gioi thieu de kt HKII

GIỚI THIỆU ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯƠNG HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN. LỚP: 11 (CƠ BẢN) ST T Mã câu hỏi Ý, thời gian Nội dung Đáp án Điểm 1 0401 B, 8’ Tìm : ( ) 4 2 lim 3 2n n n− + 1,0 ( ) 4 2 2 3 3 lim 3 2 lim 1 2   − + = − + = +∞  ÷  ÷   n n n n n 0,5 Vì 3 3 lim 1 2 3 0 n   − + = >  ÷  ÷   và 2 limn = +∞ 0,5 2 0401 A, 8’ Tìm : 2 2 2 3 1 lim 2 − − − + n n n 1,0 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 lim lim 2 2 1 n n n n n n n n   − −  ÷ − −   = − +   − +  ÷   0,5 = 2 2 3 1 2 2 lim 2 2 1 1 n n n − − = = − − − + 0,5 3 0401 C, 10’ Tìm : ( ) 2 lim 1 1n n − − + 1,0 ( ) 2 2 2 lim 1 1 lim 1 1 n n n n n − − − + = − + + 0,5 2 2 lim 1 1 1 1 1 n n − = = − − + + 0,5 4 0401 C, 10’ Tìm : 3 4 1 lim 2.4 2 n n n n   − +  ÷ +   1,0 3 4 1 lim 2.4 2 n n n n   − +  ÷ +   =lim 3 1 1 4 4 1 2 2 n n n     − +  ÷  ÷       +  ÷   0,5 1 2 = − 0,5 5 0401 B, 8’ Tính tổng 2 2 2 2 2 3 3 3 = + + + + + n S 1,0 Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 1 2 vµ c«ng béi 3 u q= = . 0,5 Suy ra 1 2 3 1 1 1 3 = = = − − u S q 0,5 6 0401 B, 8’ Tính tổng 1 1 1 ( 1) 1 5 25 5 n n S − − = − + − + + + 1,0 Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,5 = − = − 1 1 1 vµ c«ng béi 5 u q . Suy ra 1 1 5 1 1 6 1 5 u S q − = = = − −   − −  ÷   0,5 7 0402 B, 10’ Tìm: 2 1 4 2 lim 1 x x x x + → − + − 1,5 Ta có : ( ) 2 1 lim 4 2 1 0 x x x + → − + = − < , 0,5 ( ) 1 lim 1 0 x x + → − = và x – 1 > 0 với mọi ( ) 1 ;x ∈ + ∞ 0,5 Do đó, 2 1 4 2 lim 1 x x x x + → − + = −∞ − 0,5 8 0402 A, 10’ Tìm ( ) 3 2 lim 4 2 x x x x →−∞ − + − 1,0 Ta có ( ) 3 2 3 2 4 2 lim 4 2 lim 1 x x x x x x x x →−∞ →−∞   − + − = − + − = −∞  ÷   0,5 Vì 3 2 4 2 lim vµ lim 1 1 0 x x x x x →−∞ →−∞   = −∞ − + − = − <  ÷   0,5 9 0402 C, 10’ Tìm : 1 3 2 lim 1 x x x → + − − 1,5 ( ) ( ) 2 1 1 3 2 3 2 lim lim 1 1 3 2 x x x x x x x → → + − + − = − − + + ( ) 1 1 lim 1 3 2 x x x x → − = − + + 0,75 1 1 1 lim 4 3 2 x x → = = + + 0,75 10 0402 A, 8’ Tìm: 2 1 lim 3 →+∞ − − x x x 1,0 1 2 2 1 lim lim 3 3 1 →+∞ →+∞ − − = − − x x x x x x 0,5 1 lim 2 2 0 2 3 1 0 lim 1 →+∞ →+∞   −  ÷ −   = = = −   −  ÷   x x x x 0,5 11 0402 C, 10’ Tìm 2 2 3 2 lim 2 x x x x → − + − 1,5 2 2 2 3 2 ( 1)( 2) lim lim 2 ( 2) x x x x x x x x → → − + − − = − − 0,75 2 lim( 1) 1 x x → = − = 0,75 12 0403 B, 12’ Xét tính liên tục của hàm số :  − ≠  = −   =  2 4 nÕu 2 ( ) 2 3 nÕu 2 x x f x x x tại 0 x = 2. 1,5 Ta có: 2 2 2 2 4 lim ( ) lim lim( 2) 4 2 x x x x f x x x → → → − = = + = − và 0,75 f(2) = 3. Vì 2 lim ( ) (2) x f x f → ≠ nên hàm số không liên tục tại x = 2. 0,75 13 0403 C, 15’ Tìm số thực a sao cho hàm số liên tục trên ¡ ( ) 2 2 x 1 1 x = -1 x x khi f x x a khi  − − ≠ −  = +    1,5 Tập xác định của hàm số là ¡ . • Nếu x ≠ -1 thì 2 2 ( ) 1 − − = + x x f x x là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (- ∞ ; -1) ∪ (-1 ; + ∞) nên nó liên tục trên mỗi khoảng (- ∞ ; -1) ∪ (-1 ; + ∞) 0,5 • Nếu x = -1, ta có : f(-1) = a và 2 1 1 2 lim lim( 2) 3 1 →− →− − − = − = − + x x x x x x 0,5 Hàm số f(x) liên tục trên ¡ ⇔ 1 lim ( ) ( 1) →− = − x f x f ⇔ a = -3 0,5 14 0403 D, 10’ Chứng minh rằng phương trình 3 2 4 2 0x x+ − = có ít nhất 2 nghiệm. 1,0 3 2 ( ) 4 2f x x x= + − là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ nên nó liên tục trên mỗi đoạn [-3 ; 0], [0 ; 1], và vì : 0,25 f(-3).f(0) = 3.(-2) = -6 < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-3 ; 0) 0,25 f(1).f(0) = 3.(-2) = -6 < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0 ; 1) 0,25 Vì (-3 ; 0) ∩ (0 ; 1) = ∅ nên phương trình có ít nhất hai nghiệm. 0,25 15 0402 C, 7’ Xét tính liên tục của hàm số 1 nÕu 0 ( ) nÕu 0 x x f x x x  − ≥  =  <   tại x = 0 1,0 Ta có ( ) 0 0 0 0 lim ( ) lim 1 1, lim ( ) lim 0 x x x x f x x f x x + + − − → → → → = − = − = = 0,5 Vì 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + − → → ≠ nên hàm số không tồn tại 0 lim ( ) x f x → . Do đó hàm số gián đoạn tại x = 0 0,5 16 0502 A, 5’ Tính đạo hàm của hàm số 4 3 2 5 2 3 = − + − x x y x 1,0 4 3 2 ' ( ) (5) 2 3 ′ ′     ′ ′ = − + −  ÷  ÷     x x y x 0,5 3 2 2 1= − +x x 0,5 17 0502 B, 8’ Tính đạo hàm của hàm số 4 3 2 x y x − = + 1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 ' 2 2 ' 4 3 ' 2 x x x x y x − + − + − = + 0,5 ( ) ( ) 2 2 4( 2) (4 3) 11 2 2 x x x x + − − = = + + 0,5 18 0502 B, 8’ Tính đạo hàm của hàm số 2 2 3 1 x x y x − + = − 1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 1 ( 1) 2 3 ' 1 x x x x y x − − − − − + = − 0,5 ( ) 2 2 2 4 2 1 x x x − + + = − 0,5 19 0503 C, 12’ Giải phương trình f’(x) = 0, biết 2 ( ) 2sin cot 2= +f x x x 1,5 3 2 2 2 2sin 2 2 '( ) 4sin cos sin 2 sin 2 − = − = x f x x x x x 0,75 3 '( ) 0 sin 2 1 sin 2 1 2 2 4 2 π π π π = ⇒ − ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +f x x x x k x k 0,75 20 0502 C, 10’ Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2 2 1y x x= − + 1,0 ( ) 2 2 2 ' 1 2 2 1 x y x x x = + + − + 0,5 = 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x + + − − + = + + 0,5 21 0505 B, 12’ Cho hàm số ( ) 3( 1)cosf x x x= + . Tính '' 2 f π    ÷   . 1,5 f’(x) = 3cos x – 3(x + 1)sin x; 0,5 f”(x) = -6sin x - 3(x + 1)cos x 0,5 '' -6sin - 3( + 1)cos 6 2 2 2 2 π π π π   = = −  ÷   f 0,5 22 0501 C, 8’ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): 3 4 3y x x= − + tại điểm có hoành độ bằng 2. 1,0 f’(x) = 3x 2 – 4, f(2) = 3, f’(2) = 8 0,5 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 3 = 8(x -2) ⇔ y = 8x – 13. 0,5 23 0501 C, 8’ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): 3 4 3y x x= − + tại điểm có hệ số góc k = -1. 1,0 3x 2 – 4 = -1 ⇔ x = ± 1 ⇒ f(-1) = 6, f(1) = 0 0,5 Có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm: y - 0 = -1(x – 1); y + 6 = -1(x + 1) 0,5 24 0502 C, 12’ Cho hàm số f(x) = 2 1x + . Tính (4) 6 '(4)f f− 1,5 Ta có (2 1)' 1 '( ) 2 2 1 2 1 x f x x x + = = + + 0,5 f(4) = 3, 1 1 '(4) 3 2.4 1 f = = + 0,5 1 (4) 6 '(4) 3 6. 1 3 f f+ = − = 0,5 25 0505 B, 8’ Cho hàm số: 2 1 2 x y x= + + . Chứng minh rằng: 2y.y” – 1 = y’ 2 . 1,0 Ta có : y’ = x + 1; y” = 1 0,5 Suy ra : 2y.y” -1 = ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ' 2 x x x x x y   + + − = + + = + =  ÷   (ĐPCM) 0,5 26 0502 D, 10’ Xác định a để f’(x) > 0 ∀x ∈ ¡ , biết rằng 3 2 ( ) ( 1) 2 1f x x a x x= + − + + 1,0 2 '( ) 3 2( 1) 2f x x a x= + − + có 2 ' 2 5a a∆ = − − 0,5 f’(x) > 0 ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆’ < 0 hay 2 2 5 0 1 6 1 6a a a− − < ⇔ − < < + 0,5 27 0501 C, 12’ Cho đường cong (C) có phương trình 1 ( ) 1 x f x x − = + . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 2x. 1,5 Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 2x nên đường thẳng d có hệ số góc là 2. Suy ra f’(x) = 2 0,5 ⇔ ( ) ( ) 2 2 0 1 1 2 2 2 1 1 x x x x x  =  + =  = ⇔ ⇔   = − + ≠ −    0,5 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là : y – y(0) = 2(x – 0) ⇔ y + 1 = 2x ⇔ y = 2x – 1 0,5 y – y(-2) = 2(x + 2) ⇔ y – 3 = 2x + 4 ⇔ y = 2x + 7 28 0505 C, 12’ Cho hàm số f(x) = xsin 2x. Giải phương trình f”(x) = 4 cos 2 2x x − 2,0 '( ) sin 2 2 cos 2f x x x x= + , ( ) "( ) 2 cos 2 2 cos 2 2 sin 2 4 cos 2 4 sin 2f x x x x x x x x= + − = − 0,5 Phương trình f”(x) = 4 cos 2 2x x− ⇔ 4 sin 2x x = 2x ⇔ x(2sin 2x – 1) = 0 0,25 x = 0 2sin 2x – 1 = 0 ⇔ 5 , 12 12 x k x k π π π π = + = + 0,5 Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = 0, 5 , 12 12 x k x k π π π π = + = + 0,25 29 0501 A, 8’ Viết Phương trình tiếp tuyến của (C ): 3 2 ( ) 2 1y f x x x x = = − + − tại điểm A(2 ;1) 1,0 Ta có: 'y = 3x 2 - 4x + 1 Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A là k = 'y (2) = 5 0,5 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5 (x-2) +1 = 5x - 9. 0,5 30 0501 D, 10’ Tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 1 x , (x > 0) tại điểm M cắt trục tung và trục hoành tại hai điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB 1,0 Gọi ( ) 0 0 ; ( )M x y C∈ , 0 x > 0. Ta có 0 2 2 0 1 1 ' ; '( )y y x x x = − = − . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là 0 2 2 0 0 1 1 ( )y x x x x = − − + hay 2 2 0 0 1 2 y x x x = − + 0,5 Hoành độ giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm của phương trình : 0 2 2 0 0 2 0 2 B x x x x x − + = ⇔ = ; 0,25 Giao điểm A của tiếp tuyến với trục tung có hoành độ x A = 0. Suy ra 0 2 A B x x x + = , mà ba điểm A, M, B thẳng hàng nên M là trung điểm của AB. 0,25