϕ PtgX A = . 2 ϕ PltgM = 3. Các ví dụ • Các di chuyển khả dĩ ( ) 0,0,0 1 ==≠= C s δδψδϕδ A X  P  Q  K C ϕ K M ψ δψ A O A X  P  Q  K C ϕ K M ψ δϕ A O A X  P  Q  K C ϕ K M ψ A O ( ) 0,0,0 2 =≠== C s δδψδϕδ ( ) 0,0,0 2 ≠=== C s δδψδϕδ CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE §4. Phương trình Lagrange loại hai 1.Rút ra phương trình Lagrange loại II 2.Biểu thức động năng trong các toạ độ suy rộng 3.Phương trình Lagrange loại hai trong trường hợp lực có thế. 4.Các ví dụ 5.Các tích phân chuyển động. §4. Phương trình Lagrange loại hai 1. Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai. Cơ hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng n qqq , ,, 21 ∑ = =− N k kkkk rwmF 1 0)(   δ ∑ ∑ = = = N k N k kkkkk rFrwm 1 1    δδ ∑ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i i i kk k q q r t r r 1     i k i k q r q r ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒     i k i k q r q r dt d ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒   ∑ = ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ = ∂ ∂ n j j ij k i k i k q qq r qt r q r dt d 1 22   ∑ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = n j j j kk k q q r t r r 1     = ∂ ∂ i q r   ∑ = ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ n j j ji k i k q qq r tq r 1 22   1.Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai. Hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng ∑∑ ∑ ∑∑∑ == = === =         ∂ ∂ = ∂ ∂ = n i ii N k n i i i k N k k n i i i k k N k kk qQq q r Fq q r FrF 11 1 111 δδδδ       i i k N k k Q q r F = ∂ ∂ ∑ =   1 ∑ = = N k kkk rwm 1 W  δ , dt rd dt vd w kk k    == ∑ = ∂ ∂ = n i i i k k q q r r 1 δδ   ∑∑ ∑∑ ∑ = = == = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ = n i N k N k i i k kki i k kk N k n i i i kk k q q r dt d rmq q r rm dt d q q r dt rd m 1 1 11 1 W δδδ          ∑∑ ∑ = = = ∂ ∂ − ∂ ∂ = n i N k N k i i k kki i k kk q q r rmq q r rm dt d 1 1 1 W δδ          [...]... suy rộng (ϕ , u )    - Các lực P , P2 , F (t ), M (t ) 1 ( C2 O ) - Áp dụng phương trình Lagrange 1 1 1 2 2  2 + m2 vC 2 + J 2ϕ 2  T = T1 + T2 = ( J 1 + m1a )ϕ 2 2 2 xC 2 = u cos ϕ yC 2 = u sin ϕ C1 ϕ a u (t )  F x 2 Các ví dụ Ví dụ 3 2  2 2  vC 2 = xC 2 + yC 2 = u 2 + u 2ϕ 2 Áp dụng phương trình Lagrange 1 1 1 1 2 2  2 + m2u 2 = ( J + m2u 2 )ϕ 2 + m2u 2    T = ( J 1 + J 2 + m1a + m2u... T1 + T0 ,  ∂rk  T1 = ∑  ∑ mk ∂t i =1  k =1 n N N ∑ Trường hợp liên kết dừng  ∂rk =0 ∂t T1 = T0 = 0 T = T2 Áp dụng định lý Ơ le về dạng thức toàn phương ∂T  ∑ ∂q qi = 2T i i =1 n 3 Phương trình Lagrange loại hai trong trường hợp lực có thế ∂Π Biểu thức của lực suy rộng Qi = − ∂qi Chứng minh ∂Π Zk = − ∂z k N ∂Π ∂Π ∂Π δA = ∑ X kδxk + Ykδyk + Z kδzk = −∑ δxk + δyk + δzk ∂yk ∂zk kn=1 k =1 ∂xk n n... + ∂z ∑ ∂q δqi = k =1  ∂x k i =1 i k i =1 i k i =1 i  n N n n  ∂Π ∂xk ∂Π ∂y k ∂Π ∂z k  ∂Π = −∑∑  + + δqi = −∑ δqi = ∑ Qiδqi ∂xk ∂qi ∂xk ∂qi  i =1 k =1  ∂x k ∂qi i =1 ∂qi i =1 N 3 Phương trình Lagrange loại hai trong trường hợp lực có thế ∂Π ∑ Qiδqi = −∑ ∂q δqi i =1 i =1 i n Đặt d ∂T ∂T ∂Π − =−  dt ∂qi ∂qi ∂qi ∂Π =0  ∂qi n i = 1,2, , n ∂L ∂T L = T − Π, = , i = 1,2, , n   ∂qi ∂qi d ∂L ∂L... − sin 2ϕ  2l   2 Các ví dụ Ví dụ 2 Phương trình vi phân chuyển động của con lắc elliptic - Hệ có hai bậc tự do, chọn các toạ độ suy rộng là    - Các lực hoạt động P , P2 , F 1 - Lập phương trình Lagrange d ∂T ∂T − = Qx ,  dt ∂x ∂x d ∂T ∂T − = Qϕ  dt ∂ϕ ∂ϕ 1 1 2 2 T = Tct + Tqc = m1v1 + m2 v2 2 2  v1 = x    v2 = { x B , y B } O y A  P ϕ x F  P 1 B 2 Các ví dụ    x B = x + l sin ϕ x...1.Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai Hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng   2 1  ∂rk ∂T   T = ∑ mk rk ∑ mk rk = 2 k =1   ∂qi i ∂qi k =1 n d n ∂T ∂T W= ∑ δqi − ∑ δqi  dt i =1 ∂qi i =1 ∂qi N N    ∂rk ∂T  mk rk ∑ ∂q = ∂q... (m1a + m2u ) g cos ϕ , Qu = F − m2 g sin ϕ ∂T  = ( J + m2u 2 )ϕ ,  ∂ϕ ∂T  = m2u ,  ∂u d ∂T   = ( J + m2u 2 )ϕ + 2m2uuϕ ,  dt ∂ϕ d ∂T  = m2 u  dt ∂u 2 Các ví dụ Ví dụ 3 Áp dụng phương trình Lagrange ∂T  = m2uϕ 2 , ∂u ∂T =0 ∂ϕ   ( J + m2 u 2 )ϕ + 2m2 uuϕ = M − (m1a + m2u ) g cos ϕ   m2u − m2 uϕ 2 = F (t ) − m2 g sin ϕ 5 Các tích phân chuyển động   Khái niệm qi = qi (t ), qi = qi... ∂Π dΠ i = ∑ ∂q q dt i =1 i n dT dΠ ⇒ + =0 dt dt dE = 0 ⇒ E = T + Π = const dt E =T +Π 5.2 Tích phân xyclic 5.2.1 Toạ độ xyclic Ta gọi các toạ độ suy rộng , là toạ độ xyclic nếu trong biểu thức của hàm Lagrange không có mặt hiện các toạ độ đó L = L( q1 , q2 , , q n− s ) 5.2.2 Tích phân xyclic d ∂L ∂L − =0  dt ∂qi ∂qi d ∂L =0  dt ∂qα i = 1,2, , n − s ∂L = cα = const  ∂qα α = 1,2, , s α = 1,2, , s 5 . ) 0,0,0 2 ≠=== C s δδψδϕδ CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE §4. Phương trình Lagrange loại hai 1.Rút ra phương trình Lagrange loại II 2.Biểu thức động năng trong các toạ độ suy rộng 3.Phương trình Lagrange loại. CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE §3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ • Vị trí cân bằng của cơ hệ. • Nguyên lý di chuyển. hợp lực có thế. 4.Các ví dụ 5.Các tích phân chuyển động. §4. Phương trình Lagrange loại hai 1. Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai. Cơ hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng n qqq , ,, 21 ∑ = =− N k kkkk rwmF 1 0)(   δ ∑