www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 1 1. BÀI TẬP ÁNH XẠ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1) R 2 ,R 3 và R 4 có các cơ sở chính tắc lần lược là , , α β ε . Xét f ∈ L(R 3 ,R 4 ) và g ∈ L(R 2 R 3 ) với , [ ]g α β − = − 1 3 0 2 2 1 = A và f(u,v,w) = (u-2v+3w,3u+v-w,4w-2u-3v,5u-3v+5w),(u,v,w) ∈ R 3 . a) Tìm một cơ sở cho Im(f) và Ker(f).Khi nào = α =(a,b,c,d) ∈ Im(f) ? f có đơn ánh không ? b) Viết , B=[f] β ε và 0 , C=[f g] α ε rồi tìm biểu thức của g và f o g. c) 2 '={ =(-3,2); (5,1)} '={ ( , , ), ( , , ) (2,-3,3)} α α α β β β β − − 1 1 2 3 1 2 2 3 2 3 là các cơ sở của R 2 và R 3 .Viết các ma trận ', ' ', , ' D=[g] [ ] [ ]E g G g α β α β α β = = d) Cho h ∈ L(R 2 R 3 ) có ', ' [h] H α β = = − 4 1 2 5 3 0 . Viết , K=[h] α β rồi tìm biểu thức cho h. 2) Cho , ' β β như bt1 và m là tham số thực . Xét f , h ∈ L(R 3 ) có : f(u,v,w)=(u+3v-3w, 2u+v+w, (3m-1)u+(m+3)v+(2m-6)w) (u,v,w) ∈ R 3 và ' [ ]h β = − 1 2 3 1 0 2 2 1 1 a) Viết ' , ' ', [f] ;[f] ;[f] ;[f] β β β β β β ? b) Tìm m để f không song ánh. Lúc đó tìm 1 cơ sở cho Im(f) và Ker(f). c) Viết , ' ', [h] ;[h] ;[h] β β β β β . Tìm biểu thức của h. d) Cho m = -2 và g = 2f – 5f 2 +3Id R 3 .Viết ' [g] ;[g] β β .Tìm -1 [f ] β và biểu thức của f -1 . 3) Xác định Kerf và Imf cho các ánh xạ tuyến tính sau : ) : [ ] ( ) ( ( ), ( ), )( )) ) : ( ) ( )( ) ( ) ( ) k x k a f Q x Q x b f C R C R k x e x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + → − → ∈Ν 3 1 1 0 1a a ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ) : ( ) ( )( ) ( sin cos cos ) x c f C R C R x t dt d f M R C R k a b a x b x c x dx c d ϕ ϕ ∞ → → ∈Ν + − + ÷ ∫ 1 0 2 2 2 3 2 2 a a www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 2 2. BÀI TẬP KHÔNG GIAN EUCLIDE 1) Cho không gian Euclde (V,<|>) , T ∈ L(V) và a, b ∈ V a) Chứng minh | ||a|| - ||b|| | ≤ ||a ± b|| , ||a + b|| 2 + ||a-b|| 2 = 2(||a|| 2 + ||b|| 2 ) , ||a + b|| 2 - ||a-b|| 2 = 4<a | b>. b) Giả sử <a | c> = 0 c V∀ ∈ . Chứng minh a = θ c) Giả sử <a | c> = <b | c> c V∀ ∈ .Chứng ming a = b. d) Giả sử <T(c)| c> = 0 và <T(c)| d> = <c |T(d)> ,c d V∀ ∈ .Hãy xét <T(c+d) |(c+d)> để chứng minh T= θ 2) Cho (V,<|>), , & ,H K V A B V≤ ⊂ thỏa A B ≠ ∅ ≠ .Chứng minh : ) & ) ) ) & ) ) : a V V b A A v A A c A B A B d A V A A e A A A f A A D V D A θ θ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊥ ⊥ = = = ∅ ⊂ => ⊃ ⊂ =< > ⊂< >⊂ = <=> ∃ ⊂ = I I ) ) ( ) .g A A h A B A B ⊥⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = ∩ ⊂ + Nếu θ ∈ (A ∩ B) thì ( ) .A B A B ⊥ ⊥ ⊥ ∩ = + ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ) .ChöùngminhA=A ) dim dim { } n n n R R i H K H K j A B A B neáu A B k NeáuV V thì H K H K e NeáuV V thì A A m ChoV V A V n Neáu H K thì H K ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊥⊥ ⊥ ∩ = + + ⊂ ∩ ∩ ≠ ∅ = + = ∩ = =< > = <=> ≤ < < +∞ ∩ ≠ ∅ 3) V=R 4 với tích trong thông thường. Cho &W VV α ∈ ≤ .Tìm một cơ sở cho W và W ⊥ . ( , ) W Tính pr vaø d W α α { } ) ( , , , ) ( , , , ) / ) ( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ) ) ( , , , ) ( , , , ), u v