Tích phân không xác định docx

1 1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, Giải tích, tích phân không xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 5 Tích phân không xác định 3 5.1 Tích phân không xác định 3 5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 3 5.1.2 Các tính chất 3 5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định 3 5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định 3 5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 4 5.2 Cách tính tích phân không xác định 5 5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản 5 5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến 6 5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần 7 5.2.4 Công thức truy hồi 9 5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ 10 Chương 5. Tích phân không xác định Lê Văn Trực 2 5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất 10 5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ 12 5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol 14 5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác 14 5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol 16 5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ 17 5.5.1 Tích phân dạng (, ) m ax b IRx dx cx d + = + ∫ 17 5.5.2 Tích phân dạng ,( ) ,( ) , p r q s ax b ax b IRx dx cx d cx d ⎡⎤ ++ ⎢⎥ = ++ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ 18 5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân 18 5.6 Tích phân các biểu thức dạng 2 R( , ) x ax bx c + + với 0a ≠ 19 5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất 20 5.6.2 Phép thế Euler thứ hai 20 5.6.3 Phép thế Euler thứ ba 21 5.6.4 Tích phân eliptic 22 5.6 Bài tập chương 5 23 3 3 Chương 5 Tích phân không xác định 5.1 Tích phân không xác định Trong nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật, ta cần tìm hàm số khi biết đạo hàm của nó. Ví dụ như biết gia tốc a=a(t) của chuyển động, ta cần tìm vận tốc v=v(t) của chuyển động biết rằng dv a dt = . Sau đó khi biết vận tốc v, ta cần tìm quãng đường s=s(t) của chuyển động, biết rằng ds v dt = . 5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập D, nếu cả hai hàm cùng được xác định trên tập D và () () , Fx fx x DD ′ = ∀∈ ⊂\ . (5.1.1) 5.1.2 Các tính chất Ta có các tính chất sau mà có thể dễ dàng thu được từ định nghĩa. a) Nếu F và G là các nguyên hàm của hàm f và hàm g tương ứng trên tập D, thì FG α β ± trong đó vµ αβ là các hằng số, là nguyên hàm của hàm fg α β ± trên tập D. b) Nếu F là nguyên hàm của hàm f trên tập D, thì hàm F+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý cũng là nguyên hàm của hàm f trên tập D. Ta gọi biểu thức F(x) + C, trong đó C là hằng số tuỳ ý, là họ nguyên hàm của hàm f trên tập D. 5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là () :fxdx ∫ () ()fxdx Fx C = + ∫ . (5.1.2) 