boi duong HSG 6

Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số: a Có một chữ số b có hai chữ số c Là số chẵn... b Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy viết

Trang 1

-chuyên đề: số tự nhiên - áp dụng.

**********

* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.

Bài toán 1: Tính các tổng sau.

a) 1 2 3 4 n+ + + + + b) 2 4 6 8 2.n+ + + + +

c) 1 3 5 (2.+ + + + n+1) d) 1 4 7 10 2005+ + + + +

e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001

Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A= + + + + + + 1 2 4 8 16 8192

Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số

b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số

Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.

b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3 + + + + =n 2004

c) Chứng minh rằng: [(1 2 3 + + + + −n) 7] không chia hết cho 10 ∀ ∈n N

Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2.3 3.4 1999.2000 + + + +

b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B=1.1 2.2 3.3 1999.1999+ + + +

c) Tính nhanh : C = 1.2.3 2.3.4 48.49.50 + + +

Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát

Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14;24;36;50; g) 4; 28;;70;130;

Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4; + + + + + +

Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?

Bài toán 8: Cho S1 = +1 2;S2 = + +3 4 5;S3 = + + +6 7 8 9;S4 = + + + +10 11 12 13 14; Tính S100

Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.

a) 41.66 34.41

3 7 11 79

+ + + + b)

1 2 3 200

6 8 10 34

B= + + + + + + + + c)

1 5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

*

Các bài toán về tập hợp.

Bài toán 10: Cho a) A={ }1; 2 ; B={1;3;5} b) A={ }x y, ; B={x y z t, , , }

Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B

Bài toán 11: Cho a) A= ∈{x N xM M2; 3;x x<100} b) B= ∈{x N xM6;x<100}

Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử

Bài toán 12: Cho C= 353535 D= 478478478

a) Viết tập hợp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần tử b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần tử thuộc P và một phần tử thuộc Q

Bài toán 13: Cho a) A= ∈{x N x ab a= ; =3.b} b) B= ∈{x N 20Mx}

c) C= ∈{x N x=11.n+3;n N x∈ ; ≤300}

Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử

Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng.

a) A={1; 4;9;16;25;36; 49;64;81;100} b) B={2;6;12; 20;30; 42;56;72;90}

chuyên đề: tập hợp , tập hợp con - áp dụng.

**********

Bài toán 1: Cho tập hợp A={a b c d e, , , , }

a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?

d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?

- 1

Trang 2

-Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau.

a) A={1;3;5} ; B={1;3;7} b) A={ }x y, ; B={x y z, , }

c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn

Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A⊂B A B; ≠ Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp B={1; 2;3}

Bài toán 4: Cho các tập hợp A={1; 2;3; 4} ; B={3; 4;5}

Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B

Bài toán 5: Cho tập hợp A={1; 2;3; 4}

a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn

b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A

Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu A⊂B B; ⊂D thì A⊂D

Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết:

a) ∀ ∈x B thì x A∈ b)∀ ∈x A thì x B∈ , ∀ ∈x B thì x A∈

Bài toán 8: Cho tập hợp K ={5;6;7;8} Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần tử của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn

Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.

a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H b) CMR: H ⊂K

c) Tập hợp M có số phần tử sao cho H ⊂M M; ⊂K

+ Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

+ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn điều kiện trên

Bài toán 10: Cho tập hợp M ={30; 4; 2005; 2;9} Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số: a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn

Bài toán 11: Cho A= ∈{x N xM M2; 4;x x<100} ; B= ∈{x N xM8;x<100}

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B

b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?

Bài toán 12: Cho a∈{18; 42;60} , b∈{35;52}

Hãy xác định tập hợp M ={a b− }

Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.

a) CMR: B⊂ A

b) Viết tập hợp M sao cho B⊂M M, ⊂ A Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy

Bài toán 14: Cho A= ∈{x N x=7.q+3;q N x∈ ; ≤150}

a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A

Bài toán 15: Cho M ={1;13;21; 29;52} Tìm x y M; ∈ biết 30< − <x y 40

chuyên đề: các phép toán về số tự nhiên - áp dụng

**********

Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.

a) Viết tập hợp A b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A

Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 < < <a b c.

a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên

b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448 Tìm ba chữ số a, b, c nói trên

Bài toán 3: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp để đợc kết quả đúng.

a) ab bc ca abc+ + = b) abc ab a+ + =874

c) abcd abc ab a+ + + =4321 d) **.** ***= (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là số

có ba chữ số nh nhau)

Trang 3

-Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0 Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có

bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên Tổng của hai số này bằng 11330 Tính tổng: a b c d+ + +

Bài toán 5: a) Có hay không một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ số

ấy viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999

b) Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999 ?

Bài toán 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của số

đó thì đợc số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu

Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân

2005 2005

33 3.99 9

c s c s

A= b) { {

2005 2005

33 3.33 3

c s c s

B=

Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836 Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của số

thứ hai là 3 Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ đợc hai số có hai chữ số mà số này gấp hai lần

số kia Tìm hai số đó

Bài toán 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số nh nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số

nh nhau ta đợc thơng là 2, còn d Nếu xoá một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số chia thì thơng của phép chia vẫn bằng 2 nhơng số d giảm hơn trớc là 100 Tìm số bị chia và số chia lúc đầu

Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2005 1005 : (999− −x) với x N∈

Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,… Hỏi chữ số thứ

659 là chữ số nào ?

Bài toán 12: Cho S= + + + 7 10 13 100 +

a) Tính số số hạng của tổng trên

b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng

c) Tính tổng S

Bài toán 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục

với chữ số hàng đơn vị Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì đợc thơng là 2 và d 2 Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là 1

Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11 122 2{

n 123

c.s1 n c.s2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 chữ

số 6 Hãy tính tích A.B

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng.

**********

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau

a) 31 352 2 b) 16 1252 2 c) 200 722 2 d) 121 3162 2

Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) a a3 9 b) ( )a5 7 b) ( ) a6 4a12 d) (2 ) (2 )3 5 3 3

Bài toán 3: Viết tích sau dới dạng một luỹ thừa

a) 4 210 30 b) 9 27 8125 4 3 c) 25 12550 5 d) 64 4 163 8 4

Bài toán 4: Viết mỗi thơng sau dới dạng một luỹ thừa

a) 3 : 38 6 ; 7 : 75 2 ; 19 :197 3 ; 2 : 810 3; 12 : 67 7 ; 27 : 815 3

b) 10 :106 ; 5 : 258 2 ; 4 : 649 2 ; 2 : 3225 4 ; 18 : 93 3 ; 125 : 253 4

Bài toán 5: Tính giá trị của các biểu thức

a) 5 : 56 3+3 33 2 b) 4.52 −2.32

Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phơng.

a) 13+23 b) 13+ +23 33 c) 13+ + +23 33 43 d) 13+ + + +23 33 43 53

Bài toán 7: Viết các số sau dơi dạng tổng các luỹ thừa của 10.

a) 213 b) 421 c) 1256 d) 2006 e) abc g) abcde

- 3

Trang 4

a) 3 3 243x = b) x20 =x c) 2 16x 2 =1024 d) 64.4x =168

Bài toán 9 : Viết các tích sau dới dạng một luỹ thừa

a) 5 5 5x x x b) x x1 .2 x2006 c) x x x .4 7 x100 d) x x x2 .5 8 x2003

2x+80 3= y

Bài toán 11: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý

a) (217+17 ).(92 15−3 ).(215 4−4 )2 b) (71997−71995) : (71994.7)

c) (12+ + +23 34 4 ).(15 3+ + +23 33 4 ).(33 8−81 )2 d) (28+8 ) : (2 2 )3 5 3

Bài toán 12: Viết kết quả phép tính sau dới dạng một luỹ thừa

a) 16 : 46 2 b) 27 : 98 4

c) 125 : 255 3 d) 4 514 28

e) 12 : 2n 2n g) 64 16 : 44 5 20

a) 2 4 128x = b) x15 =x c) (2x+1)3 =125 d) (x−5)4 = −(x 5)6 e) x10=1x g) 2x− =15 17

h) (7x−11)3 =2 55 2+200 i) 3x+25 26.2= 2+2.30 k) 27.3x =243 l) 49.7x =2041 m) 64.4x =45 n) 3x =243 p) 3 34 n =37

