sở giáo dục và đào tạo hải dơng đề thi chính thức Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9 Năm học 2009-2010 Môn Thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngy thi 28 thỏng 3 nm 2010 (Đề thi gồm: 01 trang) Cõu 1 (2 im) a) Cho x l s thc tha món 2 4 1 0x x + = Tớnh giỏ tr biu thc: 5 5 1 A x x = + b) Cho x; y; z l cỏc s thc tha món 2 2 0 xyz x xy = + + Tớnh giỏ tr biu thc: 1 2 2 1 2 2 2 B y yz z xz x xy = + + + + + + + + Cõu 2 (2,5 im) a) Gii h phng trỡnh: 2 2 ( 4 )(2 ) 2 2 3 y y y x y y x = = b) Gii phng trỡnh 2 2 2 2 1x x x = Cõu 3 (1,5 im) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n 9 13 2 2 2 n A = + + l s chớnh phng. Cõu 4 (3 im) Cho ng trũn tõm O v dõy AB c nh (O khụng thuc AB). P l im di ng trờn on AB (P khỏc A, B). Qua A, P v ng trũn tõm C tip xỳc vi (O) ti A. Qua B, P v ng trũn tõm D tip xỳc vi (O) ti B. Hai ng trũn (C) v (D) ct nhau ti N (khỏc P). a) Chng minh: ã ã ANP BNP= b) Chng minh: ã 90PNO = o c) Chng minh khi P di ng thỡ N luụn nm trờn mt cung trũn c nh. Cõu 5 (1 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: 2 2 ( 1) ( 1) x y xy y x A xy y x x y + + + + = + + + + + (Vi x; y l cỏc s thc dng). sở giáo dục và đào tạo hải dơng Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9 Năm học 2009-2010 Môn Thi : toán Cõu Ni dung im Cõu 1 (2 ) a) Phng trỡnh 2 4 1 0x x + = cú ' 4 1 3 0 = = > suy ra tn ti x tha món 2 4 1 0x x + = 2 2 1 4 1 0 1 4 4x x x x x x + = + = + = (do 0x ) Cú 2 2 2 1 1 ( ) 2 16 2 14x x x x + = + = = 3 2 3 2 1 1 1 1 ( )( . ) 4(14 1) 52x x x x x x x x + = + + = = 5 2 3 5 2 3 1 1 1 1 ( )( ) ( ) 14.52 4 724A x x x x x x x x = + = + + + = = 0,25 0,25 0,25 0,25 b) xyz = 2 ; ; 0x y z T gi thit cú 2 2 2 x xyz B x xy xyz xyz z xz x xy = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 1 2 x xy x xy xy x x xy x xy x xy = + + + + + + + + + + = = + + 0,25 0,5 0,25 Cõu 2 (2,5 ) a) 2 2 2 2 ( 4 )(2 ) 2 ( 4 )(2 ) 2 2 3 ( 4 ) (2 ) 3 y y y x y y y x y y x y y y x = = = + = t 2 4 2 y y u y x v = = suy ra cú h 2 (3 ) 2 3 3 uv v v u v u v = = + = = 0,25 0,25 2 3 2 0 3 v v u v + = = 1 2 ; 2 1 u u v v = = = = 0,25 * 2 2 1 4 1 4 1 0 2 5 2 2 2 2 2 2 2 u y y y y y v y x x y x y = = = = = = = = * 2 2 2 4 2 4 2 0 2 6 1 2 1 2 1 2 1 u y y y y y v y x x y x y = = = = = = = = 0,25 0,25 Vy nghim ca h phng trỡnh ó cho l: 2 2 5 2 2 5 3 2 6 3 2 6 ; ; ; 2 5 2 5 2 6 2 6 x x x x y y y y = + = = + = = + = = + = 0,25 b) K: 1 2 x Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 (2 1) 2 2 1 1 0x x x = 2 2 ( 2 1 1) 0x x + = ( 2 1 1)( 2 1 1) 0x x x x + + = 0,25 2 1 1 0x x⇔ − − − = (vì 1 2 x ≥ nên 2 1 1 0x x+ − + > ) 2 2 1 0 1 1 2 1 ( 1) 2 1 4 2 0 x x x x x x x x − ≥ ≥ ⇔ − = − ⇔ ⇔ − = − − + = 1,2 1 2 2 2 2 x x x ≥ ⇔ ⇔ = + = ± (thỏa mãn ĐK 1 2 x ≥ ) Nghiệm của phương trình là 2 2x = + 0,25 0,25 0,25 Câu 3 (1,5 đ) Xét n > 9 9 13 9 4 9 2 2 2 2 (1 2 2 ) n n A − ⇒ = + + = + + Thấy 4 9 1 2 2 n− + + là số lẻ nên A chia hết cho 2 9 nhưng không chia hết cho 2 10 nên A không là số chính phương. Xét n = 9 9 13 9 9 4 10 2 2 2 2 2 (1 2 1) 9.2 96A⇒ = + + = + + = = là số chính phương. 