5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định a) () ()Af x dx A f x dx= ∫∫ trong đó A là hằng số (5.1.3) b) 12 1 2 (() ()) () ()f x f x dx f x dx f x dx±= ± ∫∫∫ . (5.1.4) 4 Việc tìm mọi nguyên hàm của một hàm số được gọi là phép lấy tích phân của hàm đó và bài toán này là bài toán ngược của phép tính vi phân. 5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 1 1) 0 , 2) ( 1, ) 1 du C dx x C u udu C R α α αα α + ==+ =+≠−∈ + ∫∫ ∫ 3) ln| | 4) uu du uC u edu e C =+ =+ ∫ ∫ 5) cos sinudu u C=+ ∫ 6) sin cosudu u C=− + ∫ 2 1 7) cos du tgu C u =+ ∫ 2 1 8) cot g sin du u C u =− + ∫ 9) ch shudu u C=+ ∫ 10) sh chudu u C=+ ∫ 2 1 11) th ch du u C u =+ ∫ 2 1 12) cth sh du u C u =− + ∫ 2 arcsin 1 13) arccos 1 uC du uC u + ⎧ = ⎨ −+ − ⎩ ∫ 2 arctg du 14) ar ccotg . 1 uC uC u + ⎧ = ⎨ −+ + ⎩ ∫ Để thuận tiện cho việc áp dụng, ta bổ sung vào bảng trên các công thức sau: 4) ( 0, 1) ln u u a aadu Caa a =+ >≠ ∫ 22 arcsin 13 ) ar ccos ⎧ + ⎪ ⎪ = ⎨ − ⎪ −+ ⎪ ⎩ ∫ u C du a a u au C a 5 5 22 1 arctg du 14 ) 1 arcotg ⎧ + ⎪ ⎪ = ⎨ + ⎪ − + ⎪ ⎩ ∫ u C aa a u au C aa 22 du 1 15) ln 2 au C aau au + =+ − − ∫ 2 2 du 16) ln .uuaC ua =+++ + ∫ 5.2 Cách tính tích phân không xác định 5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản Ví dụ 1: a) Tính 2 1 (1 )Ixdx=+ ∫ . Bởi vì 2 (1 ) 1 2 , nª nxxx+=++ 1 2 1 3 2 2 2 (1 2 ) 2 41 2. 3 232 2 Ixxdxdxxdxxdx xx x Cx xx x C =+ + = + + =+ + + =+ + + ∫∫∫∫ b) Tính 2 22 sin cos dx I x x = ∫ . Bởi vì 22 22 22 2 2 1sincos11 sin cos sin cos cos sin xx x xxxxx + ==+ nên 2 22 2 2 11 1 1 cos si n cos sin Idxdxdx xx x x ⎛⎞ =+ = + ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫∫ tg cotg x xC=− +. c) Tính 2 3 6sin 2 x Idx= ∫ 3 3(1 cos ) 3( sin )IxdxxxC=− =− + ∫ d) Tính 4 2 1 x x e Ie dx x − ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 2 4 2 1 1 . xx x Ie dxedxxdx x eC x − ⎛⎞ =+ = + ⎜⎟ ⎝⎠ =−+ ∫∫∫ 6 5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến Giả sử cần tính tích phân ()fxdx ∫ . Ta hãy đưa vào biến mới () x u ϕ = hay ()ux ψ = , trong đó các hàm ()u ϕ , () x ψ là các hàm số ngược của nhau a) Phép đổi biến thứ nhất Sử dụng () x u ϕ = , khi đó ()dx u du ϕ ′ = và nhận được công thức () [()].() ()f xdx f u udu gudu ϕϕ ′ == ∫∫ ∫ (5.2.1) trong đó () [()].()gu f u u ϕ ϕ ′ = b) Phép đổi biến thứ hai Giả sử hàm f(x) được viết dưới dạng () [()]. () .fx g x xdx ψ ψ ′ = Khi đó () [()]. () ()fxdx g x xdx gudu ψψ ′ == ∫∫ ∫ (5.2.2) trong đó ()ux ψ = . Nếu () () , th×gudu Gu C=+ ∫ () () ()f x dx g u du G u C = =+ ∫∫ (5.2.3) Ví dụ 2: 1 2 2 1 arcsin a) TÝnh 1 1 arcsin (arcsin ) (arcsin ) . 