Bài toán 14: Tìm số d khi chia A, B cho 2 biết

a) A=(4n+ + +6n 8n 10 ) (3n − n+ + +5n 7n 9 )n

b) B=2003n+2004n+2005 ;n n N∈

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

**********

Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức

a) 3 11 3 510 9 410

3 2

A= + b) 10 10

8

2 13 2 65

2 104

B= + c) 9 4

4

4 36 64

16 100

d) 72 543 42

108

D= e) 4 3 96 124 5

6

E= f) 21310 252

F = +

+

g) 21 14.1252 5

35 6

G= h) 45 20 183 45 2

180

H = i) 11.3 322 14 27 915

(2.3 )

a) 32 2< n <128 b) 2.16 2≥ n >4 c) 3 32 n =35

d) (2 : 4).22 n =4 e) 1 4 7

.3 3 3 9

n = g) 1 5

.2 4.2 9.2 2

n+ n = h) 1.27 3

9

n = n i) 64.4n =45 k) 27.3n =243 l) 49.7n =2401

Bài toán 18: Tìm x biết

a) (x−1)3 =125 b) 2x+ 2−2x=96

c) (2x+1)3 =343 d) 720 : 41 (2[ − x−5)] =2 53

Bài toán 19: Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.

a) A= + + + +20 21 22 22006 b) B= + + + +1 3 32 3100

Trang 5

-c) C = + + + +4 42 43 4n d) D= + + + +1 5 52 52000

Bài toán 20:

Cho A= + + + + +1 2 22 23 2200 Hãy viết A+1 dới dạng một luỹ thừa

Bài toán 21:

Cho B= + + +3 32 33 3+ 2005 CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3

Bài toán 22:

Cho C = + + + +4 22 23 22005 CMR: C là một luỹ thừa của 2

Bài toán 23: Chứng minh rằng:

a) 55− +54 5 73M b) 76+ −75 7 114M c) 109+108+10 2227M

e) 106−5 597M g) 3n+ 2−2n+ 2+ −3n 2 10nM ∀ ∈n N*

h) 817−279−9 4513M i) 810− −89 8 558M k) 109 +108+10 5557M

b) Chứng minh rằng: A= + + +2 22 23 2+ 2004 chia hết cho 3; 7 và 15.

b) Chứng minh rằng: B= + + + +1 3 32 3 4099M

3 16 2 33

d) S4 =53! 51! 29− M

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

**********

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.

I Tóm tắt lý thuyết.

1 Tìm chữ số tận cùng của một tích

+ Tích của các số lẻ là một số lẻ

+ Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn

+ 0.x a= y0 (với a N∈ ) + 5.x a=y5 (với a N a∈ ; lẻ)

2 Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa

+ 0x n = y0 (n N∈ *); + 1x n =y1 ( n N∈ ); + 5x n =y5 (n N∈ *); + 6x n = y6(n N∈ *)

+ 2 1

x + =y ( k N∈ ); + 2 1

x + = y ( k N∈ ); + 2

x = y (k N∈ *); + 2

x = y (k N∈ *) + 4

x = y (n N∈ *); + 4

x =y (n N∈ *); + 4

x = y (n N∈ *); + 4

x =y (n N∈ *);

* Chú ý: Số chính phơng là số bằng bình phơng của một số tự nhiên.

