Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 9 pdf

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 72 Chương 8 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Như đã phân tích ở chương hai, một bài toán có miền hình học phức tạp, có thể xem như là tập hợp của nhiều dạng hình học đơn giản (gọi là miền con hay phần tử –element); để việc xây dựng hàm xấp xỉ (hay còn gọi là hàm nội suy- interpolation function) trên miền con nầy được dễ dàng, hàm xấp xỉ được xây dựng một cách hệ thống cho hầu hết dạng hình học, hàm xấp xỉ nầy chỉ phụ thuộc vào phương trình vi phân, từ đó hình thành phương pháp phần tử hữu hạn. Với phương pháp phần tử hữu hạn, miền tính toán được xem như là tập hợp nhiều miền con hữu hạn (finite element) có dạng hình học đơn giản (simple shape-element). Trên mỗi miền con nầy, phương trình chỉ đạo (governing equation) được thiết lập với sử dụng một phương pháp biến phân nào đó. Các phần tử được liên kết với nhau và phải thoả mãn điều kiện cân bằng và liên tục của các biến phụ thuộc qua biên của các phần tử. 8.1 Các loại phần tử Miền tính toán được chia thành nhiều miền con (còn gọi là phần tử); nếu miền tính toán là một chiều, ta có phần tử một chiều, miền tính toán là hai chiều ta có phần tử hai chiều, miền tính toán là ba chiều ta có phần tử ba chiều. Các loại phần tử một chiều Các loại phần tử hai chiều Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 73 Các loại phần tử ba chiều 8.2 Hàm nội suy Lời giải xấp xỉ của ẩn số bài toán được cho bởi: j n j j Nhh . 1 ∑ = = (3.1) Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 74 Ở đây Ν j là hàm nội suy (interpolation functions) và h j là ẩn của bài toán tại nút của phần tử. Ta cũng có thể mô tả hình dạng của phần tử bằng cách dùng các toạ độ của mỗi nút trong phần tử (xem Hình 3.1): j n j j xpSpx ).()( 1 ∑ = = (3.2a) j n j j ypSpy ).()( 1 ∑ = = (3.2b) j n j j zpSpz ).()( 1 ∑ = = (3.2c) Vì rằng hàm nội suy S j được dùng xác định hình dạng của phần tử, nên thường được gọi là hàm dạng (shape functions). Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 75 Hình 3.1: Hàm nội suy và hàm dạng của phần tử một chiều Bậc của đa thức dùng để nội suy và các hàm dạng bên trong phần tử có thể là khác nhau; người ta phân ra ba loại như sau: Phần tử dưới tham số (subparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng nhỏ hơn bậc đa thức nội suy. Phần tử đẳng tham số (isoparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng bằng bậc đa thức nội suy. Phần tử trên tham số (superparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng lớn hơn bậc đa thức nội suy (xem Hình 3.2). Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 76 Đa số các bài toán trong thực tế dùng phần tử đẳng tham số và hàm dạng đồng nhất với hàm nội suy.Hình 3.2: Minh hoạ về định nghĩa các loại phần tử một chiều dưới tham số, đẳng tham số, và trên tham số Khi tại các nút chỉ chứa ẩn số h của bài toán, thường xử dụng hàm nội suy Lagrange (phần lớn các hàm nội suy trong các bài toán chất lỏng được xử dụng bởi nội suy Lagrange, do đó ở đây chỉ giới thiệu nội suy Lagrange ); nếu tại các nút còn có ẩn số là đạo hàm ∂h / ∂x i thường xử dụng hàm nội suy Hermite. Hàm nội suy Lagrange được xây dựng từ đa thức như sau: ∏ ≠ = − − = mk m mk m k xx xx xN 0 )( (3.3) Với m là số nút x m là toạ độ nút thứ m Tính chất của hàm nội suy Hàm nội suy có các tính chất sau: - Tính chất 1: Hàm nội suy có giá trị bằng 1 tại nút đó và bằng 0 tại các nút khác. - Tính chất 2: Các hàm nội suy thoả biểu thức sau: njPPN j n i iji , 2,1),()().( 1 == ∑ = ξξξ (3.4) Với P j (ξ i ) là đa thức cơ sở của hàm nội suy. Hàm nội suy có thể được xây dựng trong hệ toạ độ tổng thể (global coordinates) hoặc hệ toạ độ địa phương (local coordinates), thông thường với các bài toán phức tạp (nội suy bậc cao ở các bài toán hai hoặc ba chiều) phải sử dụng hàm nội suy trong toạ độ địa phương. 8.2.1 Hàm nội suy cho bài toán một chiều (i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ tổng thể: [ ] 21 NNN = (3.5) Với AB A AB B xx xx N xx xx N − − = − = − 21 , (ii) Nội suy dạng Lagrange bậc hai trong hệ toạ độ tổng thể: Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 77 [ ] 321 NNNN ≡ (3.6) trong đó ( ) ( ) xx D xN e i e i e i e i γβα ++= 1 với i = 1 , 2 , 3 Trong đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = =−−= −= −= 3 1 22 22 , i e i ee k e j e i e k e j e i e j e k e k e i e i Dxx xx xxxx αγ β α (iii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương [ ] 21 NNN ≡ (3.7a) với: ( ) ( ) )7.3( 1 2 1 1 2 1 2 1 b N N        += −= ξ ξ (iv) Nội suy bậc hai dạng Lagrange trong hệ toạ độ địa phương: [ ] 321 NNNN ≡ (v) Nội suy bậc ba dạng Lagrange trong hệ toạ độ địa phương: [ ] 4321 NNNNN ≡ ( ) ( )( ) ( ) )7.3(1 2 1 ,11,1 2 1 321 cNNN ξξξξξξ +=−+=−−= 0 - 1 1 ξ 2 N 1 N 1.0 i N 1 2 3 - 1 - 1 1 1 u 2 u 3 u 0 11 ≤ ≤ − ξ r v n = 3 ξ 1 2 3 1 x 1 u 2 u 3 u 31 xxx ≤ ≤ r v e v n d = 3 3 x 2 31 2 xx x + = x 1 2 3 4 - 1 - 1 3/1 − 3/1 1 1 u 2 u 1 3 u 4 u 0 11 ≤ ≤ − ξ r v n = 4 1 2 3 4 1 x 3 2 41 2 xx x + = 1 u 2 u 3 u 4 u 21 xxx ≤ ≤ r v e v n d = 4 2 x 3 2 41 3 xx x + = Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 78 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) )7.3( 1 3 1 3 1 16 9 3 1 11 16 27 3 1 11 16 27 3 1 3 1 1 16 9 4 3 2 1 d N N N N              +       −       +−=       +−+=       −−+=       −       +−−= ξξξ ξξξ ξξξ ξξξ 8.2.2 Hàm nội suy cho bài toán hai chiều (i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ tổng thể cho phần tử tam giác: [ ] 321 NNNN ≡ (3.8) ở đây: ( ) yx A N e i e i e i γβα ++= 2 1 1 (3.8a) với: i = 1 , 2, 3 hoán vị vòng tròn ( ) kji kji jkkji xx yy yxyx −−= −= − = γ β α (ii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác: [ ] 321 NNNN = (3.8b) 1 2 3 t n 1 u 2 u 3 u r v ξ η 3 = n 3 = n 3= d n 1 2 3 1 u 2 u 3 u e v x y Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 79 với: ηξηξ ==−−= 321 ,,1 NNN Nếu điểm gốc toạ độ địa phương được chọn khác như hình sau, thì hàm nội suy cho phần tử tam giác cũng sẽ thay đổi theo: (iii) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác: ( ) ( ) ( ) ηλξξ ηηξλ ξλ λ λ 4,21 21,4 4,21 63 52 41 =−−= −−== = − = NN NN NN (3.8c) Với: η ξ λ − − = 1 (iv) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác: Hàm dạng: [ ] 4321 NNNNN = (3.8d) ( ) ( ) η ξ ηξ += += +−= 1 2 1 )'8.3(1 2 1 )( 2 1 3 2 1 N bN N - 1 1 1 ξ - η 1 3 5 1 u 3 u 5 u ξ η 6 = n 2 u 4 u 6 u 4 2 6 6= d n 1 2 3 1 u 2 u 3 u x y 4 u 4 5 5 u 6 6 u t n Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 80 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ηξηξ ηξηξ +−=−+= ++=−−= 11 4 1 ,11 4 1 11 4 1 ,11 4 1 42 31 NN NN (v) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác: ( )( ) ( )( ) 11 4 1 ,11 4 1 43 +−=++= ξξξηψηξξηψ ( )( ) ( )( ) 11 4 1 ,11 4 1 21 −+=−−= ηξξηψηξξηψ η ξ 4 n = 1 2 u 2 3 u 3 4 u 4 r v 1 u 4n d = y x 4 3 2 1 4 u 3 u 2 u 1 u e v 4 n = 9 = n η ξ r v 3 4 1 9 2 5 6 7 8 - 1 1 1 - 1 6 4 2 3 1 5 7 8 9 y x 9= d n 2 31 2 xx x + = etc … e v Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 81 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 5 11 2 1 ,11 2 1 ηξξψηξηψ −+=−−= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 2 7 11 2 1 ,11 2 1 ηξξψηξηψ −−=+−= ( ) ( ) 22 9 11 ηξψ −−= (3.8e) 8.2.3 Hàm nội suy cho bài toán ba chiều (i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp: ζξ η ζ η ξ == = − − − = 42 31 , ,1 NN NN (3.9a) (ii) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp: ( ) ( ) ( ) ηλ ηη ξη ξξ ξλ λ λ 4 21 4 21 4 21 6 5 4 3 2 1 = −−= = −−= = − − = N N N N N N (3.9b) ζ η 1 2 u 2 3 u 3 4 u 4 r v 1 u ξ 4n d = z y 4 3 2 1 4 u 3 u 2 u 1 u e v 4 n = x ζ η 1 2 3 4 ξ 5 9 1 8 6 7 [...]... 0.0000000000 0.5773502 692 0.0000000000 0.774 596 6 692 0.3 399 810 435 0.8611363116 0.0000000000 0.5384 693 101 0 .90 61 798 4 59 0.2386 191 861 0.6612 093 865 0 .93 24 695 142 S i m tớch phõn r M t i m Hai i m Ba i m B n i m Nm i m Sỏu i m Tr ng s wi 2.0000000000 1.0000000000 0.88888888 89 0.5555555555 0.6521451548 0.3478548451 0.56888888 89 0.4786286705 0.23 692 68850 0.46 791 393 46 0.3607615730 0.171324 492 4 8.4 Cỏc b c... +k44 +k44 k45 +k45 k47 k48 +k48 1 6 1 3 6 7 8 3 8 7 8 k54 +k54 k55 +k25 +k55 +k55 +k55 +k55 k56 +k56 k68 +k58 k 79 +k 59 5 5 5 4 3 8 3 4 8 k63 k65 +k65 k66 +k66 +k66 k 89 6 5 5 5 k74 k77 k78 5 5 5 6 7 k84 +k64 k65 +k75 k87 k88 +k88 +k88 k 79 8 8 8 8 8 7 8 k75 +k85 k96 k98 k 79 +k 99 9 9 9 3 4 5 6 7 8 (3.22) C ng m t cỏch tng t cho vect v ph i { C }, v i chỳ ý phộp c ng n y gi ng c ng cỏc s h ng trờn... mi n c chia thnh 8 ph n t tam giỏc (ne =8), cú 9 i m nỳt (R =9) , t i m i i m nỳt cú s b c t do (s n s t i nỳt ), õy s =1 l c t n c th m, m i ph n t tam giỏc cú 3 i m nỳt (r = 3); thỡ s b c t do c a m i ph n t l: r ìs = 3ì1 = 3 (xem Hỡnh 3.5) Bi Gi ng Chuyờn Phng Phỏp Tớnh Trang 89 Khoa Xõy D ng Th y L i Th y i n B mụn C S K Thu t Y(m) Vn = 0 F E 3 D 9 6 4 8 3 2 7 8 5 6 2 5 1 4 1 A i B k i j 7 C X(m)... t 2 c a ma tr n t ng th v ma tr n t ng th : Bi Gi ng Chuyờn Phng Phỏp Tớnh Trang 90 Khoa Xõy D ng Th y L i Th y i n ne 8 e =1 B mụn C S K Thu t e =1 [ K ] = [K ]e = [K ] e 1 2 1 1 2 2 k12 k11 +k11 2 k2 k +k +k4 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 