2 x Idx x Ixdx xC = − ==+ ∫ ∫ 2 2 ) TÝnh tg sin (cos ) (cos ) cos cos cos ln| cos | . bIxdx x xdx Idx dx x xx xC = ′ ==− =− =− + ∫ ∫∫ ∫ 3 2 3 2 ) ( 2 2)arctg( 1) [( 1) 1]arctg( 1) dx cI xx x dx I xx = ++ + = ++ + ∫ ∫ 3 2 §Æt 1, , ta cã (arctg ) ln| arctg | . arctg(1 )arctg ux dudx du d u IuC uuu =+ = ===+ + ∫∫ 2 2 4 2 2 ) 1 x x x edx dI e = + ∫ 7 7 2 2 2 2 2 4 2 4 22 Do , ®Æt ta cã 1 arctg 1() 1() x x uu x uu edx Iux e edu de IeC ee == + ===+ ++ ∫ ∫∫ 10 5 ) (1 )eI x dx=+ ∫ 2 §Æt 1+ ( -1) , 2( 1) . x =u, x= u dx u du=− Khi đó ( ) 10 11 10 5 2(1) 2Iuuduuduudu=−= − ∫∫∫ 12 11 2 12 11 uu IC ⎛⎞ =−+ ⎜⎟ ⎝⎠ 11 1 (11 12) 66 uu C=−+ 11 1 (1 ) (11 1) . 66 x xC=+ −+ 5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích: ()duv udv vdu = + . Lấy tích phân cả hai vế ta được .uv udv vdu=+ ∫ ∫ Từ đây ta có công thức sau udv uv vdu=− ∫ ∫ . (5.2.4) Công thức (5.2.4) gọi là công thức tích phân từng phần. Ví dụ 3: a) Tính tích phân 32 1 lnIxxdx= ∫ đặt 2 lnux= 1 2 lndu x dx x = 3 dv x dx= 4 4 x v = 44 4 22 1 1 2 44 4 ln ln ln dx x x Ix x xdx x ==− ∫∫ 4 23 1 42 ln ln x x xxdx=− ∫ 44 2 1 424 ln ln x dx xx=− ∫ 8 444 2 1 11 424 4 ln ln xxx Ix xdx x ⎡⎤ =− − ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ 4 24 4 11 48 32 ln ln x x xx xC = −++. b) Tính 2 arcsinIxdx= ∫ Đặt u = arcsinx, dv = dx, ta được 2 1 1 du dx x = − vx= 2 2 1 arcsin x Ix x dx x =− − ∫ 2 2 1arcsinIx x xC = +−+. c) Tương tự 2 3 1 arctg arctg ln(1 ) 2 IxdxxxxC==−++ ∫ d) 2 4 Ixbdx=+ ∫ đặt u = 2 x b+ , dv = dx ⇒ v = x. Ta có 2 4 2 2 2 2 2 2 x Ixxbx dx x b xbb xx b dx xb =+− + +− =+− + ∫ ∫ 2 2 4 22 22 2 ln( ) . 2 xb dx Ixxb dxb xb xb b x xb xbdx x xbC + =+− + ++ =+−++ +++ ∫∫ ∫ Suy ra 22 2 ln( ) . 22 xb x bdx x b x x b C+= ++ +++ ∫ Ví dụ 4: a) Tính cos ax Ie bxdx= ∫ đặt u = cosbx, du = −bsinx dv = e ax dx, 1 ax ve a = cos cos si n ax ax ax ee b Ibxd bxebxdx aa a ==+ ∫∫ (5.2.5) Mặt khác 9 9 sin sin ax ax e ebxdx bxd a = ∫∫ sin cos ax ax eb bx e bxdx aa =− ∫ (5.2.6) Thay (5.2.6) vào (2.2.5), sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được 22 cos sin cos ax ax abxbbx ebxdx eC ab + = + + ∫ (5.2.7) b) Tương tự 22 sin cos sin ax ax abxbbx ebxdx eC ab − = + + ∫ . (5.2.8) 5.2.4 Công thức truy hồi a) Xét tích phân cos n n Ixdx= ∫ với * nN∈ . Ta có 11 cos cos cos cos sin nn n x dx x xdx xd x −− == ∫∫ ∫ 122 12 1 11 cos sin ( ) cos sin cos sin ( ) cos ( ) cos . nn nnn xxn x xdx x x n xdx n xdx −− −− =+− =+− −− ∫ ∫∫ Từ đây chúng ta nhận được công thức truy hồi 12 11() cos cos sin cos nn n n x dx x x xdx nn −− − =+ ∫∫ . (5.2.9) Công thức này cho phép giảm số mũ của luỹ thừa của hàm dưới dấu tích phân mỗi lần 2 đơn vị cho đến khi ta nhận được tích phân tuỳ theo n là lẻ hay chẵn: haycos sin . x dx x C dx x C = +=+ ∫∫ Tương tự ta nhận được công thức truy hồi 12 11 sin sin cos sin nn n n x dx x x xdx nn −− − =− + ∫∫ . (5.2.10) b) Xét tích phân 22 () n n dx J xa = + ∫ với 0 * , nNa ∈ ≠ Ta biết 1 22 1 arctg dx x JC aa xa ==+ + ∫ . Để xây dựng công thức truy hồi cho tích phân J n , ta hãy xét 221 1 221 22 221 12 () () ()( ) () n n n n n dx Jxadx xa x x nxaxdx xa −+ − − − − ==+ + =−−++ + ∫∫ ∫ hay 2 1 221 22 21() () () n nn xx Jndx xa xa − − =+− ++ ∫ 10 222 