- Một số chính phơng có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8

II Bài tập áp dụng:

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

22003; 4 ;9 ;3 ;7 ;899 99 99 99 99; 3

5

789 ; 5

8

74 ; 8732; 5833; 2335

Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 2007.2009.2011 2017 2002.2004.2006.2008−

Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng nh nhau.

a) 11a và a (a N∈ ) b) 7a và 2a (a là số chẵn)

Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10

a) 481n +19991999 b) 162001−82000 c) 192005+112004 d) 8102−2102 e)175+244−1321 g) 122004−21000

Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: 22003 và 32003; 195 2005; 7

5

234 ; 5

6

579

- 5

Trang 6

-Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng 5 5+ + +2 53 5+ 96

Bài toán 7: Chứng minh rằng số 1 2004 2006 92 94

10

A= − là một số tự nhiên

Bài toán 8: Cho S = + + + +30 31 32 330 Tìm chữ số tận cùng của S CMR: S không là số chính phơng

Bài toán 9: Có hay không số tự nhiên n sao cho n2+ +n 2 5M

Bài toán 10:

* Chú ý: + 01n 01

x = y (n N∈ *) + 25n 25

x = y (n N∈ *) + 76n 76

x = y (n N∈ *) + Các số 3 ;81 ;7 ;51 ;9920 5 4 2 2 có tận cùng bằng 01

+ Các số: 2 ;6 ;18 ; 24 ;68 ;7420 5 4 2 4 2 có tận cùng bằng 76

+ Số 26 (n n>1) có tận cùng bằng 76

áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.

2 ;7100 1991;51 ;9951 99 99;6 ;14 16666 101 101; 22003

Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998−41998

Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phơng không ?

a) 108+8 b) 100! 7+ c) 10100+1050+1

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

=====    =====

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.

a) 20022005 ; 19921994 ; 332003.342003 ; 282006.811003 ; 1892.1892 1892 18924 7 100

b) 20032001; 1973 1973 1973 19731 2 3 100; 272003.92003 ; 812007.343 9669 2007

c) 19972005; 92006.232006 ; 1997 1997 1997 19972 5 8 2003 ; 111 271999 1999

d) 1981997 ; 19982002 ; 362003.632003 ; 1998.1998 1998 19987 13 151

a) 19992001 ; 992004 ; 72005.272005 ; 9992006 2004 ; 99999 9999 ; 52006

19

1999 b) 20042005 ; 19942004 ; 8 28205 205 ; 894895 896; 112006

20

2004 ; 51954

7

194

Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau

a) 20022001 2004 ; 19922000 2005 ; 83

81

b) 20032004 2005 ; 1932001 2004; 62006

21

83 c) 19972000 2006 ; 105110

101

27 ; 20022003

2001

2007 d) 1998200 2000 ; 24201 205.42201 205 ; 20032005

2001

198

Bài toán 4:

Cho A= + + + +20 21 22 22005

Tìm chữ số tận cùng của A Chứng tỏ rằng A không là số chính phơng

Bài toán 5:

Cho B= + + + +5 52 53 596

a) Chứng minh rằng BM96

b) Tìm chữ số tận cùng của B

a) Chứng minh rằng SM3

Trang 7

-b) Chứng minh rằng SM15

c) Tìm chữ số tận cùng của S

Bài toán 7:

Tìm chữ số tận cùng của các số sau

a) 23! b) 37! 24! − c) 2.4.6 1998 1.3.5 1997 −

Bài toán 8:

Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?

a) 49! b) 7.8.9 81 c) 100!

Bài toán 9: Chứng minh rằng

a) 20022004−10021000M10 b) 19992001+2012005M10 c) 9 9

9 9

9 −9 10M

Bài toán 10:

Chứng minh rằng: a) 0,3.(20032003−19971997) là một số tự nhiên

b) 1 2004 2006 1994 1998

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp

theo)

Các bài toán so sánh hai luỹ thừa

=====    =====

* Tóm tắt lý thuyết:

a) Nếu m n> thì a m >a n (a>1) b) Nếu a b> thì a n >b n (n>0)

c) Nếu a < b thì a.c < b.c (c > 0)

* Bài tập áp dụng:

Bài toán 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn

a) 1030 và 2100 b) 333444 và 444333

c) 1340 và 2161 d) 5300 và 3453

Bài toán 2: So sánh các số sau

a) 5217 và 11972 b) 2100 và 10249

c) 912 và 277 d) 12580 và 25118

e) 540 và 62010 f) 2711 và 818

a) 536 và 1124 b) 6255 và 1257

c) 32n và 23n (n N∈ *) d) 523 và 6.522

a) 7.213 và 216 b) 2115 và 27 495 8

c) 19920 và 200315 d) 339 và 1121

a) 7245−7244 và 7244−7243 b) 2500 và 5200 c) 3111 và 1714

d) 324680 và 237020 e) 21050 và 5450 g) 52n và 2 ;(5n n N∈ )

a) 3500 và 7300 b) 85 và 3.47 c) 9920 và 999910

d) 202303 và 303202 e) 321 và 231 g) 111979 và 371320

h) 1010 và 48.505 i) 199010+19909 và 199110

a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 c) 544 và 2112

Bài toán 8: Tìm x N∈ biết

- 7

Trang 8

-a) 16x <128 b) 1 2 { 18

18 / 0

5 5 5x x x 100 0 : 2

c s

+ + ≤

Bài toán 9: Cho S = + + +1 2 22 2+ 2005

Hãy so sánh S với 5.22004

Bài toán 10: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.

Hãy so sánh m với 10.98

Bài toán 11: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số

đ-ợc dùng một lần và chỉ dùng một lần

chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.

=====    =====

I Tóm tắt lý thuyết:

1 Nhắc lại về quan hệ chia hết:

Cho ;a b N b∈ ; ≠0 Nếu có số tự nhiên k sao cho a b k= . ta nói a chia hết cho b

Kí hiệu: a bM đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ớc của a

2 Tính chất chia hết của một tổng:

a) Tính chất 1: a mM ; b m a + b mM ⇒ M

+ Chú ý: 1) Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a b≥ : a mM ; b m a - b mM ⇒ M

2) Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng: a m a m1M; 2M; ;a m nM ⇒ + + +a1 a2 a m nM b) Tính chất 2: Nếu a không chia hết cho m; b chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m

+ Chú ý: - Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b

- Tính chất 2 đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m

3 Các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9.

a Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 2

b Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó

mới chia hết cho 5

c Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số

d Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số

e Các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125

II Bài tập áp dụng.

Bài toán 1: Chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a mM ⇒k a m. M ( k N∈ )

Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) ab ba+ M b) 11 ab ba− M với a>b9

a) S = + + + +1 2 22 239 là bội của 15 b) T =1257−259 là bội của 124

c) M = + + + +7 72 3 72000M d) 8 P a a= + + + +2 a3 a2nMa+1; ,a n N∈

Bài toán 5: Cho a c M và b cM Chứng minh rằng: ma nb c ma nb c m n N+ M; − M; , ∈

Bài toán 6: CMR: tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp

không chia hết cho 5

Bài toán 7: CMR: a) tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6,

b) tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6

Bài toán 8: Tìm n N∈ để

a) n+6M b) 4.n n+5M c) 38 3n n n − M

Trang 9

-d) n+5Mn+1 e) 3n+4Mn−1 g) 2n+1 16 3M − n

Bài toán 9: Cho ;a b N∈ và a b− M Chứng minh rằng: 47 a+3 7bM

Bài toán 10: CMR:a) n N∀ ∈ thì {

/ 1

2 11 1 3

nc s

A= n+ M b) , ,∀a b n N∈ thì {

/ 1

(10n 1) (11 1 ) 9

nc s

B= − a+ −n bM

Bài toán 11: a) CMR: n N∀ ∈ thì 10n+2 3M b) {

/ 8

88 8 9 9

nc s

n

chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.

