UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC NĂM HỌC: 2006 – 2007 (Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây: Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. 4x 2 – 8x + 3 2. x 2 – y 2 + 10 x – 6y + 16 3. x 5 + x + 1 4. a (b 2 – c 2 ) + b (c 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) Bài 2: (5 điểm) 1. Xác định hệ số a, b sao cho đa thức: x 4 + ax 3 + b chia hết cho x 2 – 1. 2. Cho biểu thức: a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P = 1. c. Tìm các giá trị của x để P > 0. Bài 3: (4 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc. 2. Cho và x, y, z khác 0. Tính giá trị của biểu thức: Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O. trên đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung điểm của AM. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác HEKC là hình chữ nhật. 2. OM // CM. 3. HK // AC. 4. Ba điểm M, H, K thẳng hàng. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A. Điểm E nằm trong tam giác sao cho: . Tính số đo góc AEB ? HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2006 - 2007 BÀI CÂU NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM 1 (4 đ) 1 2 3 4 4x 2 – 8x + 3 = 4x 2 – 2x – 6x + 3 = 2x(2x – 1) – 3(2x – 1) = (2x – 1)(2x – 3) x 2 – y 2 + 10x – 6y +16 = x 2 + 10x + 25 – y 2 – 6y – 9 = (x 2 + 10x + 25) – (y 2 + 6y + 9) = (x + 5) 2 – (y + 3) 2 = (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3) = (x + y + 8)(x – y + 2) x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) = x 2 (x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)( x 3 - x + 1) a (b 2 – c 2 ) + b (c 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) = = a (b 2 – c 2 ) + b(c 2 – b 2 + b 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) = (b 2 – c 2 )(a – b) + (a 2 – b 2 )(c – b) = (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c) = (a – b)(b – c)(c – a) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 2 (5 đ) 1 2 Thực hiện phép chia đa thức x 4 + ax 3 + b cho đa thức x 2 -1 ta được thương là x 2 + ax + 1, số dư là ax + (b + 1) Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x Do đó: a = 0 và b + 1 = 0 Vậy: a = 0 và b = - 1 a. = b. ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2 P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không thỏa mãn) Vậy không có giá trị nào của x để P = 1. c. P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0) <=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2) 1 0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 BÀI CÂU NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM Câu 3 (4đ) 1 2 a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = a 3 + (b + c) 3 – 3bc (b + c) – 3abc = (a + b + c){a 2 – a(b + c) + (b + c) 2 } – 3bc (a + b + c) = (a + b + c) (a 2 – ab – ac + b 2 + 2bc + c 2 – 3bc) = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac – bc) Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Ta có : Vậy: A = xyz = 3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4 (4 đ) 1 2 3 4 2 2 I 1 1 B E K O M H C D A Ta có: => tứ giác HEKC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông). Gọi I là giao điểm của HK và CE, O là giao điểm của AC và BD. Ta có: OM là đường trung bình của ACE Vậy: OM // CE. Ta có: = (góc đồng vị) (1) COD can tại O; CIK cân tại I Do đó: = (2) = (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra : = Vậy: HK // AC Xét ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung điểm của AE, tức đi qua điểm M. Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng. Hình vẽ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 BÀI CÂU NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM 5 K E C B A Trong ABC lây điểm K sao cho ⇒ KAB = EAC (c – g – c) Do đó: AK = AE ⇒ AKE cân tại A = 90 0 – 2. 15 0 = 60 0 Nên AKE là tam giác đều Mà = 360 0 – (150 0 + 60 0 ) = 150 0 ⇒ Ta có: BAK = BEK (c – g – c) ⇒ Vậy: = 60 0 + 15 0 = 75 0 Hình vẽ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 . UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC NĂM HỌC: 2006 – 2007 (Đề ch nh thức) MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Thí sinh làm tất cả các bài toán sau. (4 điểm) 1. Phân tích đa thức th nh nhân tử: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc. 2. Cho và x, y, z khác 0. T nh giá trị của biểu thức: Bài 4: (4 điểm) Cho h nh chữ nh t ABCD có tâm đối xứng là điểm O là h nh chiếu của E trên BC và DC. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác HEKC là h nh chữ nh t. 2. OM // CM. 3. HK // AC. 4. Ba điểm M, H, K thẳng hàng. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh