*** ĐỀ THI TH ĐI HC NĂM HC 2009 – 2010 Môn thi :TOÁN - Khối A (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH:(7,0 điểm) Câu I (2 điểm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 ( 1) ( 2)y x x= + − 2. Đường thẳng ∆ qua M (2; 0) và có hệ số góc k . Tìm k để ∆ cắt đồ thị hàm số 3 3 2y x x= − − tại 4 điểm phân biệt Câu II ( 2 điểm) 1. Giải phương trình : 2 2 9 3 3 1 1 log ( 5 6) log log 3 2 2 x x x x − − + = + − 2.Giải phương trình tìm nghiệm (0;2 )x π ∈ : 4sin cos 2 3(sin cos ) 3 0x x x x− + + = Câu III: (1 điểm) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: 2 3 ( ) ( 1) x x f x x + = + e x Câu IV: (1 điểm) Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC cân, AB = AC = a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC) và SA = SB = a Chứng minh tam giác SBC vuông. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a và x, biết SC = x Câu V:(1 điểm) Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn: ab + bc + ca = abc. Chứng minh: 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2a a b b c c + + ≥ − − − PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1.Cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 +y 2 -4x -6y -12 = 0. Tìm toạ độ điểm M ∈ (d) sao cho MI = 2R với I là tâm và R là bán kính đường tròn (C). Biết (d) có phương trình: 2x –y +3 = 0. 2.Cho ABC ∆ có 3 đỉnh A, B, C đều thuộc đồ thị hàm số 1 y x = (C). Chứng minh trực tâm H của ABC∆ cũng thuộc đồ thị (C) Câu VII.a (1 điểm): Cho đa thức P(x) = (19x-18) 2010 . Khai triển được: P(x) = a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + + a 2010 x 2010 . Tính tổng S = a 0 + a 1 + a 2 + + a 2010 B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b:( 2 điểm) Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2x – 6y - 6 = 0 và đường thẳng (d):x – y +2 =0. a)Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) vuông góc với nhau. b)Viết phương trình đường thẳng d ∆ ⊥ và cắt đường tròn (C) tại P; Q sao cho : PQ = 6. Câu VII.b:(1 điểm) Tìm hệ số của x 15 trong khai triển sau: 10 3 2 1 (2 )x x + − ĐÁP ÁN ĐỀ THI TH ĐI HC NĂM HC 2009-2010. Môn: TOÁN Khối :A CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I(2điểm) 1(1.25 điểm). Hàm số 3 3 2y x x= − − .Tập xác định: R . Giới hạn 3 ( 3 2) lim x x x →+∞ − − = +∞ ; 3 ( 3 2) lim x x x →−∞ − − = −∞ . Sự biến thiên: , 2 , 3 3 0 1; 1y x y x x= − ⇒ = ⇔ = − = . y , >0 1 1 x x < − ⇔ > và y , <0 1 1x⇔ − < < Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1);(1; )−∞ − +∞ , hàm số nghịch biến trên khoảng(-1; 1 ). Điểm cực đại (-1; 0 ); điểm cực tiểu ( 1; -4) Bảng biến thiên x −∞ -1 1 +∞ y , + 0 - 0 + y 0 +∞ −∞ -4 §iÓm uèn: y ” =6x. §iÓm uèn I(0; -2) . VÏ ®å thÞ: (häc sinh tù vÏ) 0.5 0.5 0.5 2.(0.75 điểm) Đường thẳng (d) dạng y = k ( x-2 ) luôn qua điểm M (2; 0) thuộc đồ thị.Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số 3 3 2y x x= − − (C 1 ) Xét (d 1 ) qua M(2;0) và I( 0; -2) phương trình: y = x -2 ( với k = 1) Xét (d 2 ) qua M(2; 0) và tiếp xúc (C 1 ) phương trình: y = (6 93 − )(x- 2) với k = 6 93 − Để (d) cắt (C 1 ) tại 4 điểm khi 1< k < 6 93 − 0.25 0.25 0.25 II (2điểm) 1.