SKKN - Toán 9

NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN A/ Phần mở đầu. I/ Lí do chọn đề tài. 1. Lí do khách quan. - Dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức là một dạng toán khó thường hay gặp trong các kì thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10. Là một dạng toán mà lượng bài tập cũng rất đa dạng và phong phú xong thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định, là dạng toán nâng cao ít gặp trong chương trình SGK, SBT các lớp THCS. 2. Lí do chủ quan. - Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS Hải Đông, cũng như trong quá trình ôn thi HSG tôi thấy HS thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, hs rất lúng túng, chậm chạp mặc dù đã được thầy gợi ý, hướng dẫn. - Nếu hs được rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị, thì tư duy của các em trở lên linh hoạt hơn, sáng tạo hơn trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán cũng như trong quá trình giải quyết các tình huống trong thực tế. II/ Nhiệm vụ, phạm vi, đối tượng nghiên cứu của đề tài. 1. Nhiệm vụ của đề tài. - Xác định cơ sở của việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị(đại số) của hs lớp 9 diện khá, giỏi. - Tìm hiểu thực trạng về kĩ năng giải toán tìm cực trị, cũng như việc vận dụng BĐT côsi để giải một số bài toán tìm cực trị. - Đề xuất một số phương pháp để rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải toán tìm cực trị. 2. Phạm vi nghiên cứu của đề tài. - Kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị (đại số) của hs lớp 9A,9B trường THCS Hải Đông 3. Đối tượng nghiên cứu. Các hs khá, giỏi của lớp 9A,9B trường THCS Hải Đông. III/ Phương pháp nghiên cứu. 1. Các phương pháp chủ yếu: - Phương pháp điều tra - Phương pháp thực nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 1 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN 2. Các phương pháp hỗ trợ: - Phương pháp trò chuyện. - Phương pháp quan sát. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. B. Phần nội dung. Chương I . cơ sở của việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải toán cực trị (đại số) cho hs khá, giỏi lớp 9. 1. Cơ sở lí luận. - Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập là một yêu cầu quan trọng trong việc học tập bộ môn toán nói chung và trong việc giải quyết các bài toán cực trị nói riêng. Nó không những rèn luyện cho hs thói quen tư duy toán học mà còn giúp các em rèn luyện tư duy sáng tạo. - Số lượng bài tập, cũng như dạng bài tập về vận dụng BĐT côsi tìm cực trị rất đa dạng và phong phú, muốn giải quyết tốt thì cần phải có kĩ năng cơ bản về sử dụng BĐT côsi. - Do đặc điểm tâm lí của hs trong giai đoạn này chưa được ổn định, dễ phát triển theo những chiều hướng tích cực cũng như tiêu cực nên việc định hướng phương pháp giải là rất quan trọng. 