4 3 k32 1 4 k 4 1 = 1 2 [X] 5 k51 +k51 k22 +k32 5 5 3 4 k62 +k62 6 7 8 9 = [X] 9 1 1 2 k14 k15 +k15 4 2 3 3 4 k23 k25 +k25 k26 +k26 4 4 k33 k36 1 5 6 1 6... tớnh toỏn (ABCDEF) N u cng v i ph n t tam giỏc cú ba i m nỳt n y r = 3, t i m i nỳt cú ba n h, u, v nh bi toỏn dũng ch y h hai chi u ngang s = 3, thỡ s b c t do c a m i ph n t l r s = 3x3 = 9, ta s c ma tr n ph n t (9, 9) n gi n ta xột ph n t tam giỏc t i m i nỳt cú m t b c t do M i ph n t ( õy l tam giỏc) c ỏnh s cỏc nỳt (i,j, k), theo chi u c qui c (ch ng h n ng c chi u kim ng h ), nỳt i c qui c... K kk , {C} e cie = c ej c e k V i cỏch ỏnh s nỳt v ph n t nh trờn ta cú 8 ph n t v i cỏc nỳt tng ng (i,j,k) nh sau: e1(1,4,5), e2(1,5,2), e3(2,5,6), e4(2,6,3), e5(4,7,8), e6(4,8,5), e7(5,8 ,9) , e8(5 ,9, 6) Vớ d ph n t : [K]e=4 K = K K e4(i,j,k) e4 (2,6,3) 4 22 4 62 4 32 4 K 26 4 K 66 4 K 36 4 K 23 4 K 63 , 4 K 33 v {C} e=4 = 4 c 2 4 c 6 c 4 3 M i h s Kije ch e ch s trờn, ch h s n y... thụng th ng s xu t hi n cỏc bi u th c i s r t ph c t p khi ph n t l hai, ba chi u (Irons and Ahmad, 198 0) Thay vo ú n u chỳng ta th c hi n chỳng trong h to a phng (,,, local coordinate) hay cũn g i l to chu n hay to t nhiờn (normal coordinate hay natural coordinate) thỡ s n gi n hn r t nhi u (Taig, 196 1); b i l nú thu n l i trong vi c xõy d ng hm n i suy, tớch phõn s dựng c cỏch thi t l p c a Gauss-Legendre...Khoa Xõy D ng Th y L i Th y i n N 7 = 4 , N 8 = 4 N 9 = 4 , B mụn C S K Thu t N 10 = (1 2 ) v i: (iii) N i suy tuy n tớnh trong h to hỡnh tr ỏy tam giỏc: = 1 a phng cho ph n t ba chi u z 4 6 0 0 1 0 1 0 6 5 3 3 4 2 1 = 1 1 y 3 v 2 r ve x n=6 nd = 6 N 1 = a , N 4 = b (3.9c) N 2 = a , N 5 = b N 3 = a , N 6 = b V i: = 1 , a= 1 , 2 b= 1+ 2 (iv) N i suy... nh ng thụng s tr ng thỏi nh: Chuy n v u, bi n d ng , ng su t , Bi Gi ng Chuyờn Phng Phỏp Tớnh Trang 94 Khoa Xõy D ng Th y L i Th y i n B mụn C S K Thu t u Bi t liờn h : [] = [ x ] t i 1 i m []=[E].[],v iE:Tớnhch tc av tli u x2 = s x2 (V) Iu u=o o Bi Gi ng Chuyờn G' x1 Phng Phỏp Tớnh (S) G x1 Trang 95 Khoa Xõy D ng Th y L i Th y i n B mụn C S K Thu t PHNG TRèNH TCH PHN (Integral equation) Mu n gi i... ){q}e o T e (7) Ve (8) {P}e = [ N ]T {g}e dV + Ve 1 2[ B ] T Se 1 {N}T {P}e dS + [ B T ].[ D].{ o }e )dV 2 V e { o }e dV (9) Ve {P} g i l vect t i ph n t Trong ú: {g} l l c kh i, {P}t i tr ng b m t GHẫP N I CC PH N T Bi Gi ng Chuyờn - MA TR N Phng Phỏp Tớnh C NG V Trang 97 Khoa Xõy D ng Th y L i Th y i n B mụn C S K Thu t VECT T I T NG TH Mi n V c chia thnh ne ph n t (mi n con Ve ) b i R i m nỳt . 0.56888888 89 5384 693 101.0 ± Năm điểm 0.4786286705 90 61 798 4 59. 0 ± 0.23 692 68850 2386 191 861.0 ± 0.46 791 393 46 6612 093 865.0 ± Sáu điểm 0.3607615730 93 24 695 142.0 ± 0.171324 492 4 8.4.                          8 58 59 59 62 62 63 65 65 66 66 66 69 74 77 78 84 84 85 85 87 88 88 88 89 95 95 96 98 99 99 6 7 7 8 3 4 4 3 8 3 4 8 8 5 5 5 5 6 6 7 5 5 6 7 7 7. Mặt đất M ực n ư ớc ng ầ m Phần tử Phần Phần tử Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 89 (n e .1) = (n e .n) x (n