1 221 22 2 11 221 21 21 () () () ()[ ] () n nn nnn n xxaa Jndx xa xa x JnJaJ xa − − −− − +− =+− ++ =+−− + ∫ Suy ra 2 1 221 21 23() ( ) () nn n x naJ nJ xa − − −= +− + hay 1 2212 2 23 21 21 () ()( ) () nn n xn JJ nxaa na − − − =+ −+ − (5.2.11) 5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ 5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng 22 I) , II) , III) , IV) () ( ) kk AAMxN MxN xa x axpxqxpxq ++ − −++++ trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là p 2 – 4q < 0 . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên. a) Tích phân dạng I ln| | A dx A x a C xa = −+ − ∫ . b) Tích phân dạng II 1 1 1 1 () () () kk AA dx C k k xa xa − = −+≠ − −− ∫ . c) Tích phân dạng III 22 2 22 ()( ) MMp xp N Mx N dx dx xpxq xpxq ++ − + = ++ ++ ∫∫ 22 2 22 () Mxp Mp dx dx N x px q x px q + =+− + +++ ∫∫ . (5.3.3) Ta hãy xét tích phân thứ hai ở vế phải (5.3.3). Đặt 2 2 24 ,,, pp x tq dx dt α += − = = 2222 2 24 () dx dx dt xxpq p p t xq α == ++ + ++− ∫∫ ∫ 2 22 122 arctg arctg 44 . dx t x p CC xxpq qp qp αα + =+= + ++ −− ∫ [...]... Thay vào tích phân trên ta được t −1 2 I = −2∫ dt t +1 = ln +C t −1 t −1 2 hay I = ln x2 + x − 2 +1 x −1 + C = ln x2 + x − 2 −1 x −1 x2 + x − 2 + x − 1 x2 + x − 2 − x + 1 +C 5.6.4 Tích phân eliptic Khác với phép tính vi phân, trong phép tính tích phân tồn tại những hàm số sơ cấp mà tích phân không xác định của nó không thể biểu diễn được qua một số hữu hạn các hàm sơ cấp khác Những tích phân như vậy... M tl , N tl được tìm bằng phương pháp hệ số bất định 13 (5.3.12) 14 Định lí trên cho phép kết luận rằng việc lấy tích phân một phân thức thực sự dần đến việc lấy tích phân một trong bốn dạng I,II, III, IV đã nêu ở trên ∫ (x Ví dụ 3: Tính 2 dx + x )( x 2 + 1) Giải: Trước hết hãy phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức đơn giản Theo định lí khai triển, ta có thể viết A B Cx + D 1 1... 5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol 5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác Giả sử ta cần tính tích phân I = ∫ R (sin x,cos x )dx, trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt x t = tg , − π < x < π 2 Thật vậy sin x = 2t 1− t2 2 dt , cos x = , x = 2arctgt , dx = 2 2 1+ t 1+ t 1+ t2 Do đó, có thể đưa ra tích phân. .. q − p2 4 q − p2 2 (5.3.4) d) Tích phân dạng IV M Mp ( 2 x + p) + ( N − ) Mx + N 2 2 dx I =∫ 2 dx = ∫ ( x + px + q)k ( x 2 + px + q)k (5.3.5) Tích phân ở vế phải trong (5.3.5) được tách thành hai tích phân Để tính tích phân thứ nhất ta đặt x 2 + px + q = t J 1,k = ∫ 2x + p dx = ( x + px + q)k 2 =∫ dt 1 1 = = k k −1 2 t (1 − k )t (1 − k )( x + px + q)k −1 (5.3.6) Còn tích phân thứ hai, kí hiệu bằng J... nguyên n n 23 5.6 Bài tập chương 5 5.1 Tính các tích phân sau: x2 dx 1)∫ 2)∫ x −2 2 3) ∫ x2 3 1 + x3 dx dx e + e− x 5) ∫ 5.2 4) ∫ dx 1 + e2 x Tính các tích phân sau: dx sh x 2)∫ 3) ∫ sh 2 xdx dx ch