w t u v w t a vaWø u v w t R w t u v u v w t b vaWø c vaWø α α α α α α α − + − = + + − = = − − = ∈ + − − = − + − = = − − =< = − − = − = − > = =< = − 4 1 2 3 1 2 4 3 0 2 3 6 0 4 3 1 4 6 2 5 0 3 7 9 0 1 9 5 5 1 1 1 1 5 8 1 2 3 0 7 10 3 5 5 1 1 0 2 1 { } ( , , , ), ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) / u v w t u v w t d vaWø u v w t R v u t w t u w v α α α = − − = − > − + − = − + − = = − = ∈ − + − = − + − = 2 3 4 2 1 9 4 3 0 7 1 0 2 8 8 0 3 5 21 22 0 2 9 3 9 5 2 18 19 0 2 0 4) Tìm a, b ∈ R để mỗi giá trị tích phân dưới đây nhỏ nhất, và tính các giá trị đó: x x ) ( x) x b) ( ax-b ) x c) ( a-be ) x d) (x-asin2x-bcosx) x e) ( -ax-bcos2x) x f) (e ) x a x a b d x d x d d d a bx d π π − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 2 2 2 2 2 0 1 0 2 1 2 2 2 0 0 1 1 2 www.violet.vn/anhbay → Ơn thi cao học → Tốn 3 3. BÀI TẬP TỐN TỬ VÀ MA TRẬN CHÉO HĨA. 1) Cho \{ }, , , ( ) n c F A B Q M F∈ ∈0 với B khả nghịch. Đặt , , , . t P A C B AB D BA B G cA − − = = = = 1 1 Chứng minh rằng : ) ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) ( ) ) ( ) ( ) n P C D A G A H K a p x p x p x p x p x c p c x b Nếu H BQ và K QB thì p x p x − = = = = = = = 1 2) Cho f ( )L Vn∈ và c là một giá trị riêng của f trên F. a) Xét f c ( ) [ ]và ( ) ( ).ChứngminhE g c F x g f L Vn E ϕ ϕ ϕ ∈ = ∈ ⊂ và ϕ (c) là một giá trị riêng của g trên F.Suy ra nếu f chéo hóa được trên F với ( ) ( ) ( ) ( ( )) j j k k r r f j g j j j p x x c thì g cũng chéo hóược trên F và p x x c ϕ = = = − = − ∏ ∏ 1 1 . Cho ví dụ để thấy ( ) f g c c E E ϕ Ø b) Giả sử f song ánh và -1 f h c c ( ).Chứngminhc 0,E E n h f L V và c − − = ∈ ≠ = 1 1 là một trị riêng của h trên F.Suy ra nếu f chéo hóa được trên F với ( ) ( ) ( ) ( ) j j k k r r f j h j j j p x x c thì h cũng chéo hóược trên F và p x x c − = = = − = − ∏ ∏ 1 1 1 c) Phát biểu và chứng minh lại a) b) cho ma trận A(khả mghịch) ( ) n M F∈ 3) Cho f ( )L R∈ 3 . Kiểm tra f có chéo hóa được trên R khơng? Nếu được thì biểu diễn dạng chéo cho f: ) ( , , ) , ( , , )a u v w R f u v w∀ ∈ = 3 (13u+2v-8w,6u+2v-4w,18u+3v-11w) ) ( , , ) , ( , , )b u v w R f u v w∀ ∈ = 3 (4u-2v-w,2u-2v+2w,4u-13v+2w) ) ( , , ) , ( , , )c u v w R f u v w∀ ∈ = 3 (u-2v-2w,4u+4v-4w,u-v-2w) ) ( , , ) , ( , , )d u v w R f u v w∀ ∈ = 3 (19u-5v-6w,25u-112v+4w,17u-5v-4w) 4) Cho A ( )M Q∈ 3 . Kiểm tra A có chéo hóa được trên Q khơng? Nếu được thì biểu diễn dạng chéo cho A và tính A k (k ngun k>1) bằng phép nhâ 2 ma trận: ) ) ) )a A b A c A d A − − = − = − = − = − − − − − − 4 5 2 1 2 2 3 2 0 2 1 2 5 7 3 1 2 1 2 4 2 5 3 3 6 9 4 1 1 4 0 2 5 1 0 2 END . C R C R k x e x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + → − → ∈Ν 3 1 1 0 1a a ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ) : ( ) ( )( ) ( sin cos cos ) x c f C R C R x t dt d f M R C R k a b a x b x c x dx c d ϕ ϕ ∞ → → ∈Ν + − + ÷ ∫ 1 0 2 2. nhỏ nhất, và tính các giá trị đó: x x ) ( x) x b) ( ax-b ) x c) ( a-be ) x d) (x-asin2x-bcosx) x e) ( -ax-bcos2x) x f) (e ) x a x a b d x d x d d d a bx d π π − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 2