2. Cơ sở thực tiễn. - Kĩ năng vận dụng BĐT côsi của đa số hs khá, giỏi còn yếu, đặc biệt trong việc áp dụng vào giải quyết các bài toán tìm cực trị đại số, hs rất lúng túng, chậm chạp nhiều khi bế tắc không tìm ra hướng giải. Chương II: Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải toán tìm cực trị của hs lớp 9 trường THCS Hải Đông. 1. Về đội ngũ giáo viên. - Trường có 8 giáo viên có chuyên môn toán, 100% đạt trình độ chuẩn. - đa số các đồng chí giáo viên còn trẻ, có lòng nhiệt tình với công việc nhưng chưa có nhiều kinh nghiệm, nhất là trong lĩnh vực ôn thi HSG. 2. Về học sinh. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 2 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN - Đa số các em là con em nông dân, điều kiện học tập còn nhiều thiếu thốn, chưa có thời gian cho việc học tập nâng cao, ôn luyện. - Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập ở mức độ thấp, nhất là trong lĩnh vực nâng cao. - Chưa có thói quen suy nghĩ, tư duy, tìm tòi sáng tạo. Chương III Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị(đại số) I. Kiến thức cần nhớ A. khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức. * Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có: ( )f x m³ ; tồn tại 0 x DÎ để 0 ( )f x m= thì m được gọi là GTNN của biểu thức f(x). Kí hiệu Min f(x) = m, đạt được khi 0 x x= . *Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có: ( )f x m£ ; tồn tại 0 x DÎ để 0 ( )f x m= thì m được gọi là GTLN của biểu thức f(x). Kí hiệu Max f(x) = m, đạt được khi 0 x x= . B. BĐT côsi. 1) Cho hai số 0; 0a b³ ³ ta luôn có . 2 a b a b + ³ ; hay 2 . 2 a b a b æ ö + ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç è ø Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2) Cho ba số x,y,z không âm, ta luôn có 3 . . 3 x y z x y z + + ³ hay 3 3 x y z xyz æ ö + + ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç è ø dấu “=” xảy ra khi x = y = z. 3) Mở rộng cho n số không âm 1 2 3 , , , , n a a a a ta luôn có: 1 2 3 1 2 3 . . n n n a a a a n a a a a+ + + + ³ dấu “=” xảy ra khi 1 2 n a a a= = = 4) Bài toán mở đầu. Cho hai số , 0a b ³ a) Nếu a+b = k ( k là hằng số). Tìm GTLN của a.b. b) Nếu a.b = k ( k là hằng số). Tìm GTNN của a + b. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 3 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN Giải: a. Theo BĐT côsi ta có: 2 2 . 2 4 a b k a b æ ö + ÷ ç £ = ÷ ç ÷ ç è ø dấu “=” xảy ra khi 2 a b k a b a b k ì = ï ï Û = = í ï + = ï î vậy GTLN của a.b là 2 4 k , đạt được khi 2 k a b= = b. theo BĐT côsi ta có: 2 . 2a b a b k+ ³ = dấu “=” xảy ra khi . a b a b k a b k ì = ï ï Û = = í ï = ï î .Vậy GTNN của a.b là 2 k , đạt được khi a b k= = Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy. - Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích đạt GTLN khi hai số bằng nhau. - Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng đạt GTNN khi hai số băng nhau. II. Các dạng toán cơ bản: 1. Dạng toán tìm GTNN. * Ví dụ 1: Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức 12 3 x y x = + . Giải: Do x > 0 nên 12 0; 0 3 x x > > , áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 12 12 2 . 