(1 điểm)Đk: ≠ ≠ > 3 2 1 x x x 3log 2 1 log)3)(2(log 333 −+ − =−− x x xx 2 3)1( )3)(2( −− =−−⇔ xx xx 2 1 2 − =−⇔ x x Xét x > 2 , 3 ≠ x vô nghiệm Xét 1< x < 2 nghiệm là 3 5 =x 2.(1 điểm) pt = = ⇔=−−⇔ 2 3 sin 2 3 cos 0)3sin2)(3cos2( x x xx 6 11 ; 6 ; 3 2 ; 3 )2;0( ππππ π ====⇒∈ xxxxx 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 III (1điểm) Phân tích hàm số f(x) ' 2 ( ) ( ) 1 1 (1 ) x x x e e e f x x x x = − = + + + 2 3 ( ) 1 (1 ) x x x x e e dx x x + = + + ∫ +C 0.5 0.5 IV (1điểm) Gọi I là trung điểm của BC.Có AI vuông góc BC.Mà (SBC) ( )ABC⊥ nên ( )AI SBC⊥ .Lại có á=AB=AC=a nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp SBC ∆ .Vậy SBC ∆ vuông tại S. Trong (ABC) dựng trung trực AB cắt AI tại tâm O mặt cầu ngoại tiếp chóp Bán kính R= 2 1 2 AB AI = 2 2 2 3 a a x− 0.5 0.5 V (1điểm) Có 1 1 1 1 a b c + + = .Xét 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) (1 ) ( ) a a a a a b c = = − − + Đặt 1 1 1 , , 1, ; ;x y z x y z x y z a b c = = = ⇒ + + = dương, thì 2 2 2 1 1 1 ; ; ( 1) ( 1) ( 1) x y z a a y z b b x z c c x y = = = − + − + − + .áp dụng côsi: 2 2 2 4 4 4 x y z x y z y x z y x z z x y z x y + + ≥ + + + ≥ + + + ≥ + 2 2 2 1 2 2 x y z x y z y z x z x y + + ⇒ + + ≥ = + + + DÊu “=” khi a=b=c=3 0.25 0.25 0.25 0.25 S A B C I VI.a (2điểm) 1. M(t; 3 + 2t): IM = 10 với I( 2; 3) 4 24 5 t t = − ⇒ = . Có hai điểm M: M(-4; -5) và 24 63 ( ; ) 5 5 M 2. Gọi 1 1 1 ( ; ); ( ; ); ( ; )A a B b C c a b c và trực tâm H (x; y).Đk: a,b, c phân biệt và khác 0 Đk: 1 1 1 ( )( ) ( )( ) 0 . 0 1 1 1 . 0 ( )( ) ( )( ) 0 1 1 1 x a c b y AH BC a c b BH AC x b c a y b c a y x a x bc abc abc y y abc y b ac abc − − + − − = = ⇔ = − − + − − = − = − = − ⇔ ⇔ = − − = − uuuuruuur uuur uuur Vậy H ∈ đồ thị hàm số 1 y x = 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 Câu VII.a Ta có (19x-18) 2010 =(18-19x) 2010 . Các hệ số a i = (-1) i C i 2010 18 2010-i 19 i x i nên tổng các hệ số được tính: S= C 0 2010 18 2010 – C 1 2010 18 2009 .19 +C 2 2010 18 2008 19 2 + + (-1) i C i 2010 18 2010-i 19 i + +C 2010 2010 19 2010 = (18-19) 2010 =1 0.25 0.25 0.5 Câu VI.b 1. Giả sử hai tiếp tuyến MA,MB vuông góc nhau tại M ⇒ tứ giác MAOB là hình vuông nên 2 4 2OM R= = .Gọi M( t; 2 +t) với OM= 4 2 15 15 t t = ⇒ = − .Vậy có hai điểm : ( 15; 15 2); ( 15; 15 2)M M+ − − + 2. Đường thẳng d ∆ ⊥ có phương trình dạng: x+y +c=0. Theo gt khoảng cách từ O đến ∆ bằng 2 2 4 3 7− = . Từ đó c = 2 + 14 hoặc c = 2 - 14 . Vậy ∆ có phương trình: x+y +2 + 14 =0; x+ y + 2 - 14 =0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 d A B M O Q P . *** ĐỀ THI TH ĐI HC NĂM HC 2009 – 2010 Môn thi :TOÁN - Khối A (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH:(7,0. VII.b:(1 điểm) Tìm hệ số của x 15 trong khai triển sau: 10 3 2 1 (2 )x x + − ĐÁP ÁN ĐỀ THI TH ĐI HC NĂM HC 2009-2010. Môn: TOÁN Khối :A CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I(2điểm) 1(1.25 điểm) ( ; 1);(1; )−∞ − +∞ , hàm số nghịch biến trên khoảng(-1; 1 ). Điểm cực đại (-1; 0 ); điểm cực tiểu ( 1; -4) Bảng biến thi n x −∞ -1 1 +∞ y , + 0 - 0 + y 0 +∞ −∞ -4 §iÓm uèn: y ” =6x.