Các phơng pháp chứng minh chia hết

=====    =====

Ph

ơng pháp 1: để chứng minh A bM (b≠ 0) Ta biểu diễn A b k= trong đó k N∈

Bài toán 1: Cho n N∈ Chứng minh rằng: (5 )n100M125

Bài toán 2: Cho A= + +2 22 2+ 2004 Chứng minh rằng:

a) AM6 b) AM7 c) AM30

Bài toán 3: Cho S= + + +3 32 31998 Chứng minh rằng :

a) SM12 b) sM39

Bài toán 4: Cho B= + + +3 32 3100

Chứng minh rằng: BM120

Bài toán 5: Chứng minh rằng

a) 3636−9 4510M b) 810− −89 8 558M c) 55− +54 5 73M

d) 76+ −7 7 115 4M e) 24 54 2 7254 24 10M 63 g) 817 −279−9 4513M

h) 3n+ 3+3n+ 1+2n+ 3+2n+ 2M6∀ ∈n N i) (210+211+2 ) : 712 là một số tự nhiên

Ph

ơng pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng

Nếu a b m± M và a mM ⇒b mM

Bài toán 6: Tìm n N∈ để:

a) 3n+2Mn−1 b) n2+2n+7Mn+2 c) n2+1Mn−1

d) n+8Mn+3 e) n+6Mn−1 g) 4n−5 2Mn−1

h) 12−nM8−n i) 20 nM k) 28Mn−1

l) 113+nM7 m) 113+nM13

Bài toán 7: Tìm n N∈ để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên

a) 2

3

n+ b) 7

1

n− c)

1 1

n n

+

− d)

n+ −n

Ph

ơng pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b (b≠ 0)Ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b

Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120

(Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại)

Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) (5n+7)(4n+6) 2M∀ ∈n N

b) (8n+1)(6n+5) không chia hết cho 2 ∀∈N

Bài toán 10: Chứng minh rằng: A n n= ( +1)(2n+1) 6M∀ ∈n N

Bài toán 11: a) Cho n N∈ Chứng minh rằng: n2M3 hoặc n2 chia 3 d 1

b) CMR: Không tồn tại n N∈ để n2+ =1 300 0

Bài toán 12: Chứng minh rằng: ∀m n N, ∈ ta luôn có m n m ( 2 −n2) 3M

- 9

Trang 10

-Bài toán 13: Chứng minh rằng: (n+20052006)(n+20062005) 2M∀ ∈n N

Bài toán 14: CMR không tồn tại n N∈ để 2

15 2004

1 20042004 2004

so

n + =1 4 44 2 4 4 43

chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên

Các phơng pháp chứng minh chia hết (Tiếp)

=====    =====

 Ph ơng pháp 4: Để chứng minh A bM Ta biểu diễn b dới dạng b m n= Khi đó

+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh A mM và A nM ⇒A m nM hay A bM

+ Nếu ( ; ) 1m n ≠ ta biểu diễn A a a= 1 2 rồi tìm cách chứng minh a m a n1M; 2M thì tích a a m n1 2M tức A bM

Bài toán 1: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

Bài toán 2 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2−1 6M

Bài toán 3: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48

c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384

Bài toán 4: : Chứng minh rằng: B=10n+18n−1 27M

a) 10n−36n−1 27M ∀ ∈n N n; ≥2

b) số {

27 / 1

11 1 27

c s

M

 ơng pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết Ph

Bài toán 6: Chứng minh rằng: 1020006+8 72M

Bài toán 7:

Chứng minh rằng: a) Số {

/ 5

55 5

nc s không chia hết cho 125 (n N∈ *) b) 10n+2 93M

c) 3737−23 1023M

Bài toán 8:

Chứng minh rằng: a) 1033+8 2;9M b) 1010+14 3;2M

c) 1050+5 3;5M d) 1025+26 2;9M

Bài toán 9:

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết rằng một số chia hết cho 125, số kia chia hết cho 8

Bài toán 10: Chứng minh rằng ∀ ∈n N thì

a) 24n+1+3 5M b) 24n+2+1 5M c) 92n+1+1 10M

d) 74n−1 5M e) 34n+1+2 5M

Bài toán 11 : Chứng minh rằng (210+1) 2510M

Bài toán 12: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó

a) Chứng minh rằng: b aM

b) Giả sử b=k.a Chứng minh rằng k là ớc của 10

c) Tìm các số ab nói trên

chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,66 MB