4 3 3 x x y x x = + ³ = , dấu “=” xảy ra khi 2 12 36 6 3 x x x x = Û = Û = (do x > 0). Vậy y min = 4, đạt được khi x = 6. *Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0. Tìm GTNN của biểu thức A = x y z y z x + + . Giải: Do x,y,z > 0 nên 0; 0; 0 x y z y z x > > > . áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có. A = 3 3 . . 3 x y z x y z y z x y z x + + ³ = , dấu “=” xảy ra khi x y z y z x = = hay x = y = z. Vậy Min A = 3, đạt được khi x = y = z. Nhận xét: Trong hai ví dụ trên ta đã áp dụng trực tiếp BĐT côsi cho các số có tích không đổi để tìm GTNN của một biểu thức, tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta phải áp dụng nhiều lần BĐT côsi hoặc phải áp dụng cả hai chiều của BĐT côsi để giải, ta xét các ví dụ sau. *Ví dụ 3: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức B = 1 1 ( )( )a b a b + + . Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 4 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN Giải: Do a, b > 0 nên 1 1 0; 0 a b > > , áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có. 2 .a b a b+ ³ ; 1 1 1 1 2 2 . . a b a b a b + ³ = suy ra B = 1 1 2 ( )( ) 2 . . 4 . a b a b a b a b + + ³ = . Dấu “=” xảy ra khi 1 1 a b a b a b ì = ï ï ï Û = í ï = ï ï î . Vậy Min B = 4; đạt được khi a = b. *Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A = xy yz xz z x y + + với x, y, z là các số dương và x + y + z = 1. Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có. 2 . 2 xy yz xy yz y z x z x + ³ = (1) Tương tự ta có: 2 . 2 yz xz yz xz z x y x y + ³ = (2) 2 . 2 xz xy xz xy x y z y z + ³ = (3) Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta được 2A 2( ) 2x y z³ + + = Vậy Min A = 1, đạt dược khi 1 1 3 x y z x y z xy yz zx z x y ì + + = ï ï ï ï Û = = = í ï = = ï ï ï î *Ví dụ 5: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn 1 1 1 2x y + = . Tìm GTNN của A = x y+ . Giải: Do x > 0; y > 0 nên ;x y xác định và 1 1 0; 0 x y > > , áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương 1 1 ; x y ta có. 1 1 1 1 1 . ( ) 2x y x y £ + suy ra 1 1 4 4 . xy x y £ Þ ³ áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương ;x y ta được. A = 2 . 2. 4 4x y x y+ ³ = = . Dấu “=” xảy ra khi Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 5 NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN 4 1 1 1 2 x y x y x y ỡ ù = ù ù ù = = ớ ù + = ù ù ù ợ . Vy GTNN Min A = 4; t c khi x = y = 4. *Vớ d 6: Cho x > 0; y > 0 v x + y = 2a (a > 0). Tỡm GTNN ca C = 1 1 x y + . Gii: ỏp dng BT cụsi cho hai s ta cú. 2 2 2 1 1 2 2 x y a xy a xy a xy a + Ê = = ị Ê ị . Nờn C = 2 1 1 2 2x y a x y xy a a + + = = . Du = xy ra khi 2x y a x y a x y ỡ + = ù ù = = ớ ù = ù ợ . Vy Min C = 2 a , t c khi x = y = a. 2. Dng toỏn tỡm GTLN. *Vớ d 7: Tỡm GTLN ca biu thc y = (x + 2)(3 x) vi 2 3x- Ê Ê . Gii: Do 2 3x- Ê Ê nờn 2 0;3 0x x+ - . ỏp dng BT cụsi cho hai s khụng õm ta cú: y = (x + 2)(3 x) 2 2 3 25 2 4 x x ổ ử + + - ữ ỗ Ê = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Du = xy ra khi 1 2 3 2 x x x+ = - = . Vy Max y = 25 4 ; t c khi 1 2 x = . *Vớ d 8: Tỡm GTLN ca biu thc D = (2x + 1)(2 3x) vi 1 2 2 3 x - Ê Ê . Nhn xột. Ta cha th ỏp dng ngay BT cụsi cho hai s 2x + 1 v 2 3x vỡ tng ca chỳng cha l hng s, ta s gii nh sau. Gii: Ta cú D = (2x + 1)(2 3x) = 1 2 2( ).3( ) 2 3 x x+ - , Do 1 2 2 3 x - Ê Ê nờn 1 2 0; 0 2 3 x x+ - , ỏp dng BT cụsi cho hai s khụng õm ta cú. D = 2 1 2 1 2 49 2 3 6( )( ) 6 2 3 2 24 x x x x ổ ử ữ ỗ + + - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ + - Ê = ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , du = xy ra khi 1 2 1 2 3 12 x x x+ = - = . Vy Max D = 49 24 ; t c khi 1 12 x = . 3. Dng toỏn tỡm GTLN v GTNN. *Vớ d 9: Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc A = 5 1x x- + - . Gii: KX ca biu thc l 1 5xÊ Ê . Do A > 0, ta cú A 2 = 5 x + x 1 + 2 (5 )( 1)x x- - = 4 + 2 (5 )( 1)x x- - Sỏng kin kinh nghim 2008 - 2009 6 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN Mà 2 (5 )( 1)x x- - 0³ , nên A 2 4 2A³ Û ³ dấu “=” xảy ra khi x = 5 hoặc x = 1. Vậy Min A = 2, đạt được khi x = 5 hoặc x = 1 Mặt khác áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có. A 2 = 4 + 2 (5 )( 1)x x- - £ 4 + 5 – x + x – 1 = 8 suy ra A 2 2£ . Dấu “=” xảy ra khi 5 – x = x – 1 hay x = 3. Vậy Max A = 2 2 , đạt dược khi x = 3. *Ví dụ 10: Cho 0; 0x y³ ³ và 6x y+ £ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x 2 y(4 – x – y ) Giải. a. Tìm GTLN. + Với 4 6x y< + £ thì A 0< . + Với 0 4x y£ + £ , áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có. A = 4 4 2 2 4. . . (4 ) 4 4 2 2 4 x x y x y x x y x y æ ö ÷ ç + + + - - ÷ ç ÷ ç ÷ ç - - £ = ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 4 2 0 4 x y x y x y ì ï ï = = - - ï Û í ï ï £ + £ ï î 2 1 x y ì = ï ï í ï = ï î . Vậy Max A = 4, đạt được khi 2 1 x y ì = ï ï í ï = ï î b. Tìm GTNN. + Với 0 4x y£ + < thì A > 0. +Với 4 6x y£ + £ thì - A = x 2 y( x + y – 4) = 4 . . .( 4) 2 2 x x y x y+ - - A 4 4 4 4 6 2 2 4 4 1 4 1 64 4 2 2 x x y x y x y æ ö ÷ ç + + + + - ÷ ç æ ö æ ö ÷ + ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç £ = - £ - = ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø Suy ra A 64³ - . Dấu “=” xảy ra khi 4 4 2 2 6 x x y x y y x y ì ï ì ï = = = + - ï ï ï Û í í ï ï = ï î ï + = ï î Vậy Min A = -64, đạt được khi 4 2 x y ì = ï ï í ï = ï î III. Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi để giải toán tìm cực trị. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 7 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN 1. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. *Ví dụ 11: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: y = 2 1 2x x + . Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có y = 2 1 2x x + = 3 2 2 1 1 3 . . 3x x x x x x + + ³ = . Dấu “=” xảy ra khi 3 2 1 1 1x x x x = Û = Û = .Vậy Min y= 3, đạt được khi x =1 *Ví dụ 12: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức. N = 3 2000x x + . Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có N = 2 2 2 3 2000 1000 1000 1000 1000 3 . . 300x x x x x x x x + = + + ³ = . Dấu “=” xảy ra khi 2 3 1000 1000 10x x x x = Û = Û = . Vậy Min N = 300, đạt được khi x = 10. *Ví dụ 13: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức E = 3 2 3 x x + . Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có E = 3 3 3 3 3 5 2 2 2 2 2 2 2 5 3 1 1 1 1 1 1 5 5 . . . . 2 2 2 2 4 x x x x x x x x x x x x + = + + + + ³ = Dấu “=” xảy ra khi 3 5 5 2 1 2 2 2 x x x x = Û = Û = . Vậy Min E = 5 5 4 , đạt được khi 5 2x = *Ví dụ 14: Cho a, b, x là những số dương. Tìm GTNN của biểu thức. P = ( )( )x a x b x + + Giải: Ta có. P = 2 ( )( ) ( )x a x b x a b x ab ab x a b x x x + + + + + = = + + + P = 2 2 . ( ) ab ab x a b x a b a b x x + + + ³ + + = + . Dấu “=” xảy ra khi ab x x ab x = Û = . Vậy Min P = 2 ( )a b+ , đạt được khi x ab= 2. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 8 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN *Ví dụ 15: Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = x 2 y 3 . Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có. 1 = x + y = 5 2 3 2 3 2 3 2 3 5 5 2 3 1 108 5 1 5 2 2 3 3 3 2 .3 108 108 5 3125 x x y y y x y x y x y x y æö ÷ ç + + + + ³ Þ ³ Û £ Þ £ ÷ ç ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 2 1 5 3 2 3 5 x y x x y y ì ï ì ï + = = ï ï ï ï ï ï Û í í ï ï = ï ï = ï ï î ï ï î Vậy Max Q = 108 3125 , đạt được khi 2 5 3 5 x y ì ï ï = ï ï ï í ï ï = ï ï ï î *Ví dụ 16: Tìm GTLN của biểu thức. y = x(1 – x) 3 với 0 1x£ £ . Giải: Do 0 1x£ £ , nên 1 – x 0³ . Ta có y = 3 1 1 .3 (1 ) .3 .(1 )(1 )(1 ) 3 3 x x x x x x- = - - - . áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có 4 3 4 1 3 1 1 1 3 . 3 4 4 x x x x y æ ö + - + - + - ÷ ç £ = ÷ ç ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 3x = 1 – x hay 1 4 x = . Vậy Max y = 3 4 3 4 , đạt được khi 1 4 x = . *Ví dụ 17: Tìm GTLN của biểu thức y = x 2 (3 – x), với 0 3x£ £ Giải: Do 0 3x£ £ , nên 3 0x- ³ ta có y = 3 3 2 2 4. . (3 ) 4. 4 2 2 3 x x x x x x æ ö ÷ ç + + - ÷ ç ÷ ç ÷ ç - £ = ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 3 2 2 x x x= - Û = . Vậy Max y = 4, đạt được khi x = 2 *Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức Z = x 3 (2 – x) 5 . với 0x ³ Giải: +) Xét x > 2 thì 2 – x < 0 do đó Z < 0. +) Xét 0 2x£ £ thì 2 0x- ³ . Ta có Z = 27 5 5 5 . . . (2 )(2 )(2 )(2 )(2 ) 125 3 3 3 x x x x x x x x- - - - - . áp dụng BĐT côsi cho tám số không âm ta được. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 9 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN 8 3 8 3 5 3 8 8 5 5 5 2 2 2 2 2 27 3 5 3 .5 3 3 3 . 125 8 5 4 4 x x x x x x x x Z æ ö ÷ ç + + + - + - + - + - + - ÷ ç ÷ ç ÷ ç £ = = ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç è ø Dấu “=” xảy ra khi 5 3 2 5 6 3 3 4 x x x x x= - Û = - Û = . Vậy Max Z = 3 5 8 3 5 4 , đạt được khi 3 4 x = 3. Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực tri của bình phương biểu thức đó. *Ví dụ 19: Tìm GTNN của biểu thức A = 3 5 7 3x x- + - , với 5 7 3 3 x£ £ . Giải: Do 5 7 3 3 x£ £ , nên 3 5 0;7 3 0x x- ³ - ³ . Ta có 2 2 (3 5) (7 3 ) 2 (3 5)(7 3 ) 2 (3 5 7 3 ) 4 A x x x x A x x = - + - + - - £ + - + - = Dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x hay x = 2. Vậy Max A 2 = 4 suy ra Max A = 2, đạt được khi x = 2. *Ví dụ 20: Cho x + y = 15. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức. 4 3B x y= - + - Giải: Điều kiện 4; 3x y³ ³ . Ta có 2 4 3 2 ( 4)( 3) 8 2 ( 4)( 3) 8 2 2B x y x y x y B= - + - + - - = + - - ³ Þ ³ . Dấu “=” xảy ra khi 15 ( 4)( 3) 0 x y x y ì + = ï ï Û í ï - - = ï î x = 4; y =11 hoặc x =12; y = 3. Vậy Min B = 2 2 , đạt được khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3. Mặt khác ta có 2 8 ( 4 3) 16 4B x y B£ + - + - = Þ £ . Dấu “=” xảy ra khi 15 15 8 4 3 1 7 x y x y x x y x y y ì ì ì + = + = = ï ï ï ï ï ï Û Û í í í ï ï ï - = - - = = ï ï ï î î î . Vậy Max B = 4, đạt được khi 8 7 x y ì = ï ï í ï = ï î *Ví dụ 21: Tìm GTNN của biểu thức A = xy yz xz z x y + + với x, y, z là các số dương thỏa mãn 2 2 2 1x y z+ + = Giải: ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) x y y z z x A x y z z x y = + + + + + Lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y y z z x z x y + + ³ ( chứng minh tương tự ví dụ 4) 3 1 2 3 3A AÞ ³ + = Þ ³ , dấu “=” xảy ra khi 2 2 2 1 3 3 x y z x y z x y z ì ï + + = ï Û = = = í ï = = ï î . Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 10 [...]... MểNG CI - QN t c khi x=y=z= 3 3 4 Thờm, bt mt hng s *Vớ d 22: Cho 0 < x < 2 Tỡm GTNN ca biu thc P = 9x 2 + 2- x x Gii: ta cú 0 < x < 2 nờn 2 x > 0 9x 2 9x 2 9x 2- x 9x 2 - x + = + - 1 +1 = + +1 2 +1 = 7 2- x x 2- x x 2- x x 2- x x 9x 2- x 1 Du = xy ra khi 2 - x = x x = 2 Vy Min P = 7, t c P= khi x= 1 2 Nhn xột Trong vớ d trờn ta ó bt 1 v thờm 1 xut hin hng t 2- x x cú dng nghch o ca 9x 2- x khi... 6 x ỡ x 2 36 ù ù = ù ù a 36 4 a x =6 ị ù = a =9 6 ớ ù 4 4 a 6 ù = ù ù x 6 ù ợ 4 x2 4 1 x2 4 1 2 B=x + = + + x (1) 2 + x 2 (1) x 9 6 x 9 6 9 6 x 9 6 *Li gii ỳng 2 B 2.2 x x 9 6- 1 6 6 4 (9 6 - 1) 4 6 4 6 (9 6 - 1) + 62 ( ) 2.2 + = + 3 6 9 6 9 6 9 6 6 8 6 + 36.6 - 4 6 108 - 2 6 = 6 3 2 x 4 = x 2 x = 36 6 x = 6 khi 9 6 x B Du = xy ra Vy Min B = 108 - 2 6 3 x=6 Bi 4 Cho 0 y > 0 v x.y = 1 Tỡm GTNN ca biu thc A = x2 + y2 x- y Gii: ta cú A= x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 + 2 x 2 + y 2 - 2 xy + 2 ( x - y ) 2 + 2 2 = = = = ( x - y) + x- y x- y x- y x- y x- y Sỏng kin kinh nghim 11 Do 2008 - 20 09 NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN x > y nờn x y > 0 ỏp dng BT cụsi... +9 3 ( + 3) x 9 Ta cú M = x - 9 1 3 3 = Ê 2 3 = = 5x 5x 5x 10 x 30 x- 9 1 ra khi 3 = 3 x =18 Vy Max M = 30 , t c khi x = *Vớ d 26: Tỡm GTLN ca biu thc M = Gii: KX Du = xy 18 Nhn xột Trong cỏch gii trờn, x 9 c biu din thnh x- 9 3 , 3 khi vn dng Sỏng kin kinh nghim 12 2008 - 20 09 NGUYN TIN O BT cụsi tớch x- 9 3 3 THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN c lm tri thnh na tng x- 9 1 +3 = x 3 3 cú dng kx, cú th... 3 4 + 1- x x Nhn xột Theo vớ d trờn ta cn lm xut hin cỏc hng t cú dng v 4( 1- x) x 3x 1- x khi nhõn vo ta c tớch l mt hng s Vy cn phi thờm v bt bao nhiờu? - Cỏch lm: t 3 4 3ax 4b( 1- x) + = + +c 1- x x 1- x x sau ú dựng phng phỏp ng nht h s, ta c a = b = 1; c = 7 vy ta cú th gii nh sau Gii: Q = xy ra khi 3 4 3x 4( 1- x) 3 x 4( 1- x) + = + +7 2 + 7 = 7 + 4 3 Du = 1- x x 1- x x 1- x x 3x 4( 1- x) = x... x 2 +1 + 2( x 2 - 2) + 3(7 - x 2 ) v cỏc giỏ tr tng ng ca x trong khong xỏc nh Nhn xột Ta vn cn lm tri mt tng vỡ vy cn coi mi hng t nh l mt tớch Gii: KX - 7 Ê x Ê - 2 v 2 Ê x Ê 7 , ta cú y = x 2 +1 + 2( x 2 - 2) + 3(7 - x 2 ) 1 ( ( x 2 +1).6 + 2( x 2 - 2).6 + 3(7 - x 2 ).6) 6 1 ộ 2 +1 + 6 2( x 2 - 2) + 6 3(7 - x 2 ) + 6 ự x ờ ỳ yÊ + + ờ 2 ỳ 2 2 6ở ỷ 2 2 2 1 x +1 + 6 + 2 x - 4 + 6 + 2 1- 3 x + 6 1 yÊ... = c +a ù ù z = a +b ù ù ợ Do ú x, y, z > 0 v Sỏng kin kinh nghim 14 ỡ - x+ y +z ù ùa= ù ù 2 ù ù ù ù b = x- y +z ớ ù 2 ù ù ù ù c = x+ y- z ù ù 2 ù ợ 2008 - 20 09 NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN ỏp dng BT cụsi cho hai s khụng õm ta cú a b c - x+ y +z x- y +z x+ y- z + + = + + b +c a + c a +b 2x 2y 2z - 3 1ổ yử 1 ổ zử 1 ổ z ử - 3 1 x x x y 1 x z 1 y z ữ ữ ữ ỗy + ữ ỗ ỗ = 2 + 2 ỗy + x ữ 2 ỗz + x... 2+ 2 2+ = + 2 x 8 x 8 8 x 8 8 8x 9 A= 4 A= x+ Min Sỏng kin kinh nghim 16 2 7.2 9 + = ị x=2 8 4 8.2 thỡ 2008 - 20 09 ra NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN *Nguyờn nhõn sai lm Mc dự ó bin i theo s im ri v ỏp s Min A = x 2ị 9 4 l ỳng nhng sai lm ch ỏnh giỏ mu s 2 8x 2 2 = 8.2 4 *Li gii ỳng Min A = 9 , 4 Bi 3: Cho l sai A= x+ 1 x x 1 6x x x 1 6 x 3 6.2 9 = + + 2 + 33 2 + + = 2 x 8 8 x... 3 thỡ x 1 = a x ổ 1ử ỗ x ; ữsao ữ ỗ ữ ỗa x ứ ố tc l ta cú lc im ri sau õy ỡ x 3 ù ù = ùa a 3 1 ù x =3ị ớ ị = ị a = 9 T ú ta bin i S theo s im ri ù1 1 a 3 ù = ù ùx 3 ù ợ 1 x 1 8x x 1 8 x 2 8.3 10 *Li gii ỳng: S = x + = + + 2 + + = Du = xy x 9 x 9 9 x 9 3 9 3 ỡx 1 ù ù = 10 ớ khi ù 9 x x = 3 Vy Min S = 3 , t c khi x = 3 ù ù x =3 ù ợ 1 Bi 2: Cho x 2 Tỡm GTNN ca biu thc A = x + x 2 1 x x 1 x . 9 2 2 x x x + - . Giải: ta có 0 < x < 2 nên 2 – x > 0 P = 9 2 9 2 9 2 9 2 1 1 1 2 . 1 7 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x - - + = + - + = + + ³ + = - - - - . Dấu “=” xảy ra khi 9. biểu thức M = 9 5 x x - . Giải: ĐKXĐ. 9x ³ . Ta có M = 9 1 9 9 9 .3 ( 3) 9 1 3 2 3 3 5 5 5 10 30 x x x x x x x x - - - + + - = £ = = Dấu “=” xảy ra khi 9 3 18 3 x x - = Û = . Vậy Max M =. y x y + - . Giải: ta có A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y + + - + + - + - + = = = = - + - - - - - . Do Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 20 09 11 NGUYỄN