Phòng gd-đt bình xuyên Trờng THCS Lý Tự Trọng đề Thi Vô địch lần1 tháng 10.2007 Môn: toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1. Chứng minh rằng: nếu x+y+z=a và 1 1 1 1 x y z a + + = thì tồn tại 1 trong 3 số x, y, z bằng a. Câu 2: Giải phơng trình 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x + = + Câu 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 3 n +19 là số chính phơng. Câu 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + 4abc < 1 2 Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho: CE = AF. Các đờng thẳng AE, BF cắt đờng thẳng CD theo thứ tự ở M, N. a. Chứng minh : CM. DN = a 2 b. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh: MKN bằng 90 o c. Các điểm E và F có vị trí nh thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất. Phòng gd-đt bình xuyên Trờng THCS Lý Tự Trọng đề Thi Vô địch lần1 tháng 10.2007 Môn: toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1. Chứng minh rằng: nếu x+y+z=a và 1 1 1 1 x y z a + + = thì tồn tại 1 trong 3 số x, y, z bằng a. Câu 2: Giải phơng trình 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x + = + Câu 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 3 n +19 là số chính phơng. Câu 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + 4abc < 1 2 Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho: CE = AF. Các đờng thẳng AE, BF cắt đờng thẳng CD theo thứ tự ở M, N. d. Chứng minh : CM. DN = a 2 e. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh: MKN bằng 90 o f. Các điểm E và F có vị trí nh thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất. Phòng gd-đt bình xuyên Trờng THCS Lý Tự Trọng đáp án Vô địch lần1 tháng 10.2007 Môn: toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: ( 2 điểm) Theo đề bài ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( )( ) 0 ( )( )( ) 0 ( ) 0 0 0 x y z x y z x y z x y z x y x y z z xy z x y z x y zx z y z xy xyz x y z x y y z z x x y y z z x xyz x y z x y y z z x + + = + + = + + + + + + + + = + + + + + + = + + + + + = + + + = + + + = + = + = Nếu x+y = 0, mà x+y+z = a do đó z = a Nếu y+z = 0, mà x+y+z = a do đó x = a Nếu z+x = 0, mà x+y+z = a do đó y = a Câu 2: (2 điểm). Điều kiện xác định: 1,5 x 2,5. - Ta có 3x 2 -12x + 14 = 3(x-2) 2 + 2 2 Dấu bằng xảy ra khi x = 2 (thoả mãn điều kiện xác định) - Với 1,5 x 2,5. áp dụng BĐT Cosi đối với 2 số không âm ta có: 2 3 1 5 2 1 2 3 5 2 2 2 2 x x x x + + + + = dấu bằng xảy ra khi 2 3 1 2 2 5 2 1 2 x x x x x = = = = = ( Thoả mãn ĐK xác định) Do đó: 2 2 2 3 5 2 3 12 14 2 2 3 5 2 2 2 2 3 12 14 2 x x x x x x x x x x x + = + = + = = = + = Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2. Câu 3: (1 điểm) Giả sử 3 n + 19 = a 2 (a N) Vì 3 n và 19 là số lẻ nên a 2 là số chẵn do đó a chẵn 2 0(mod 4)a Vì 19 ( 1)(mod 4) Nên 3 n 1(mod 4) Mặt khác 3 1(mod 4) nên 3 ( 1) (mod 4) n n do đó ( 1) 1(mod 4) n n chẵn hay n = 2k (k N) Ta có: 3 2k + 19 = a 2 Nên a 2 3 2k = 19 Hay (a + 3 k )(a 3 k ) = 19 Từ đó giải đợc a = 10 Suy ra k = 2 Do đó n = 4 Câu 4: ( 2 điểm) Vì chu vi của tam giác bằng 1 nên a + b + c = 1. Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a + b c > 0 a + b + c 2c > 0 Hay (1- 2c) > 0 Tơng tự ta có 1 2b > 0, 1-2a > 0 Suy ra (1 2a)(1-2b)(1-2c) > 0 1 2a 2b 2c + 4ab + 4bc + 4ca 8abc > 0 -1 + 4(ab + bc + ca)- 8abc > 0 4abc + 1 2 < 2ab + 2bc + 2ca Mặt khác a + b + c = 1 (a + b + c) 2 = 1 Hay a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 1 2(ab + bc + ca) = 1 a 2 b 2 c 2 Do đó 4abc + 1 2 < 1 a 2 b 2 c 2 4abc + a 2 + b 2 + c 2 < 1 2 Câu 5: ( 3 điểm) K N a) ( 1,5 điểm) Vì AB // CM nên: CM BE BA CE = Vì AB // ND nên: AF AB DF DN = Vì AD = BC; AF = CE nên BE = DF Do đó 2 . CM AB AB CM DN BA DN = = hay CM.DN = a 2 b) (1 điểm) Theo phần (a) ta có: CM AB AB DN = hay D DN CM A BC = Từ đó chứng minh đợc BCM ~ NDA ( c.g.c) BMC = NAD Từ đó suy ra AND + BMC = 90 0 Hay NKM = 90 0 c) ( 0,5 điểm) Vì CD = a ( không đổi) nên MN nhỏ nhất ND + CM nhỏ nhất Theo phần (a) ND. CM = a 2 ( không đổi) nên ND + CM nhỏ nhất ND = CM Từ đó ta tìm đợc MN có giá trị nhỏ nhất là 3a EF lần lợt là trung điểm của BC và AD. F E B M CD A . lần1 tháng 10.2007 Môn: toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: ( 2 điểm) Theo đề bài ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( )( ) 0 ( )( )( ) 0 ( ) 0 0 0 x y z x y z x y z x y. = a 2 (a N) Vì 3 n và 19 là số lẻ nên a 2 là số chẵn do đó a chẵn 2 0(mod 4)a Vì 19 ( 1)(mod 4) Nên 3 n 1(mod 4) Mặt khác 3 1(mod 4) nên 3 ( 1) (mod 4) n n do đó ( 1) 1(mod 4) n . a + b + c 2c > 0 Hay (1 - 2c) > 0 Tơng tự ta có 1 2b > 0, 1-2a > 0 Suy ra (1 2a )(1 -2b )(1 -2c) > 0 1 2a 2b 2c + 4ab + 4bc + 4ca 8abc > 0 -1 + 4(ab + bc + ca)- 8abc >