x 4)∫ ch 2 xdx dx sh xch 2 x 5) ∫ 2 Tính tích phân sau 1) ∫ 3 5.4 x3 dx x8 − 2 6) ∫ x 1) ∫ 5.3 xdx (1 + x2 )2 xdx 1 − 3x 2) ∫ x3 3 1 + x2 dx Tính các tích phân sau 1)∫ x n ln xdx ( n ≠ −1) 3) ∫ x2sh xdx... sơ cấp khác Những tích phân như vậy được gọi là tích phân eliptic Ví dụ như ∫e − x2 dx, dx ∫ ln x , ∫ sin x dx, x Ngoài ra khi tính tích phân nhị thức ∫x m ∫ cos x dx, ∫ sin x2 dx, ∫ cos x2 dx x ( a + bx n ) p dx, trong đó a, b là tuỳ ý, còn m, n, p là các số hữu tỉ, đồng thời a, b, n khác không, nhà toán học vĩ đại Trêbưsep đã chứng minh được rằng tích phân này chỉ biểu diễn được theo các hàm sơ cấp... 1 1 + x4 t −1 ⎞ | ⎟ + C với t = ( 4 ) 4 I = − ⎜ ar ct gt + ln| 2⎝ 2 t +1 ⎠ x 5.6 Tích phân các biểu thức dạng R( x, ax2 + bx + c ) 19 với a≠0 20 Trước hết ta thấy rằng nếu đồng thời a < 0 và D = b2− 4ac ≤ 0 thì tích phân 2 ∫ R( x, ax + bx + c )dx không có ý nghĩa Trong các trường hợp còn lại biểu thức dưới dấu tích phân đang xét được hữu tỉ hoá nhờ các phép thế Euler 5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất... ( n ≠ −1) 3) ∫ x2sh xdx 5.5 2) ∫ x3 ch3 xdx 4) ∫ sin xl n(t gx )dx Tính các tích phân sau 1)∫ sin 4 x dx cos6 x dx 3)∫ 5) 5.6 2)∫ cos x sin x ∫ dx 3 t gx sin 3 x cos5 x 4)∫ 2 3 dx Tính tích phân sau 1)∫ dx (1 + x ) 4 2 x 2)∫ dx x (1 + 4 x )3 23 dx t gx 24 3)∫ 5.7 dx 1+ x + 1+ x 4)∫ dx n ( x − a) n +1 ( x − b)n −1 Tính tích phân sau: 1)∫ dx 1+ x+ x 2 2)∫ x2 − 2 x + 2dx ... dt 1+ t2 I =∫ =∫ 2 2t 1− t 2t − 1 − −1 2 2 2 1+ t 1+ t I = x 1 1 ln| 2t − 1| + C = ln| 2t g − 1| + C 2 2 2 Khi tính tích phân các biểu thức lượng giác, trong một số trường hợp, không đòi hỏi phải x 2 hữu tỉ theo kiểu thực hiện phép đổi biến tổng quát t = tg Chẳng hạn khi tính tích phân dạng ∫ R(sin n x,cosm x )dx nếu m hoặc n lẻ, ta hãy đặt t = sinx hoặc t=cosx, nếu m, n cùng chẵn, ta hãy đặt t =... 3 3 5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ Xét phân thức hữu tỉ f ( x) = Pm ( x ) Qn ( x ) (5.3.8) trong đó Pm ( x ) và Qn ( x ) là các đa thức hữu tỉ bậc m,n tương ứng là: Pm ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + + b1 x + b0 ( bm ≠ 0) và Qn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 ( an ≠ 0) với m, n ∈ N * còn bi , ai là các số thực Nếu n = 0, thì (5.3.8) là đa thức bậc m Nếu m < n, thì phân thức . tính chất 3 5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định 3 5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định 3 5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 4 5.2 Cách tính tích phân không xác định 5 5.2.1 Dựa. vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 5 Tích phân không xác định 3 5.1 Tích phân không xác định 3 5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 3. Euler thứ ba 21 5.6.4 Tích phân eliptic 22 5.6 Bài tập chương 5 23 3 3 Chương 5 Tích phân không xác định 5.1 Tích phân không xác định Trong nhiều vấn đề