0,25 0,25 Xét n < 9 9 13 9 13 2 2 2 2 (2 2 1) n n n n A − − ⇒ = + + = + + Do 9 13 2 2 1 n n− − + + là số lẻ và A là số chính phương nên 2 n là số chính phương nên n là số chẵn, * n ∈¥ suy ra { } 2;4;6;8n ∈ Khi đó A chính phương, 2 n chính phương suy ra 9 13 2 2 1 n n B − − = + + là số chính phương. Nhận xét số chính phương lẻ chỉ có thể tận cùng là 1; 5; 9. Với n = 2 7 11 2 2 1 2177B⇒ = + + = (loại) Với n = 4 5 9 2 2 1 545B⇒ = + + = , thấy B chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương. Với n = 6 3 7 2 2 1 137B⇒ = + + = (loại) Với n = 8 5 2 2 1 35B⇒ = + + = (loại). Vậy n = 9. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4 (3 đ) a) Có (O) và (C) tiếp xúc trong tại A nên ⇒ A, C, O thẳng hàng. Có (O) và (D) tiếp xúc trong tại B nên ⇒ B, D, O thẳng hàng. Xét (C) có · · 1 2 ANP ACP= Có tam giác ACP cân tại C; tam giác AOB cân tại O · · · ( ) //APC ABO CAP CP OB⇒ = = ⇒ · · · · 1 2 ACP AOB ANP AOB⇒ = ⇒ = (1) Chứng minh tương tự ta có: · · · · 1 // 2 DP OA BDP AOB BNP AOB⇒ = ⇒ = (2) Từ (1) và (2) suy ra · · ANP BNP= (đ.p.c.m) 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Gọi H là giao của NP và CD; I là giao của OP và CD. Theo chứng minh ở trên ta có CP // OB; DP // CO suy ra tứ giác CPDO là hình bình hành 0,25 i h p n o d c b a suy ra IO = IP Có (C) và (D) cắt nhau tại P và N suy ra CD NP⊥ (3) và HN = HP do đó HI là đường trung bình của tam giác PNO nên HI // NO hay CD // NO(4) Từ (3) và (4) suy ra NO NP ⊥ hay · 90PNO = o (đ.p.c.m) 0,25 0,25 0,25 c) Theo chứng minh phần a) có · · · · · · ANB ANP PNB AOB ANB AOB= + = ⇒ = (5) Lập luận để có N, O thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB (6) Từ (5), (6) suy ra điểm N thuộc cung tròn ¼ AOB của đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB Do A, B, O cố định nên N thuộc cung tròn cố định (đ.p.c.m) 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 (1 đ) Đặt 2 ( 1) 1 ; 0 x y a a A a xy y x a + + = > ⇒ = + + + Ta chứng minh bất đẳng thức 2 ( 1) 3( )x y xy y x+ + ≥ + + Có: 2 2 2 2 2 ( 1) 3( ) 2( 1) 6( ) 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 x y xy y x x y xy y x x y x y + + ≥ + + ⇔ + + − + + ≥ ⇔ − + − + − ≥ Đúng với mọi x; y. Đẳng thức xảy ra khi x = y =1 2 ( 1) 3 3 x y a xy y x + + ⇒ ≥ ⇒ ≥ + + (vì x; y > 0) 0,25 0,25 Có 1 8 1 8 1 8 2 10 10 ( ) .3 2. . 9 9 9 9 3 3 3 3 a a a A a A a a a = + = + + ≥ + = + = ⇒ ≥ 0,25 Đẳng thức xảy ra 3 3 1 1 9 a a x y a a = ⇔ ⇔ = ⇔ = = = Vậy GTNN của A là 10 3 đạt được 1x y⇔ = = 0,25 . tạo hải dơng đề thi chính thức Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9 Năm học 2009-2010 Môn Thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngy thi 28 thỏng 3 nm 2010 (Đề thi gồm: 01 trang) Cõu 1 (2. + + + (Vi x; y l cỏc s thc dng). sở giáo dục và đào tạo hải dơng Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9 Năm học 2009-2010 Môn Thi : toán Cõu Ni dung im Cõu 1 (2 ) a) Phng trỡnh 2 4 1 0x x. (5) Lập luận để có N, O thu c một nửa mặt phẳng bờ AB (6) Từ (5), (6) suy ra điểm N thu c cung tròn ¼ AOB của đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB Do A, B, O cố định nên N thu c cung tròn cố định