Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T 2. Bài toán mở đầu thứ hai. Bài toán gốc. Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác đều ABF; ACD. Chứng minh rằng CF = BD. B C A F D H ớng dẫn: Xét hai tam giác: VDAB và VCAF , có: ã ã = = = DA CA DAB CAF AB AF VDAB = VCAF (c.g.c) CF = BD (đpcm) nếu ta vẽ thêm VBCE đều ở phía ngoài của VABC thì các đờng thẳng AE; BD; CF có tính chất gì? Khi đó ta có bài toán thứ hai: Bài toán 1 : Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác đều ABF; ACD; BCE. Chứng minh rằng AE; BD; CF đồng quy. 1 2 1 1 1 1 2 3 B C A D E F O H ớng dẫn Gọi O là giao điểm của BD và CF. Ta cần chứng minh A; O; E thẳng hàng. Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Ta có DAB = CAF (bài toán mở đầu) à 1 B = $ 1 F tứ giác AOBF nội tiếp à 1 O = à 2 B = 60 0 và à 2 O = à 1 A = 60 0 Từ đó suy ra ã AOB = 120 0 (1) Tơng tự:tứ giácOADC và tứ giác BOCE nội tiếp à 3 O = à 1 C = 60 0 (2) Từ (1) và (2) ã AOF = 180 0 A; O; E thẳng hàng Hay AE; BD; CF đồng quy. Qua bài trên ta nhận thấy các góc ã ã ã = = = 0 AOB AOC BOC 120 Khi đó ta bài toán dựng hình khá quen thuộc: Bài toán 2: Dựng điểm O trong tam giác nhọn ABC sao cho ã ã ã = = = 0 AOB AOC BOC 120 . Bây giờ ta trở lại bài toán gốc. Gọi O là giao điểm của CF và BD, trên cạnh BD ta lấy điểm P sao cho PD = OA. A C B D F O P Xét hai tam giác: CPD và COA, có: PD = OA (cách vẽ) ã PDC = ã OAC (tgOADC nt) CPD = COA (c.g.c) DC = AC (gt) ã ã ã = = = 0 0 CP = OC (1) CPD AOC 120 CPO 60 (2) Từ (1) và (2) suy ra CPO đều OP = OC Do đó ta có: OA + OB + OC = PD + OB + OP Hay: OA + OB + OC = BD Đây là một đẳng thức khá đẹp, nhng đẳng thức trên có ý nghĩa gì không? Từ đó ta có bài toán mới Bài toán 3: Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Xác định điểm O trong tam giác nhọn ABC sao cho tổng khoảng cách từ O tới ba đỉnh của tam giác là nhỏ nhất. H ớng dẫn Dựng OCQ đều ở phía ngoài OBC, dựng ACD đều ở phía ngoài ABC. B C A F D O Q Xét hai tam giác: CQD và COA, có: CQ = CO ( OCQ đều) ã QCD = ã ã = 0 OCA( 60 QCA) CQD = COA (c.g.c) OA = QD DC = AC (gt) Do đó ta có: OA + OB + OC = BO + OQ + QD BO + OD BD Dấu = xảy ra khi : +) O, Q, D thẳng hàng mà ã CQO = 60 0 ã CQD = 120 0 nên ã AOC = 120 0 (1) +) B, O, Q thẳng hàng mà ã COQ = 60 0 nên ã BOC = 120 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra O là điểm nhìn ba cạnh của tam giác dới một góc bằng 120 0 Nh vậy ta thấy điểm O vừa là giao điểm của ba đờng thẳng ở bài toán 2, vừa nhìn các cạnh của tam giác dới một góc bằng 120 0 , vừa có tổng khoảng cách tới các đỉnh nhỏ nhất. Trở lại bài toán gốc, nhận thấy V VABF; ACD của bài toán là các đều, nếu các tam giác đó là các tam giác vuông cân thì BD và CF sẽ có tính chất gì? Từ đó ta lại có bài toán mới. Bài toán 4: Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác ABF; ACD vuông cân tại A. Chứng minh rằng CF = BD; CF BD. B C A D F O H ớng dẫn: +) CF = BD (tơng tự nh bài toán 1) +) CF BD (Tứ giác AOBF nội tiếp ã ã = = 0 BOF BAF 90 ) Tiếp tục bài toán trên. Gọi M; N; I lần lợt là trung điểm của BF; CD; BC B C A D F O N M I Khi đó ta có: IM là đờng trung bình của tam giác BCF nên: IM // = 2 1 CF (1) Tơng tự ta có: IN // = 2 1 BD (2) Mà: CF = BD (3) Từ (1); (2) và (3) suy ra MIN vuông cân tại I. Nhận xét rằng AMB và ANC vuông cân tại M và N. Ta có bài toán mới Bài toán 5: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác ABM vuông cân tại M; tam giác ACN vuông cân tại N. Gọi I là trung điểm của BC. Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T MIN là tam giác gì? B C A N M I Bài toán trên có thể diển đạt cách khác làm cho học sinh dễ chứng minh hơn bằng cách thay các tam giác vuông cân ABM, CAN bằng các hình vuông ABDE và ACHF thì ta đợc bài toán đơn giản hơn. Ta có bài toán 6. Bài toán 6 : Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF. a.Chứng minh rằng: BF = CE và BF CE b.Gọi I, J lần lợt là tâm của hai hình vuông đó. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MIJ là tam giác vuông cân. B C A H F E D I J M Bài toán 6 không chỉ đơn giản hơn cho học sinh ở chỗ có câu a là bài toán phụ để chứng minh câu b. mà có thể phát triển sang bài toán khác tơng tự và tổng quát hơn.Nếu gọi N là trung điểm của EF thì ta cũng có NJ là đ- ờng trung bình của ECF, và ta cũng dễ dàng suy ra đợc tứ giác IMJN là hình vuông, từ đây ta có bài toán 7 Bài toán 7: Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF. Gọi I, J lần lợt là tâm của hai hình vuông đó. M, N là trung điểm của BC và EF. Chứng minh rằng tứ giác IMJN là hình vuông. B C A H F E D I J M N ở bài toán trên, ta có thể chứng minh đợc đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đờng cao của tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF. Ta có bài toán 8. Bài toán 8: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF. Chứng minh rằng đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đ- ờng cao AP của tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF. B C A H F E D M Q P N H ớng dẫn Trớc hết ta chứng minh AN BC. Dựng hình bình hành AEQF, suy ra Q, N, A thẳng hàng. Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Xét hai tam giác: ABC và FQA, có: ã ã ã ã = = V V AB = FQ (= AE) BAC FAQ ABC = FQA (c.g.c) ACB FAQ FA = AC Mà ã ã ã ã ã + = + = = 0 0 0 FAQ CAP 90 CAP ACP 90 CPA 90 . Hay AN BC. Hoàn toàn tơng tự, ta dựng hình bình hành ABGC thì ta cũng chứng minh đ- ợc AM EF. ở bài toán trên ta nhận thấy QA BC. Liệu QC có vuông góc với BH không? Từ đây ta có bài toán 9. Bài toán 9: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh rằng: BH = QC và BH QC A C B P M D E F H Q N O H ớng dẫn Gọi O là giao điểm của BH và QC. Theo bài toán 9, ta có: ABC = FQA, nên: BC = QA và ã ã ã ã = =ACB FAQ BCH QAC Xét hai tam giác: BCH và QAC, có: ã ã ( ) ( ) = = = = V V BC = QA BCH QAC BAC QAC c.g.c BH QC 1 CH AC và ã ã =CBH AQC Mà ã ã ã ã + = = = 0 0 AQC QCP 90 CBH QCP 90 hay ã = 0 BOC 90 .Hay BH QC (2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Tơng tự nh trên ta cũng có CD QB. Ta nhận thấy QP, BH, CD là ba đ- ờng cao của tam giác QBC. Và từ dây ta xây dựng đợc bài toán mới đợc phát biểu ở dạng khác. Bài toán 10: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh rằng QP, BH và CD đồng quy B C A P H F E D Q Tiếp tục bài toán 8, ta có đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF. Từ đây ta khai triển đợc bài toán mới tổng quát hơn. Bài toán 11: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABEF; ACMN; BCPQ. Chứng minh các đờng cao của các tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy B A C M P Q E F N V H J K I Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Trở lại bài toán gốc. Gọi M; N; I lần lợt là trung điểm của AF; AD; BC. Thì tam giác MNI có gì đặc biệt không? Ta có bài toán 12 Bài toán 12: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác đều ABF; ACD. Gọi M; N; I lần lợt là trung điểm của AF; AD; BC. Chứng minh rằng tam giác MNI đều. B C A F D I T N M H ớng dẫn Gọi T là trung điểm của AC. Xét hai tam giác: AMN và TIN, có: ã ã ã ( ) = = = = = V V 0 am ti man itn 240 bac amn tin an nt MN = IN (1) và ã ã ã = = 0 mna int mni 60 (2). Từ (1) và (2) suy ra MNI đều. Tiếp tục bài toán trên, nếu ta dựng hình bình hành AFPD, thì ta cũng có tam giác PBC đều. Khi đó ta có bài toán mới Bài toán 13: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác đều ABF; ACD, dựng hình bình hành AFPD. Tam giác PBC là tam giác gì? B C A F D P H ớng dẫn Xét hai tam giác: ABC và DPC, có: Bài tập phát triển tư duy Trần Quốc Tộ · · = = ⇒ = ⇒ = = V V ab dp bac pdc abc dpc bc pc ad dc (1) Chøng minh t¬ng tù ta cã: ∆ ABC = ∆ FBP (c.g.c) ⇒ BC = BP (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ∆ PBC ®Òu . đợc đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đờng cao của tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF. Ta có bài toán 8. Bài toán 8: Cho tam giác. các hình vuông ABDE và ACHF. Chứng minh rằng đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đ- ờng cao AP của tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác. hành AEQF, Chứng minh rằng QP, BH và CD đồng quy B C A P H F E D Q Tiếp tục bài toán 8, ta có đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF. Từ đây ta khai triển đợc